专题11 等差数列--2023-2024学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019选择性必修第二册）

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求等差数列的基本量
1．（2023上·河北石家庄·高二石家庄实验中学校考期末）已知数列是等差数列，是其前n项和，，则（ ）
A．160B．253C．180D．190
【答案】B
【分析】根据条件，求出等差数列的首项，再利用等差数列的前项和公式即可求出结果.
【详解】设数列的首项为，公差为，
因为，所以，解得，
所以，
故选：B.
2．（2023上·山东泰安·高二宁阳县第四中学校考期末）在等差数列中，若，，则等于（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】D
【分析】设出等差数列的公差，然后根据等差数列通项公式的基本量进行求解.
【详解】设等差数列的公差为，则，故
而.
故选：D
3．（2023上·福建宁德·高二统考期中）在等差数列中，以表示的前项和，则使达到最大值的是（ ）
A．11B．10C．9D．8
【答案】B
【分析】利用等差数列性质求出数列公差d，再求出其通项公式，并探讨数列的单调性即可得解.
【详解】在等差数列中，，，即，，从而得等差数列公差，，
于是得的通项公式为，则是单调递减等差数列，其前10项均为正，从第11项起的以后各项均为负，
因此，数列的前10项和最大，
所以，使达到最大值的n是10.
故选：B.
4．（2023上·湖北襄阳·高二襄阳市第一中学校考期末）设为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】运用等差数列通项公式及等差数列前n项和公式的基本量计算即可.
【详解】设等差数列的公差为，
∵，，
∴，解得：，
∴.
故选：A.
5．（2023上·山东聊城·高二统考期末）记公差不为0的等差数列的前n项和为，若，则 ．
【答案】6
【分析】利用等差数列的性质，结合等差数列的通项公式与前项和公式化简可得关于的方程，解之即可.
【详解】因为是公差不为0的等差数列，设公差为，
所以，，
又，
所以，即
则，
所以，又，
所以，则．
故答案为：6
6．（2023上·浙江台州·高二期末）已知等差数列满足，则 ．
【答案】49
【分析】根据等差数列定义可得，利用裂项求和计算可得，再由等差数列通项公式计算可得.
【详解】设等差数列的公差为d，则，
所以，可得；
又，即，解得．
故答案为：
7．（2023上·山东烟台·高二统考期末）已知等差数列的前项和为，若，，则公差的值为 .
【答案】或/或
【分析】由等差数列的求和公式以及等差中项的性质可求得的值，由此可求得的值.
【详解】由等差数列的求和公式可得，则，可得.
当时，；当时，.
综上所述，或.
故答案为：或.
8．（2023上·江苏苏州·高二统考期末）已知数列的前项和为，若与均为等差数列且公差不为0，则的值为 .
【答案】2
【分析】设出数列的公差，利用给定条件列式，求出首项与公差的关系即可计算作答.
【详解】设数列的公差为，则，，
因为数列是等差数列，则有，即，
化简整理得：，解得，显然，与均为等差数列，
，则，
所以的值为2.
故答案为：2
等差数列的判定与证明
9．（2023上·河北唐山·高二开滦第一中学校考期末）若不全相等的非零实数成等差数列且公差为，那么（ ）
A．可能是等差数列B．一定不是等差数列
C．一定是等差数列，且公差为D．一定是等差数列，且公差为
【答案】B
【分析】利用等差中项的概念结合条件可得，进而即得.
【详解】若是等差数列，则，
因为成等差数列，则，
则，整理得，与非零实数不全相等矛盾，
所以一定不是等差数列.
故选：B.
10．（2023上·河南商丘·高二校联考期末）已知数列满足，，则（ ）
A．B．C．12D．21
【答案】A
【分析】由数列的递推关系式推出是等差数列，然后求解即可．
【详解】正项数列满足，，所以，
可得，所以是等差数列，首项为，公差为，
所以，所以，
故选：A．
11．（2023上·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知数列的前项和为.若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由与关系可化简已知等式证得数列为等差数列，利用等差数列求和公式可求得结果.
【详解】由得：，又，
数列是以为首项，为公差的等差数列，
，.
故选：C.
12．（2023上·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考期末）已知数列满足，，设数列的前项和为，若，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据等差数列定义和通项公式可推导得到，由此可得，利用裂项相消法可求得，由可构造不等式求得的范围，进而得到最小值.
【详解】，，数列是以为首项，为公差的等差数列，
，则，
，
，
由得：，解得：，又，.
