专题08 双曲线--2023-2024学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019选择性必修第二册）

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双曲线的定义及应用
1．（2023上·安徽滁州·高二校考期末）双曲线的右焦点为，点A的坐标为，点为双曲线左支上的动点，且周长的最小值为，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，利用双曲线的定义把的周长用的周长来表示，可求的最小值，从而求a即可.
【详解】如下图所示：

设该双曲线的左焦点为点，由双曲线的定义可得，
，又，当且仅当A，P，F三点共线时等号成立.
所以，的周长为，
当且仅当A，P，F三点共线时，的周长取得最小值，即，解得．
故选：D．
2．（2023上·重庆·高二校联考期末）如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是，那么点到它的左焦点的距离是（ ）
A．B．C．或D．不确定
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义即可求得答案.
【详解】设双曲线的左、右焦点为，则；
则，
由双曲线定义可得，即，
所以或，由于，
故点到它的左焦点的距离是或，
故选：C
3．（2023上·天津河西·高二统考期末）设中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的焦距为16，且双曲线上的任意一点到两个焦点的距离的差的绝对值等于6，双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意列式求解，即可得结果.
【详解】∵双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为，且，
由题意可得，解得，
∴双曲线的方程为.
故选：A.
4．（2023上·吉林辽源·高二校联考期末）设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ）
A．24B．15C．12D．30
【答案】A
【分析】利用双曲线定义求出的三边长度，根据余弦定理求出三角形的夹角，最后通过三角形正弦定理面积公式求出面积.
【详解】，根据双曲线定义：，
，，，
根据余弦定理：，
则，.
故选：A
5．（2023上·浙江杭州·高二校考期末）已知点，点P是双曲线左支上的动点，为其右焦点，N是圆的动点，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】根据双曲线定义有，则，，，则得到最小值.
【详解】因为双曲线的焦点为,
圆的圆心,恰好为双曲线的左焦点,
，
(当且仅当三点共线时取等号)，
(当且仅当,,三点共线时取等号),
，
的最小值为.
故答案为：.
6．（2023上·陕西宝鸡·高二统考期末）设为双曲线的两个焦点，关于原点对称的两点都在双曲线上，且满足，则四边形的面积为 ．
【答案】2
【分析】根据已知先判断四边形的形状，然后根据双曲线定义结合勾股定理可解.
【详解】如图，记，则
由题可知，，所以
则，即
所以
故答案为：2
7．（2023上·广东江门·高二台山市第一中学校考期末）动点与点与点满足，则点的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】结合双曲线的定义求解即可.
【详解】解：由知，
点的轨迹是以、为焦点的双曲线下支，
得，，
，，
故动点的轨迹方程是．
故答案为：．
8．（2023上·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考期末）已知点在双曲线上，若两点关于原点对称，直线与圆相切于点且，其中分别为双曲线的左､右焦点，则的面积为 ．
【答案】9
【分析】根据双曲线的定义，结合内切圆的性质、平面向量加法的几何意义进行求解即可.
【详解】如图，连接，因为两点关于原点对称，
所以的面积等于的面积．直线与圆相切于点，则．
因为，所以为的中点，又为的中点，所以，则．由双曲线得：．
，则．
因为，所以，所以
，
所以，故的面积等于，即的面积为9．
故答案为：9．
双曲线的实（虚）轴、焦距、渐近线
9．（2023上·山东枣庄·高二枣庄八中校考期末）已知双曲线，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．若的顶点坐标为，则
C．的焦点坐标为
D．若，则的渐近线方程为
【答案】D
【分析】本题首先可根据双曲线的解析式得出，通过计算即可判断出A错误，然后根据双曲线的顶点的相关性质即可判断出B错误，再然后分为、两种情况，依次求出，即可判断出C错误，最后根据双曲线的渐近线方程的求法即可得出结果.
【详解】对于A项：因为方程表示双曲线，
所以，解得或，A错误；
对于B项：因为的顶点坐标为，所以，解得，B错误；
对于C项：当时，，当时，，C错误；
对于D项：当时，双曲线的标准方程为，则渐近线方程为，D正确.
故选：D
10．（2023上·广东清远·高二统考期末）已知等轴双曲线C的焦距为12，则C的实轴长为（ ）
A．3B．6C．12D．6
【答案】B
【分析】根据双曲线的焦距得到c=6，根据双曲线为等轴双曲线得到a=b，然后利用列方程得到a=3，即可得到实轴长.
【详解】因为2c=12，所以c=6．因为a=b，所以2a2=c2=36，所以a=3，故实轴长为6．
故选：B.
11．（2023上·河北邢台·高二邢台一中校考期末）抛物线的准线过双曲线的左焦点，则双曲线的虚轴长为（ ）
A．8B．C．D．2
【答案】C
【分析】根据抛物线以及双曲线的标准方程，分别明确其准线以及左焦点的坐标，由题意，建立方程，可得答案.
【详解】由抛物线方程，可得其准线方程为，
由双曲线方程，则其左焦点坐标可表示为，
故，解得，则双曲线的虚轴长为.
故选：C.
12．（2023上·河北唐山·高二唐山一中校考期末）已知初中学过的反比例函数的图象是非标准状况下的双曲线，根据图象的形状及学过的双曲线的相关知识，推断曲线的一个焦点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知求出曲线的、、，即可得解.
【详解】解：曲线的实轴是，实轴与渐近线的夹角为，
故，与的一个交点坐标是，
则与曲线对称中心的距离，则，
所以，故曲线的焦点坐标为，．
故选：A．
13．（2023上·贵州黔东南·高二凯里一中校考期末）已知双曲线，则双曲线的焦距是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的焦距直接求出.
【详解】由，得，
则，所以焦距为．
故选：D.
14．（2023上·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期末）已知双曲线经过点，且与椭圆有相同的焦点，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据椭圆方程可求出焦点，将代入双曲线，结合，解方程即可求解.
【详解】椭圆焦点为，
双曲线焦点为，且，
将代入双曲线，
得，
又，
解得，，
故双曲线的方程为，
故选：D.
15．（2023上·云南大理·高二统考期末）若直线与双曲线：的一条渐近线平行，则实数的值为（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】D
【分析】由双曲线方程写出渐近线方程，注意，结合直线平行列方程求参数值即可.
【详解】由题设双曲线化为标准方程为且，故，
所以，双曲线渐近线为，其中一条与平行，
所以，则.
故选：D
16．（2023上·四川凉山·高二统考期末）已知双曲线的左焦点为.若双曲线右支上存在点，使得与双曲线的一条渐近线垂直且交于点，，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】不妨设在第四象限，与渐近线垂直，写出直线方程，与方程联立求得点坐标，再根据得向量的关系，从而得点坐标，点坐标代入双曲线方程变形可得，得渐近线方程．
【详解】，不妨设在第四象限，与渐近线垂直，的斜率为，
所以直线方程为，
由，得，
设，由知：，即，
所以，，在双曲线上，
所以，化简得，则，
所以，故渐近线方程是．
故选：C
双曲线的离心率
17．（2023上·天津北辰·高二校考期末）若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】利用点到直线距离公式求得焦点到渐近线的距离为，由计算可得离心率为.
【详解】根据题意不妨取焦点，渐近线方程为，如下图所示：

