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    专题14 导数的应用--2023-2024学年高二数学上学期期末真题分类汇编(人教A版2019选择性必修第二册)

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    专题14 导数的应用--2023-2024学年高二数学上学期期末真题分类汇编(人教A版2019选择性必修第二册)

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    这是一份专题14 导数的应用--2023-2024学年高二数学上学期期末真题分类汇编(人教A版2019选择性必修第二册),文件包含专题14导数的应用备战2023-2024学年高二数学上学期期末真题分类汇编人教A版2019选择性必修第二册原卷版docx、专题14导数的应用备战2023-2024学年高二数学上学期期末真题分类汇编人教A版2019选择性必修第二册解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共31页, 欢迎下载使用。

    函数的单调性问题
    1.(2023上·宁夏银川·高二银川一中校考期末)已知定义在上的函数满足:函数的图象关于直线对称,且当时,(是函数的导函数)成立.若,,,则的大小关系是( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【分析】由题可得的图象关于轴对称,令,可得是奇函数,利用导数可得单调性,由此能求出结果.
    【详解】的图象关于直线对称,
    的图象关于轴对称,

    令,,
    是奇函数,
    当时,,
    在单调递减,则在也单调递减,
    ∵,,,
    ∴,
    ∴,
    故选:D.
    2.(2023上·陕西西安·高二校考期末)函数的图象如图,则导函数的图象可能是下图中的( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】A
    【分析】根据函数的奇偶性及单调性,判断导函数的奇偶性及函数值的正负即可求解.
    【详解】由函数图象知为偶函数,则,因为的导数存在,
    两边取导数可得,由复合函数的求导公式可得,故,
    即为奇函数,排除CD,
    由原函数图象可知当时,先递增再递减,故在时,函数值先正后负,故排除B,
    故选:A
    3.(2023上·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考期末)已知函数在定义域内单调递减,则实数a的取值范围是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】D
    【分析】由已知可得在上恒成立,可转化为.求出的最小值,即可得出实数a的取值范围.
    【详解】由已知,函数的定义域为,.
    由在定义域内单调递减,所以在上恒成立,
    即,可转化为在上恒成立,所以.
    因为,所以,所以.
    因此实数a的取值范围是.
    故选:D.
    【点睛】思路点睛:求出函数的导函数,然后根据函数的单调区间得到不等式恒成立的问题.分离参数或二次求导求出最值即可得出答案.
    4.(2023上·山西阳泉·高二统考期末)函数的单调递增区间为( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【分析】先对函数求导,然后令导函数大于0解出不等式,并结合函数的定义域,即可得到本题答案.
    【详解】因为,所以,
    令,得或,
    又函数的定义域为,所以函数的单调递增区间为,
    故选:C
    5.(2023上·江苏南京·高二南京师大附中校考期末)设m为实数,已知函数,则不等式的解集为
    【答案】
    【分析】根据给定条件,利用导数探讨函数的单调性,再利用单调性解不等式作答.
    【详解】函数的定义域为R,求导得:,
    而,当且仅当时取等号,,当且仅当时取等号,
    因此,即函数在R上单调递增,则,
    所以不等式的解集为.
    故答案为:
    6.(2023上·浙江宁波·高二统考期末)设函数(m为实数),若在上单调递减,则实数m的取值范围 .
    【答案】
    【分析】首先根据题意得到,,再根据的单调性即可得到答案.
    【详解】,因为函数在区间上单调递减,
    所以,恒成立,
    即,.
    又在上单调递减,所以,
    故,即,
    所以m的取值范围为.
    故答案为:.
    7.(2023上·福建福州·高二福州三中校考期末)写出一个同时具备下列性质①②的函数: .
    ①;② .
    【答案】(答案不唯一)
    【分析】根据题目的要求分析函数的类型,再从中选一个.
    【详解】因为 是加变乘,所以考虑指数函数类型,又 是减函数,
    满足要求;
    故答案为: (答案不唯一).