故选：B.
13．（2023上·山东威海·高二统考期末）设为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
(1)求，；
(2)求证：数列为等差数列；
(3)求数列的通项公式．
【答案】(1)；
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）直接令中的，可得答案；
（2）通过得到，两式相除整理后可证明数列为等差数列；
（3）当时，通过可得数列的通项公式，注意验证时是否符合.
【详解】（1）由，且，
当时，，得，
当时，，得；
（2）对于①，
当时，②，
①②得，
即，，
又，
数列是以1为首项，1为公差的等差数列；
（3）由（2）得，
，
当时，，
又时，，不符合，
.
14．（2023上·山东青岛·高二校考期末）已知数列中，，．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据题意，将原式两边同时取倒数，即可得到证明；
（2）由（1）可得数列的通项公式，从而求得数列的通项公式．
【详解】（1）因为，，所以，即，
所以，即数列是首项为1，公差为3的等差数列.
（2）由（1）可知，数列是首项为1，公差为3的等差数列，
所以，所以.
15．（2023上·浙江宁波·高二统考期末）已知正项数列的前n项和为．若（且）．
(1)求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
(2)若，求前n项和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由，结合已知递推关系进行转化，然后结合等差数列的通项公式及递推关系可求；
（2）由已知先求，根据错位相减即可求和．
【详解】（1）由题意得：当时，
，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列，
则，
所以，
当时，，
由于不适合上式，
故；
（2）当时，，
当时， ，
所以，
当时，，
，
相减得，
故，此时也适合，
故．
16．（2023上·湖南益阳·高二统考期末）已知数列满足，且．
(1)求证：数列等差数列，并求出数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）利用等差数列的定义可证得结论成立，并确定数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式；
（2）利用错位相减法可求得.
【详解】（1）证明：，所以，，
即，又，则数列是等差数列，且该数列首项为，公差为，
所以，，解得．
（2）解：，①
∴，②
①②，得
，所以，．
等差数列的常见性质
17．（2023上·山东青岛·高二校考期末）已知为等差数列，，，则数列的公差（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据等差数列下标和性质和通项公式直接求解即可.
【详解】由等差数列性质知：，，
，，.
故选：A.
18．（2023上·江苏南京·高二南京大学附属中学校考期末）若等差数列的前项和为，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据结合即可求解.
【详解】等差数列的前项和为，且，
由等差数列的基本性质，得，
.
故选：C.
19．（2023上·天津南开·高二统考期末）在等差数列中，，则（ ）．
A．3B．4C．6D．8
【答案】C
【分析】应用等差数列项数相同且下标和相等的性质即可确定答案.
【详解】由等差数列的性质知：.
故选：C.
20．（2023上·广东江门·高二统考期末）已知为等差数列，，，则等于（ ）
A．250B．410C．50D．62
【答案】C
【分析】利用等差数列的性质，求出首项和公差，由此能求出．
【详解】为等差数列，，，
，，
，，公差，，
．
故选：C
21．（2023上·山西运城·高二康杰中学校考期末）已知是等差数列的前项和，且，则（ ）
A．数列为递增数列B．
C．的最大值为D．
【答案】B
【分析】由且，所以，所以公差，所以时，时，逐项分析判断即可得解.
【详解】由
且，
所以，故B正确；
所以公差，
数列为递减数列，A错误；
由，，，
所以，，
时，，
的最大值为，故C错误；
，故D错误.
故选：B
22．（2023上·河南许昌·高二禹州市高级中学校考期末）设等差数列、的前项和分别为、，若对任意的，都有，则 ．
【答案】
【分析】根据等差数列的性质即可求解.
【详解】，
由于，
故答案为：
23．（2023上·甘肃天水·高二统考期末）已知等差数列中，，若，则 ．
【答案】
【分析】根据下标和性质求出、，即可求出公差，再根据计算可得.
【详解】因为，又，所以，
又，，所以，
所以公差，
所以，即，解得.
故答案为：
24．（2023上·浙江宁波·高二统考期末）已知等差数列，，=
【答案】e
【分析】由等差中项的性质计算即可.
【详解】由等差数列性质可知：，
又，故.
故答案为：e
25．（2023上·广西贵港·高二统考期末）如图，这是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，图中虚线上的数1,3,6,10,…构成数列，则（ ）

A．20099B．20100C．21000D．211001
【答案】B
【分析】先归纳出数列的递推公式，然后利用累加法即可求解.
