专题09 抛物线--2023-2024学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019选择性必修第二册）

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抛物线的定义及应用
1．（2023上·吉林辽源·高二校联考期末）抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．4B．2C．1D．
2．（2023上·广东深圳·高二统考期末）若抛物线上一点到轴的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023上·四川凉山·高二统考期末）是抛物线的焦点，点，为抛物线上一点，到直线的距离为，则的最小值是（ ）
A．B．C．3D．
4．（2023上·内蒙古巴彦淖尔·高二校考期末）点是抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，点为直线上一动点，点在以为圆心，为半径的圆上，点在抛物线上，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023上·陕西榆林·高二统考期末）已知点为抛物线C：上的点，且点P到抛物线C的准线的距离为3，则 .
6．（2023上·北京密云·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于．若，，则抛物线的方程为 ．
7．（2023上·湖南衡阳·高二校考期末）已知抛物线的焦点为为抛物线内侧一点，为上的一动点，的最小值为，则 .
8．（2023上·江苏南京·高二南京师大附中校考期末）设抛物线的焦点，若抛物线上一点到点的距离为6，则 .
抛物线的焦点弦
9．（2023上·浙江宁波·高二期末）如图，某种探照灯的轴截面是抛物线（焦点F），平行于对称轴的一光线，经射入点A反射过F到点B，再经反射，平行于对称轴射出光线，则入射点A到反射点B的光线距离最短时点A的坐标是（ ）
A．B．C．D．
10．（2023上·山东威海·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于两点（点在第一象限），与交于点，若，，则（ ）
A．B．3C．6D．12
11．（2023上·重庆·高二校联考期末）已知抛物线，F为其焦点，若直线与抛物线C在第一象限交于点M，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
12．（2023上·陕西·高二校联考期末）已知为抛物线上一点，为焦点，过作的准线的垂线，垂足为，若的周长不小于30，则点的纵坐标的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
13．（2023上·福建福州·高二统考期末）(多选题)已知抛物线的焦点F到准线的距离为4，直线过点F且与抛物线交于A、B两点，若是线段AB的中点，则（ ）
A．m=1B．p=4C．直线的方程为 D．
14．（2023上·云南昆明·高二昆明一中校考期末）（多选题）设抛物线的焦点为，准线为，直线经过点且与交于两点，若，则下列结论中正确的是（ ）
A．直线的斜率为或B．的中点到的距离为4
C．D．（O为坐标原点）
15．（2023上·四川凉山·高二统考期末）过点的直线与抛物线交于，两点，点在轴上方，若，则直线的斜率 .
16．（2023上·湖北·高二赤壁一中校联考期末）已知抛物线的方程为，为抛物线的焦点，倾斜角为的直线过点交抛物线于，两点，则线段的长为 .
直线与抛物线
17．（2023上·陕西西安·高二长安一中校考期末）设经过点的直线与抛物线相交于，两点，若线段中点的横坐标为，则（ ）
A．B．C．D．
18．（2023上·山东聊城·高二统考期末）抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线C：，从点发出的一条平行于x轴的光线，经过C上的点A反射后，与C交于另一点B，则点B的纵坐标为（ ）
A．B．C．D．
19．（2023上·福建福州·高二福建省福州第一中学校考期末）已知抛物线的焦点为F，过F作倾斜角为的直线l交抛物线C与A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为，则抛物线C的方程是（ ）
A．B．C．D．
20．（2023上·四川绵阳·高二统考期末）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为，，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
21．（2023上·四川凉山·高二统考期末）过点的直线l与抛物线交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若.则 .
22．（2023上·广东汕尾·高二统考期末）已知倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于、两点（点在第一象限），若，则 .
23．（2023上·山东潍坊·高二统考期末）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，且交该抛物线于，两点，点在轴左侧，则 .
24．（2023上·上海闵行·高二上海市七宝中学校考期末）过点作直线与抛物线有且仅有一个交点，这样的直线可以作出 条.
25．（2023上·河南三门峡·高二统考期末）抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，点为抛物线上的动点，且点在的右下方，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
26．（2023上·四川泸州·高二统考期末）如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成.为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m，已知行车道总宽度|AB|＝6m，那么车辆通过隧道的限制高度约为（ ）

A．3.1mB．3.3mC．3.5mD．3.7m
27．（2023上·福建南平·高二统考期末）过抛物线C：焦点F的动直线交抛物线C于A，B两点，若E为线段AB的中点，M为抛物线C上任意一点，则的最小值为（ ）
A．3B．C．6D．
28．（2023上·湖南长沙·高二统考期末）已知抛物线：的焦点为，点，过点且斜率为的直线与交于A，B两点，若，则（ ）
A．B．C．D．2
29．（2023上·山东济宁·高二统考期末）已知双曲线，抛物线的焦点为，抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若为正三角形，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
30．（2023上·浙江湖州·高二统考期末）已知抛物线，其焦点为是过点的一条弦，定点的坐标是，当取最小值时，则弦的长是 .
31．（2023上·江苏苏州·高二统考期末）在平面直角坐标系中，已知，直线相交于点，且与的斜率之差为2，则的最小值为 .
32．（2023上·上海浦东新·高二上海市建平中学校考期末）抛物线C上任意一点都满足，则抛物线C的焦点到准线的距离为 .
33．（2023上·广西贵港·高二统考期末）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的斜率.
34．（2023上·云南大理·高二统考期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线：经过点，直线：与抛物线C交于M，N两点.
(1)求抛物线C的方程；
(2)当时，若对任意满足条件的实数，都有（m，n为常数），求的值.