    8.(2023上·江苏南京·高二南京大学附属中学校考期末)已知函数,其中.
    (1)当时,求曲线在点处切线的方程;
    (2)试讨论函数的单调区间.
    【答案】(1);
    (2)答案见解析.
    【分析】(1)利用导数几何意义结合条件即得;
    (2)求函数的导函数,得到导函数的零点,讨论的范围,由导函数的零点对函数定义域分段,利用导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性.
    【详解】(1)当时,,则,
    ,又,
    在点处切线的方程为;
    (2)由题可得,
    令,解得或,
    若,,当变化时,,的变化情况如表:
    的单调增区间为和,,单调减区间为;
    ②若,,当变化时,,的变化情况如表:
    的单调增区间为和,单调减区间为;
    ③若,则,函数的单调增区间为;
    综上,当时,的单调增区间为和,,单调减区间为;当时,的单调增区间为和,单调减区间为;当时,函数的单调增区间为.
    函数的极值问题
    9.(2023上·湖南张家界·高二统考期末)若函数有两个不同的极值点,则实数的取值范围为( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【分析】根据导函数有2个不同的零点,且两个零点均大于零可求解.
    【详解】函数的定义域为,
    因为函数有两个不同的极值点,
    所以有两个不同正根,
    即有两个不同正根,
    所以解得,
    故选:A.
    10.(2023上·江苏·高二统考期末)在等比数列中,是函数的极值点,则a5=( )
    A.或B.C.D.
    【答案】C
    【分析】根据题意可知:是方程的两根,利用韦达定理和等比数列的性质即可求解.
    【详解】因为,所以.
    又因为是函数的极值点,
    即是方程的两根,则有,
    由为等比数列可知:,因为,且,所以,则有,所以,
    故选:.
    11.(2023上·北京朝阳·高二统考期末)已知函数有两个极值点,则( )
    A.或B.是的极小值点C.D.
    【答案】A
    【分析】根据函数有两个极值点,
    则导数为有两个根,由单调性及根与系数的关系等逐个判断即可.
    【详解】因为函数有两个极值点,
    所以有两个根,
    所以,,故选项错误;
    因为有两个根,
    所以,即得,解得或,故选项正确;
    因为有两个根,
    在上单调递增,在上单调递减,所以是的极大值点,故选项错误;
    故选: A.
    12.(2023上·内蒙古赤峰·高二统考期末)已知,则( )
    A.在上单调递增B.在上单调递减
    C.有极大值,无极小值D.有极小值,无极大值
    【答案】C
    【分析】求出函数的导函数,即可求出函数的单调区间,从而求出函数的极值.
    【详解】因为,所以,
    则当时,当时,
    所以在区间上单调递增,在区间上单调递减,
    当时函数有极大值,无极小值.
    故选:C
    13.(2023上·宁夏银川·高二银川一中校考期末)已知函数,则的极大值为
    【答案】
    【分析】求出函数导数,令导数等于0,判断出极大值点,进而求得极大值,即得答案.
    【详解】由函数得函数,
    令,则或,
    当时,,当时,,当时,
    故为函数的极大值点,极大值为,
    故答案为:
    14.(2023上·四川资阳·高二统考期末)函数在区间上的极大值点是 .
    【答案】
    【分析】求出函数的导函数,即可求出函数的单调区间,从而求出函数的极大值点.
    【详解】因为,,所以,
    令,即,解得,
    当时,当时,
    所以在上单调递增,在上单调递减,
    所以在处取得极大值,即极大值点为.
    故答案为:
    15.(2023上·吉林·高二校联考期中)若是函数的极大值点,则的取值范围是 .
    【答案】
    【分析】求导后,得导函数的零点,比较两数的大小,分别判断在两们的导数符号,确定函数单调性,从而确定是否在处取到极大值,即可求得的范围.
