专题12 等比数列--2023-2024学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019选择性必修第二册）

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等比数列的基本运算
1．（2023上·甘肃天水·高二秦安县第一中学校考期末）已知等比数列的公比，，则（ ）
A．B．5C．10D．20
【答案】C
【分析】根据等比数列的通项公式计算可得.
【详解】因为且，
所以.
故选：C
2．（2023上·黑龙江双鸭山·高二校考期末）如果成等比数列，那么（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据等比中项的性质，求出或，再根据，舍去不符合题意的b值，并求出a c即可.
【详解】解：因为成等比数列，由等比中项性质可得，
解得或，又，
所以，，
故选：B.
3．（2023上·陕西宝鸡·高二统考期末）已知等比数列中，，，则（ ）
A．8B．C．D．
【答案】C
【分析】利用等比数列的通项公式及等比中项即可求解.
【详解】因为是等比数列，设公比为，
所以，
又，
所以，
故选：C
4．（2023上·安徽滁州·高二校联考期末）设等比数列的前项和为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设等比数列的公比为，依题意可得，再根据等比数列前项和公式计算可得.
【详解】设等比数列的公比为，由得，解得，
所以．
故选：C．
5．（2023上·贵州铜仁·高二统考期末）在正项等比数列中，若是与的等差中项，则数列的公比 .
【答案】5
【分析】设正项等比数列的公比为，根据等差中项的性质得到，再根据等比数列通项公式整理得，解得即可.
【详解】解：设正项等比数列的公比为，，
因为是与的等差中项，所以，
即，即，
解得或（舍去）；
故答案为：.
6．（2023上·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期末）已知数列的通项公式，在数列的任意相邻两项与之间插入个4，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记新数列的前n项和为，则的值为 ．
【答案】370
【分析】依题意，确定前60项所包含数列的项，以及中间插入4的数量即可求和.
【详解】因为与之间插入个4，
，，，，，
其中，之间插入2个4，，之间插入4个4，，之间插入8个4，，之间插入16个4，
，之间插入32个4，由于，，
故数列的前60项含有的前5项和55个4，
故.
故答案为：370.
7．（2023上·河北邯郸·高二统考期末）若数列是等比数列且，，，则 .
【答案】
【分析】求出等比数列的公比后，得的通项公式，再用累加法可求出结果.
【详解】设等比数列的公比为q，则，
则，
当时，
.
因为也适合上式，所以.
故答案为：.
8．（2023上·安徽蚌埠·高二统考期末）已知是各项均为正数的等比数列，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等比数列的公比为，由等比数列的性质可得，解方程求出，即可求出的通项公式；
（2）求出，再由错位相减法求和即可.
【详解】（1）设等比数列的公比为，由，得，
即，解得（舍）或.
.
（2），
，
相减得：，
，
所以
等比数列的判定与证明
9．（2023上·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期末）若成等比数列，则下列三个数列：（1）;（2）;（3），必成等比数列的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据成等比数列，设其公比为( )，利用等比数列的定义即可结合所给式子进行判断.
【详解】成等比数列，设公比为 ，则均不为0，且，
，故成等比数列，且公比为，
因此成等比数列，且公比为，
，当时，成等比数列，且公比为，但当时，不是等比数列，
故选：C
10．（2023上·陕西汉中·高二统考期末）已知数列中，，则数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据的通项公式，可得为等比数列，根据等比数列的求和公式进行求和即可.
【详解】因为，且，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以的前项和为：．
故选：B．
11．（2023上·重庆巫山·高二校考期末）下列说法正确的是（ ）
A．若数列的公差，则数列是递减数列
B．若数列的前项和，则数列为等比数列
C．若数列的前项和（为常数），则数列一定为等差数列
D．数列是等比数列，为前项和，则仍为等比数列；
【答案】A
【分析】根据等差数列等比数列的性质，逐个验证选项中的结论.