可得焦点到渐近线的距离为，即；
则离心率.
故选：A
18．（2023上·天津北辰·高二校考期末）若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用勾股定理求出圆心到双曲线的渐近线的距离，再利用点到直线的距离公式求出的值，由此可求得双曲线的离心率的值.
【详解】双曲线的渐近线方程为，直线被圆所得截得的弦长为，

则圆心到直线的距离为，
由点到直线的距离公式可得，解得，则，
因此，双曲线的离心率为.
故选：B.
19．（2023上·江西吉安·高二吉安三中校考期末）黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618处．离心率为黄金比的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若黄金双曲线的右顶点为A，虚轴的上端点为B，左焦点为F，则（ ）
A．B．0C．D．
【答案】B
【分析】根据双曲线的顶点和上端点的定义，结合双曲线的离心率公式、平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可．
【详解】由题意可得：，，，
因为，则，，
则，可得，
即．
故选：B.
20．（2023上·贵州黔西·高二统考期末）已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．2或C．D．
【答案】A
【分析】根据渐近线方程和两条渐近线的夹角为可得，计算可得离心率.
【详解】由题意可得双曲线的渐近线方程为；
又，所以，
由两条渐近线的夹角为，可得渐近线方程为，
则，离心率；
故选：A
21．（2023上·浙江绍兴·高二统考期末）已知是双曲线的左右焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点且，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．
【答案】
【分析】在中，由正弦定理可得，再结合双曲线的定义和“三角形的两边之和大于第三边”，即可得解.
【详解】在中，，由正弦定理得，
，又点P是双曲线C上在第一象限内的一点，所以，
所以，在中，由，
得，即，所以，又，所以，
故答案为：
22．（2023上·山东青岛·高二校考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，若O为坐标原点，点P为双曲线上一点，且P在第一象限，，则 ．
【答案】/
【分析】由已知和双曲线的离心率公式可求得双曲线的标准方程，再根据双曲线的定义和勾股定理可得答案.
【详解】由双曲线的方程及其离心率为，得得，，
故双曲线的标准方程为．
由题意知所以 又，
在中，，
所以，所以.
故答案为：.
23．（2023上·江苏·高二统考期末）设为实数，已知双曲线的离心率，则的取值范围为
【答案】
【分析】根据双曲线离心率公式进行求解即可
【详解】因为表示双曲线的方程，
所以有，因此，
因为，
所以由
，
即k的取值范围为，
故答案为：.
24．（2023上·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）已知是某双曲线的一个顶点，且该双曲线的离心率为，则该双曲线的标准方程为 .
【答案】
【分析】由已知得，，再利用，进而得解.
【详解】由已知得，，
又，所以双曲线的标准方程为.
故答案为：.
25．（2023上·河南许昌·高二统考期末）双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左､右焦点分别为，从发出的光线经过图中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，则E的离心率为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合题意作出图形，然后结合双曲线的定义表示出，进而利用勾股定理可得的关系，从而可求出结果.
【详解】由题意知延长则必过点,如图：