    【详解】因为,,

    令,解得或,
    当,即,
    则当或时,当时,
    此时在区间上单调递增,上单调递减,上单调递增,
    符合是函数的极大值点,
    反之,当,即,
    则当或时,当时,
    此时在区间单调递增,上单调递减,上单调递增,
    所以是函数的极小值点,不符合题意;
    当,即,恒成立,函数在上单调递增,无极值点.
    综上得:,即的取值范围是.
    故答案为:.
    16.(2023上·山西晋中·高二山西省平遥中学校校考期末)已知函数.
    (1)求的单调区间;
    (2)求的极值.
    【答案】(1)单调递增区间为和,单调递减区间为;
    (2)极大值为,极小值为0.
    【分析】(1)求出导函数,在定义域内由得增区间,由得减区间;
    (2)由单调性得极值点,计算得极值.
    【详解】(1)的定义域为,
    ,令,解得或,
    令,解得,
    所以的单调递增区间为和,单调递减区间为;
    (2)由(1)可知,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.
    又,,
    所以的极大值为,极小值为0.
    函数的最值问题
    17.(2023上·北京·高二北京市十一学校校考期末)已知函数,,若成立,则n-m的最小值为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】A
    【分析】令,得到关于t的函数式,进而可得关于t的函数式,构造函数利用导数研究单调性并确定最值,即可求的最小值.
    【详解】令,则,,
    ∴,,即,
    若,则,
    ∴,有,
    当时,,单调递减;当时,,单调递增;
    ∴,即的最小值为.
    故选:A.
    【点睛】关键点睛:令确定关于t的函数式,构造函数并利用导数求函数的最小值.
    18.(2023上·江苏徐州·高二统考期末)已知,则( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】B
    【分析】设,利用导数可得在上单调递减,从而有,即;令,利用导数可得在上单调递减,从而有,即,即可得答案.
    【详解】设,则有,
    所以当时,,单调递减;当时,,单调递增;
    所以,
    即有,
    故;
    令,则,
    所以当时,,单调递增;当时,,单调递减;
    所以,
    即,
    故,
    综上所述,则有.
    故选:B
    【点睛】方法点睛:对于比较大小的题目,常用的方法有:(1)作差法;(2)作商法;(3)利用函数的单调性进行比较.
    19.(2023上·浙江杭州·高二杭州高级中学校考期末)已知函数.则下列结论中正确的是( )
    A.函数既有最小值也有最大值B.函数无最大值也无最小值
    C.函数有一个零点D.函数有两个零点
    【答案】C
    【分析】求导得到导函数,确定函数的单调区间,得到函数有最大值,无最小值,AB错误,设,函数单调递增,,故函数有一个零点,C正确,D错误,得到答案.
    【详解】,,,,
    当时,,函数单调递增;
    当时,,函数单调递减.
    故函数有最大值,无最小值,AB错误,
    设,则恒成立,函数单调递增,
    且,故函数有一个零点,C正确,D错误.
    故选:C
    20.(2023上·福建南平·高二统考期末)已知函数的最小值为-1,过点的直线中有且只有两条与函数的图象相切,则实数b的取值范围为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】C
    【分析】先利用导数求出函数的最小值,结合题意可得,设过点的直线与函数的图象相切的切点为,利用导数的几何意义求出切线方程,根据切线过点建立方程,再结合过点的直线有两条与函数的图象相切可得,解之即可求解.
    【详解】因为,则,
    令可得.
    当时,,是增函数.
    当时,,是减函数.
    所以当时,有最小值,所以,
    设过点的直线与函数的图象相切的切点为,
    则切线方程为,
    又切线过点,
    所以,
    即,
    即.
    过点的直线有两条与函数的图象相切,
    则,即,
    解得:或.
    故选:.
    21.(2023上·陕西宝鸡·高二统考期末)若函数在上的最小值是1,则实数的值是( )
    A.1B.3C.D.
    【答案】B
    【分析】,先求得极值,再求得端点值比较求解.
    【详解】解:令,
    解得或,
    当时,,时,,
    又,,
    显然,
    所以,
    所以,
    故选:B
    22.(2023上·江苏常州·高二常州市第一中学校考期末)已知正实数x,y满足,则的最大值为 .