【详解】若数列的公差，即，所以数列是递减数列，A选项正确；
若数列的前项和，则，当时，，此时有，但，所以数列不是等比数列，B选项错误；
若数列的前项和（为常数），则，当时，，此时有，但，当时，，所以数列不一定为等差数列，C选项错误；
数列是等比数列，为前项和，当公比， 为偶数时，则均为0，不为等比数列，D选项错误.
故选：A
12．（2023上·云南昆明·高二昆明一中校考期末）（多选题）设是数列的前n项和，且，，则下列结论中，正确的是（ ）
A．是等比数列B．是等比数列
C．D．
【答案】BD
【分析】利用与的关系可得的递推关系即可判断A，C；利用与的关系可得的递推关系即可判断B，D．
【详解】由，所以当时，有，两式相减得，
又，，所以数列不是等比数列，故A错误；C错误；
由，得，所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，
所以，故B正确；D正确．
故选：BD．
13．（2023上·天津北辰·高二校考期末）已知数列的前项和为，且.在数列中，，.
(1)求的通项公式；
(2)证明：是等比数列.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由可求得数列的通项公式；
（2）推导出，结合等比数列的定义可证得结论成立.
【详解】（1）解：因为数列的前项和为，且.
当时，，
当时，，
也满足，故对任意的，.
（2）解：当时，，可得，所以，，
且，则，，，
以此类推可知，对任意的，，所以，，
因此，数列是公比为的等比数列.
14．（2023上·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）已知数列满足，，对任意的时，都有成立.
(1)令，，求证：，都是等比数列；
(2)求数列的通项公式.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）由已知变形可得，代入，即可得出；由已知变形可得，代入，即可得出；
（2）由（1）知，，.作差即可得出.
【详解】（1）证明：因为，
故.
又，则，
所以.
又，
所以对任意的时，，
故是以为首项，公比为3的等比数列；
又因为，所以.
又，则，
所以.
又，
所以对任意的时，，
故是以为首项，公比为2的等比数列.
（2）解：由（1）知，，.
即，，
两式作差可得，
整理可得.
15．（2023上·广东广州·高二统考期末）已知数列{}的前n项和为，，.
(1)求证:数列{}是等比数列；
(2)若，，求数列{}的前n项和.
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）利用得数列的递推关系，从而由等比数列定义得证结论；
（2）由错位相减法求和．
【详解】（1），时，，相减得：，又，
,,
所以，,
所以是等比数列，首项是9，公比是3；
（2）由（1）得，，，
，
则，
相减得，
∴．
16．（2023上·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期末）记为数列的前项和，已知，.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若，则求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由与的关系，结合等比数列的定义进行证明；
（2）将代入，使用裂项相消法进行求和.
【详解】（1）∵，①
∴当时，，②
①②，得，即，
∴化简整理得（），
又∵，
∴数列中各项均不为，且（），
∴数列是首项，公比为的等比数列.
（2）由第（1）问，，∴，
∴，
∴
.
∴数列的前项和.
等比数列的性质及其应用
17．（2023上·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考期末）在等比数列中，若，则此数列的前10项之积等于（ ）
A．50B．C．D．
【答案】C
【分析】根据等比数列性质得到，从而求出.
【详解】∵为等比数列，
∴，
，
，
.
故选：C
18．（2023上·湖南邵阳·高二统考期末）若1，，，4成等差数列；1，，，，4成等比数列，则等于（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据1，，，4成等差数列，求得，再根据1，，，，4成等比数列，得到，求解.
【详解】解：因为1，，，4成等差数列，
所以，
又因为1，，，，4成等比数列，
所以，，
所以，
所以，
故选：B
19．（2023上·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期末）已知数列是递增的等比数列，，，则公比（ ）
A．B．1C．D．
【答案】C
【分析】由方程利用等比数列的性质先求，再代入，联立方程组求出.
【详解】已知，所以，解得，即①；
又，则，即②；又，
由①②得，所以，解得或.
因为数列是递增的等比数列，所以.