【详解】由题意，，，…，
所以数列的递推公式为，且，
所以.
所以，
故.
故答案为：B.
26．（2023上·陕西西安·高二长安一中校考期末）在公差大于的等差数列中，，且、、成等比数列，则数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设等差数列的公差为，则，根据题中条件可得出关于的方程，求出的值，可得出数列的通项公式，再利用并项求和法可求得数列的前项和.
【详解】设等差数列的公差为，则，所以，，
所以，，，
因为、、成等比数列，则，即，
即，
因为，则，所以，，
对任意的，，
所以，的前项和为
.
故选：A.
27．（2023上·浙江杭州·高二杭师大附中校考期末）“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（ ）
A．103B．107C．109D．105
【答案】B
【分析】根据已知条件进行转化得到数列通项公式，由题意解出不等式即可判断项数.
【详解】由题意，被3除余2且被7除余2的数即为被21除余2的数，故，
则.
故选：B
28．（2023上·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）设等差数列的前n项和为，首项，公差，若对任意的正整数n，总存在正整数k，使，则的最小值为（ ）
A．－74B．－8C．－53D．－13
【答案】D
【分析】首先根据等差数列的前项和公式得到，令，化简得到，又因为，所以，得，再利用等差数列前项和公式得到，利用二次函数的性质即可得到答案.
【详解】由题意得，
则得，即，
令得，即①，
即得.
因为首项，公差，则得，即.
又因为，所以，代入①得.
当时，由得
即，所以
因此当或时，的最小值为.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查等差数列前项和公式，根据题意化简得到，从而得到为解决本题的关键.
29．（2023上·广西贵港·高二统考期末）（多选题）我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何?”其意思是：今有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走里，九天他共步行了一千二百六十里，求的值.关于该问题，下列结论正确的是（ ）
A．B．此人第三天行走了一百二十里
C．此人前七天共行走了九百一十里D．此人前八天共行走了一千零八十里
【答案】BCD
【分析】根据等差数列的前9项和和首项求出公差判断A，根据通项公式计算第3项判断B，根据求和公式计算前7项和及前8项和即可判断C、D.
【详解】由题意,设此人第一天走里，第天走里，则是等差数列，，
由，可得，故选项A错误；
所以，故选项B正确；
所以，所以，，故选项C、D正确.
故选：BCD.
30．（2023上·新疆·高二校联考期末）已知等差数列的首项为，前项和为，若，且，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据等差数列通项和前项和的函数性可证得数列为等差数列，结合已知等式可求得，由可构造不等式组求得结果.
【详解】设等差数列的公差为，
，，
数列是以为首项，为公差的等差数列，
，解得：；
，，解得：，
即的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】结论点睛：若数列为等差数列，公差为，为数列的前项和，则数列是以为首项，为公差的等差数列.
31．（2023上·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期末）已知数列满足，则数列的通项公式为 .
【答案】
【分析】由题意根据等差数列的前项和可得，再利用构造法结合等差数列的通项即可得解.
【详解】因为，
所以，
∴数列是首项为，公差为的等差数列，
，
所以.
故答案为：.
32．（2023上·海南·高二统考期末）记等差数列的前项和为，若，则 .
【答案】
【分析】利用等差数列前n项和、等差中项可得，再应用通项公式求结果.
【详解】，则，
其中为公差，则，故.
故答案为：
33．（2023上·吉林辽源·高二校联考期末）已知等差数列中，
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和，并求的最小值
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意列出关于的等式，联立可得，即可求解；
（2）利用等差的求和公式得到，然后判断的正负，即可求得的最小值
【详解】（1）设等差数列的公差为，
因为，所以，解得，
所以；
（2），
数列首项为负的，公差大于零，是递增数列，
令即，解得，因为，所以，
令即，解得，
令即，解得，
所以第1项是负数，第2项是0，从第3项起变成正数，
所以当或2时，取得最小值，
34．（2023上·贵州黔西·高二统考期末）已知数列的前项和为，，．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由条件得数列的递推关系，证明数列为等差数列；
（2）由（1）写出数列的通项公式，用裂项相消法求和.
【详解】（1）证明：由题意，当时，，
当时，由，可得，
两式相减，可得，
化简整理，得，
也满足上式， 即当时，，
数列是以2为首项，2为公差的等差数列.
（2）由（1）知，数列是以2为首项，2为公差的等差数列，
，，
可得，
则
．