    【答案】/
    【分析】把已知等式变形为,利用函数的单调性得的关系,从而将转化为的函数,再利用导数求得其最大值即可.
    【详解】由得,所以,则,
    因为,,,所以,
    令,则,所以在上单调递增,
    所以由,即,得,所以,
    所以,
    令,则,
    令,得;令,得,
    所以在上单调递增,在上单调递减,
    所以,即的最大值为.
    故答案为:.
    【点睛】关键点点睛:本题解决的关键对已知等式进行同构变形,从而利用函数的单调性得出变量间的关系,由此得解.
    23.(2023上·陕西西安·高二长安一中校考期末)若函数在上有最小值,则实数的取值范围是 .
    【答案】
    【分析】求导得到导函数,确定函数的单调区间,计算,得到,解得答案.
    【详解】,,取得到,
    当时,,函数单调递增;
    当时,,函数单调递减;
    当时,,函数单调递增;
    ,取,则或,
    函数在上有最小值,则,
    解得,即.
    故答案为:
    24.(2023上·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考期末)已知函数,且.
    (1)求函数的图象在点处的切线方程;
    (2)求函数在区间上的值域.
    【答案】(1)
    (2)
    【分析】(1)利用可构造方程求得的值,结合可求得切线方程;
    (2)利用导数可求得的单调性,结合区间端点值和极值可求得的最值,由此可得的值域.
    【详解】(1),,解得:,
    ,则,
    在点处的切线方程为:,即.
    (2)由(1)知:,则,
    当时,;当时,;
    在,上单调递增,在上单调递减,
    又,,,,,,
    的值域为.
    25.(2023上·云南昆明·高二昆明一中校考期末)定义在R上的函数的导函数为,且,,则不等式的解集为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】B
    【分析】根据题意分析可得,构建,求导,结合函数单调性解不等式.
    【详解】∵,且,可得,
    故原不等式等价于,
    构建,则,
    ∵,则恒成立,
    ∴在定义域内单调递减,且,
    则对于,解得,
    故不等式的解集为.
    故选:B.
    26.(2023上·陕西商洛·高二统考期末)已知函数的一个极值点为1,则( )
    A.6B.C.3D.
    【答案】D
    【分析】根据可导函数在极值点的导数为0求得,而,,再利用导数的定义即可求解.
    【详解】求导得
    因为的一个极值点为1,
    所以,解得
    当时,,则1是函数的一个极值点.
    所以,此时.
    因为

    所以
    故选:D
    27.(2023上·陕西·高二校联考期末)定义在上的函数的导函数为,且恒成立,则( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】A
    【分析】根据已知含导数的不等式,构造函数,,求导确定函数的单调性,即可得函数值大小,从而得答案.
    【详解】设函数,,则,
    所以在上单调递减,从而,
    即,则.
    故选:A.
    28.(2023上·江苏苏州·高二常熟中学校考期末)若函数在区间上既有极大值又有极小值,则的取值范围为( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【分析】求函数的极值点,由条件列不等式,求的取值范围.
    【详解】因为,
    所以当时,即时函数取最大值,
    当时,即时函数取最小值,
    故函数的极大值点为,极小值点为,
    因为函数在区间上既有极大值又有极小值,
    所以,故,
    所以的取值范围为.
    故选:A.
    29.(2023上·山西运城·高二统考期末)若函数有小于0的极值点,则a的范围是 .
    【答案】
    【分析】由函数解析式,求导,将问题转化为导数求零点问题,构造新函数,再求导,研究函数在小于上的值域,利用函数平移规律,可得答案.
    【详解】由函数,则求导可得,
    令,则,
    当时,,单调递减;当时,,单调递增,
    故,由恒成立,则当时,恒成立,
    因此,当时,,
    由函数有小于0的极值点,则有小于的零点,且零点的左右符号不同,
    根据函数的平移变换,可得,
    故答案为:.