故选：C.
20．（2023上·广东清远·高二统考期末）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则（ ）
A．B．43C．D．41
【答案】A
【分析】利用等比数列性质成等比数列即可求解.
【详解】设，则，
因为为等比数列，
所以，，仍成等比数列．
因为，所以，
所以，故．
故选：A.
21．（2023上·吉林·高二校考期末）已知各项均为正数的等比数列，，则（ ）
A．60B．10C．15D．20
【答案】A
【分析】由等比数列的性质可得，再求出与的值，从而可得答案.
【详解】设各项均为正数的等比数列的公比为，
因为，，
所以，
，
，
所以，
故选：A.
22．（2023上·海南省直辖县级单位·高二嘉积中学校考期末）正项等比数列中，，则的值是 ．
【答案】8
【分析】根据等比数列的性质和对数的运算性质求解即可
【详解】因为正项等比数列中，，
所以
，
故答案为：8
23．（2023上·天津河西·高二统考期末）在等比数列中，，则 .
【答案】4
【分析】根据等比数列性质运算求解.
【详解】由题意可得：.
故答案为：4.
24．（2023上·山西晋中·高二山西省平遥中学校校考期末）在各项均为正数的数列中，，，，则 ．
【答案】32
【分析】先把含有根式的方程两边平方，得到一个等比数列，再根据等比数列的性质求解即可.
【详解】由已知，，
得，即，
则数列为等比数列，，，．
故答案为：32.
25．（2023上·安徽蚌埠·高二统考期末）若数列满足，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】令可得，再令可得数列是首项和公比为的等比数列，再由等比数列的前项和求解即可.
【详解】令，，
令，则，所以，
所以数列是首项和公比为的等比数列，
所以
.
故选：A.
26．（2023上·江苏南京·高二南京外国语学校校考期末）已知递增等差数列中，且是，的等比中项，则它的第4项到第11项的和为（ ）
A．180B．198C．189D．168
【答案】A
【分析】由条件结合等差数列的通项公式及等比中项的定义列方程求数列的公差和首项，再利用求和公式求它的第4项到第11项的和.
【详解】设递增等差数列的公差为，则，
且是，的等比中项，
，
解得，
第4项到第11项的和为
所以，
即数列的第4项到第11项的和为180.
故选：A．
27．（2023上·福建福州·高二福建省福州铜盘中学校考期末）设正项等比数列的前n项和为，若，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】B
【分析】根据等比数列满足的条件求得公比，将化为，利用基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意知正项等比数列满足，
设的首项和公比分别为 ，
则，即，
则，
故，
当且仅当，即时取等号，
故选：B
28．（2023上·浙江绍兴·高二统考期末）已知等比数列的前项和为，则点列在同一坐标平面内不可能的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据等比数列通项公式和前项和公式确定正确答案.
【详解】设等比数列的首项为，公比为，
A选项，时，，图象符合.
B选项，时，，图象符合.
C选项，时，，图象符合.
D选项，由图可知，都是负数，所以，
但图象显示时，或为正数，矛盾，所以D选项图象不符合.
故选：D
29．（2023上·重庆·高二统考期末）（多选题）已知首项为1的数列的前n项和为，且，则下列结论正确的是（ ）
A．数列为等比数列
B．数列不是等比数列
C．
D．中任意三项不能构成等差数列
【答案】ABD
【分析】由已知得出是以2为公比的等比数列，表示出和，再分别判断各选项即可．
【详解】由得，，
所以是以2为公比的等比数列，首项为，故A正确；
所以，即，
当时，，
所以，故B正确；
对于C，当时，，，显然，故C错误；
对于D，取，且，
假设存在能构成等差数列，则，
则有，即，
所以，
因为，所以，与矛盾；
假设存在能构成等差数列，则，即，
则，即，显然当时无解，
所以中任意三项不能构成等差数列，故D正确；
故选：ABD．
30．（2023上·湖北襄阳·高二襄阳市第一中学校考期末）（多选题）已知等比数列的前n项和为，且，是与的等差中项，数列满足，数列的前n项和为，则下列命题正确的是（ ）
A．数列的通项公式
B．
C．数列的通项公式为
D．的取值范围是
【答案】AD
【分析】根据已知条件求得、的值，代入等比数列通项公式及等比数列求和公式计算，再运用裂项相消法求和可求得的前n项和.