由双曲线的定义知，
又因为，所以，
因为，所以，
设，则，因此，
从而由得，所以，
则，，，
又因为，所以，
即，即，
故选：B.
26．（2023上·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期末）已知双曲线的离心率为，右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，则有（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由离心率求得，求出渐近线方程，写出圆方程后，两方程联立求得交点坐标后，由直线的倾斜角可得结论．
【详解】由已知，，，
所以双曲线的渐近线方程为即为，
圆方程为，即，
取渐近线方程，
由，解得或，
不妨设，，
显然轴，又，即的倾斜角为，从而．

故选：B．
27．（2023上·青海西宁·高二校联考期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点.则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据渐近线方程得到，根据共焦点得到，解得答案.
【详解】双曲线的一条渐近线方程为，则.
椭圆与双曲线有公共焦点，则双曲线的焦距，即，
则，解得，，则双曲线C的方程为.
故选：B.
28．（2023上·河南平顶山·高二统考期末）已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为，直线l与C相交于A，B两点，若线段的中点为，则直线l的斜率为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】先利用题目条件求出双曲线的标准方程，然后利用点差法即可求出直线的斜率.
【详解】因为双曲线的标准方程为，
所以它的一个焦点为，一条渐近线方程为，
所以焦点到渐近线的距离，化简得，解得，
所以双曲线的标准方程为，
设，所以①，②，
①-②得，，
化简得③，
因为线段的中点为，所以，
代入③，整理得，
显然，所以直线的斜率.
故选：B
29．（2023上·安徽滁州·高二校考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，为双曲线右支上一点，且满足，则的周长为 .
【答案】/
【分析】由离心率求出、，再由双曲线定义结合已知可得，从而求出的周长.
【详解】由题意可得，，
，
，，
为双曲线右支上一点，
，
又 ，
，
则的周长为．
故答案为：．

30．（2023上·贵州铜仁·高二统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是，，其中为坐标原点，是第一象限内一点，若，且，线段与双曲线交于，若，则双曲线的渐近线方程为 .
【答案】
【分析】若为中点，易知，则△为等腰三角形，，根据已知可得、，结合双曲线定义得，进而可得，三角形中用余弦定理求，建立齐次方程求参数关系，即可得渐近线方程.
【详解】若为中点，则，故，
所以，即，故△为等腰三角形，，

又，则，由，则，
由，则，而，
且，
所以，则，故，即，
所以，故双曲线的渐近线方程为.
故答案为：
31．（2023上·陕西西安·高二长安一中校考期末）如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为55米，水平方向上塔身最窄处的半径为20米，最高处塔口半径25米，塔底部塔口半径为米，则该双曲线的离心率为 .
【答案】
【分析】设双曲线的标准方程，利用条件确定，进而利用离心率公式求解即可.
【详解】如图，
以冷却塔的轴截面所在平面建立的平面直角坐标系，
设双曲线的标准方程为，
则由题知，点横坐标为，，
点的横坐标分别为，
则设点的坐标为，
所以，解得，，
因冷却塔总高度为55米，
所以，，
所以，
故所求双曲线的离心率为：.
故答案为：
32．（2023上·上海浦东新·高二校考期末）已知轴上两点，则平面内到这两点距离之差的绝对值为8的动点的轨迹方程为
【答案】
【分析】由双曲线定义可得答案.
【详解】由题，动点轨迹为以为焦点，实轴为的双曲线，设双曲线方程为：
，右焦点为，则，
故.则双曲线方程为：.
故答案为：.
33．（2023上·广西防城港·高二统考期末）已知双曲线的左，右焦点为，右焦点到左顶点的距离是6，且离心率等于2.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过作斜率为的直线分别交双曲线的两条渐近线于第二象限的点和第一象限的点，若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据双曲线的顶点与焦点坐标，建立方程，可得答案；
（2）利用点斜式方程，设出直线方程，由双曲线方程，写出渐近线方程，联立求得交点，根据中点坐标公式，可得答案.
【详解】（1）由条件可知；由此解得；
，所以；所求的双曲线方程为.
（2）由条件，知，直线的方程是，
双曲线的渐近线方程为，
设，联立方程组，解得；
联立方程组，解得
因为是的中点，
于是，解得，所求的值是.
34．（2023上·重庆北碚·高二统考期末）如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，第一象限内的点P在双曲线上，点M是线段的中点，O为坐标原点．
(1)若点M在y轴上，求点P的坐标；
(2)若OM与垂直，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用M是线段的中点可得点横坐标，进而可得点P的坐标；
（2）设，由点P在双曲线上以及OM与垂直可列方程组求出点P的坐标，进而可得直线的方程．
【详解】（1）若点M在y轴上，且点M是线段的中点，
则点横坐标为，
又当时，，得
故点P的坐标为；
（2）设，则①
又OM与垂直，
则②
由①②得，即，
所以直线的方程为，
整理得直线的方程为，
即为.