    30.(2023上·山西晋中·高二山西省平遥中学校校考期末)已知函数是定义在上的可导函数,其导函数为,若,且对任意的恒成立,则不等式的解集为 .
    【答案】
    【分析】由已知构造函数,并得出函数在上单调递减,再求解不等式即可.
    【详解】令,则在上恒成立,
    所以在上单调递减.
    又,即,
    又,即,
    所以,解得,
    所以不等式的解集为.
    故答案为:.
    【点睛】方法点睛:构造函数是解决抽象不等式的基本方法,根据题设的条件,并借助初等函数的导数公式和导数的基本运算法则,相应地构造出辅助函数.通过进一步研究辅助函数的有关性质,给予巧妙的解答.利用导数构造函数时,不仅要牢记两个函数u(x)和v(x)的积、商的导数公式的特点,还需要牢记常用函数的导数的特征.
    31.(2023上·陕西西安·高二长安一中校考期末)若函数在上有最小值,则实数的取值范围是 .
    【答案】
    【分析】求出函数的单调性,结合最小值的定义即可求解.
    【详解】,令得,
    时,时,,
    所以在和上单调递增,在上单调递减,
    若函数在上有最小值,则其最小值必为,
    则必有且,解得,
    故答案为:.
    32.(2023上·安徽·高二校联考期末)已知函数.
    (1)求函数的单调区间;
    (2)求函数在上的最大值和最小值.
    【答案】(1)递增区间为,;递减区间为
    (2)最大值为59,最小值为-49
    【分析】(1)求出函数的定义域,然后求导,解不等式,得到单调区间;
    (2)根据函数的单调性求出极值和端点值,比较后确定最值.
    【详解】(1)的定义域为R,且.
    解得或,所以递增区间为,;
    解得,所以递减区间为.
    (2)由(1)可知,的变化如下表
    所以函数在上的最大值为59,最小值为-49.
    33.(2023上·浙江杭州·高二杭州高级中学校考期末)已知函数(k为常数,且).
    (1)当时,求在处的切线方程;
    (2)若函数在区间上存在极值,求实数k的取值范围.
    【答案】(1)
    (2)
    【分析】(1)根据已知条件及函数值的定义,利用导数的法则及导数的几何意义,结合直线的点斜式方程即可求解;
    (2)将函数在区间上存在极值转化为,使得,两侧的导数异号,利用二次函数的性质即可求解.
    【详解】(1)当时,,,
    所以,
    所以,
    所以在处的切线的斜率为,
    所以在处的切线方程为,即.
    (2)因为,,
    所以,
    因为函数在区间上存在极值,
    所以,使得,两侧的导数异号,
    所以,即,,
    令,,
    由二次函数的性质知,对称轴为,开口向上,
    所以在上单调递增,
    所以,即,
    所以实数k的取值范围为.
    34.(2023上·山西临汾·高二统考期末)已知函数在处取得极小值1.
    (1)求实数的值;
    (2)求函数在区间上的值域.
    【答案】(1)a=3,b=-9
    (2)
    【分析】(1)对函数求导,根据题中条件,列出方程组求解,即可得出结果;
    (2)由(1)得到的解析式,利用导数研究其单调性,进而可求出最值,得到值域.
    【详解】(1)因为,所以,
    根据题意,即
    解得a=3,b=-9.
    (2)由(1)知,,
    令,解得或,
    当时,及的变化情况如下表:
    因此当时,取得最小值,
    当时,取得最大值,
    故的值域为.,
    0
    0
    增函数
    减函数
    增函数
    ,
    0
    0
    增函数
    减函数
    增函数
    x
    -3
    (-3,-1)
    -1
    (-1,1)
    1
    (1,3)
    3
    +
    0
    -
    0
    +
    -49
    单调递增
    极大值11
    单调递减
    极小值-1
    单调递增
    59
    1
    2
    0
    28
    单调递减
    1
    单调递增
    8

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