【详解】设等比数列的公比为q，
则，
所以，故A项正确；
所以，故B项错误；
所以，故C项错误；
因为，
所以，
又因为为单调递增，
所以，
所以取值范围为.故D项正确.
故选：AD.
31．（2023上·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）已知集合，.将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列.记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为 .
【答案】36
【分析】先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.
【详解】设，，则
.
由得，化简得，
，解得：（舍去）或.
又，且，所以，所以．
所以只需研究是否有满足条件的解，
此时.
①当时，.由可知，则满足；
②当时，，为等差数列项数，且.
由，即，解得.
因为，且，所以，所以
得满足条件的最小值为.
综上所述，使得成立的n的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：设，先由已知求出的范围，进而得出的范围，进而求解即可.
32．（2023上·江苏淮安·高二统考期末）小张计划连续十年向某公司投放资金，第一年年初投资10万元，以后每年投资金额比前一年增加2万元，该公司承诺按复利计算，且年利率为10%，第十年年底小张一次性将本金和利息取回，则小张共可以取得 万元．（结果用数字作答）．
参考数据：，，．
【答案】305
【分析】根据给定信息，构建数列，再利用错位相减法求和作答.
【详解】依题意，小张每年向公司投资金额构成以10为首项，2为公差的等差数列，
，因此每年的投资到第十年年底的本金和利息和为，
10次投资到第十年年底本金和利息总和为，
则，
于是得，
两式相减得
，
则有，
所以小张共可以取得305万元.
故答案为：305
33．（2023上·天津津南·高二校考期末）已知数列的前项和是公比大于0的等比数列，且满足.
(1)求和的通项公式；
(2)若数列的前项和为，求证：；
(3)对任意的正整数，设数列满足，求数列的前项和.
【答案】(1)，；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）利用关系求通项公式，应用等比数列通项公式求基本量，进而写出的通项公式；
（2）应用裂项相消法求，即可证结论；
（3）由（1）得，应用分组求和，结合错位相减法、等比数列前n项和公式求.
【详解】（1）由且，则，
而也满足上式，故；
所以，设公比为且，则（负值舍），
所以.
（2）由（1）知：，
所以，而，
所以.
（3）由，则，
令，则，
所以，
综上，.
34．（2023上·云南曲靖·高二校考期末）为了保护某库区的生态环境，凡是坡度在以上的坡荒地都要绿化造林．经初步统计，在该库区内坡度大于的坡荒地面积约有万亩．若从年年初开始绿化造林，第一年绿化万亩，以后每一年比上一年多绿化万亩．
(1)若所有被绿化造林的坡荒地全都绿化成功，则到哪一年年底可使该库区的坡荒地全部绿化?
(2)若每万亩绿化造林所植树苗的木材量平均为万立方米，每年树木木材量的自然生长率为，那么当整个库区以上坡荒地全部绿化完成的那一年年底，一共有木材多少万立方米？(结果保留1位小数，，)
【答案】(1)年
(2)万立方米
【分析】（1）根据题意，由等差数列的前项和公式，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由错位相减法即可得到结果.
【详解】（1）设各年造林的亩数依次构成数列，
由题意知数列是等差数列，且首项，公差．
设第n年后可以使绿化任务完成，则有，解得．
所以到年年底可使该库区的坡荒地全部绿化.
（2）因为年造林数量为，
设到年年底木材总量为万立方米，
由题意得
．
令①，
两边同乘以，得②．
②①，得
．
所以，所以．
故到年年底共有木材万立方米．