专题04 圆的方程--2023-2024学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019选择性必修第二册）

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圆的方程
1．（2023上·甘肃临夏·高二校考期末）圆心坐标为，并经过点，则圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】假设圆的标准方程，代入点坐标即可得到结果.
【详解】由题意可设圆的标准方程为：，
，圆的标准方程为：.
故选：D.
2．（2023上·云南临沧·高二校考期末）已知半径为3的圆的圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设出圆心坐标，根据对称关系列出方程组，求出圆心坐标，结合半径为3，即可求解.
【详解】设圆心坐标，由圆心与点关于直线对称，
得到直线与垂直，
结合的斜率为1，得直线的斜率为，
所以，化简得①
再由的中点在直线上，，化简得②
联立①②，可得，
所以圆心的坐标为，
所以半径为3的圆的标准方程为.
故选：C
3．（2023上·吉林辽源·高二校联考期末）已知圆的方程为，过点的该圆的所有弦中，最短弦的长为（ ）
A．1B．2C．D．4
【答案】C
【分析】根据圆的几何特征，过圆内一点最短的弦是过此点且与该直径垂直的弦，然后用垂径定理即可求解
【详解】设圆的圆心为，为点，
由圆的方程为可得，故圆心，半径为2，
所以，
根据圆的几何特征，最短弦所在直线与垂直，
所以最短的弦长为，
故选：C
4．（2023上·新疆昌吉·高二校考期末）已知圆C的圆心在直线2x－y－7＝0上，且圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的标准方程为（ ）
A．(x－2)2＋(y－3)2＝5B．(x－2)2＋(y＋3)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋3)2＝5D．(x＋2)2＋(y－3)2＝5
【答案】B
【分析】设圆心，由得出圆心和半径，进而得出方程.
【详解】设圆心，因为，所以，
解得，则半径为，圆心.
即圆C的标准方程为.
故选：B
5．（2023上·四川凉山·高二统考期末）圆的圆心为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定的圆的方程，直接求出圆心坐标作答.
【详解】圆，即，
所以圆的圆心为.
故选：C
6．（2023上·广东广州·高二校联考期末）已知圆：的一条切线过点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据二元二次方程表示圆、点在圆外，列不等式来求得的取值范围.
【详解】方程表示圆，
则，，
解得或.
由于圆的一条切线过点，
所以，
所以的取值范围是.
故选：D
7．（2023上·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知直线与圆，则圆上的点到直线的距离的最小值为 .
【答案】
【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，根据圆的几何性质可知所求最小值为圆心到直线的距离减去半径.
【详解】由圆方程得：圆心，半径，
圆心到直线的距离，
圆上的点到直线距离的最小值为.
故答案为：.
8．（2023上·江苏南通·高二校考期末）曲线C：与轴围成图形的面积是 .
【答案】
【分析】将曲线C方程两边平方，化简为，它的图像是以为圆心，以2为半径的上半圆周（包括圆与轴的交点），用圆的面积公式乘以 即可得出答案.
【详解】由同时平方可得，
即，化简为：，
它的图像是以为圆心，以2为半径的上半圆周（包括圆与轴的交点），
曲线C：与轴围成图形的面积是.
故答案为：.
9．（2023上·重庆·高二校联考期末）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线：上.
(1)求圆心为的圆的一般方程；
(2)已知，为圆上的点，求的最大值和最小值.
【答案】(1)；
(2)最大值为，最小值为.
【分析】由和的坐标，求出直线的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为求出线段垂直平分线的斜率，再由和的坐标，利用线段中点坐标公式求出线段的中点坐标，由中点坐标和求出的斜率，得出线段垂直平分线的方程，与直线联立组成方程组，求出方程组的解集得到圆心的坐标，再由和的坐标，利用两点间的距离公式求出的值，即为圆的半径，由圆心和半径写出圆的标准方程，再化为一般方程即可;
（2）先确定点在圆外，求得可求的最大值和最小值．
【详解】（1）∵，，∴,
∴弦的垂直平分线的斜率为，
又弦的中点坐标为，∴弦的垂直平分线的方程为，即，
与直线：联立，解得：，
圆心坐标为，∴圆的半径，
则圆的方程为.
∴圆的一般方程为；

（2）由（1）知圆的方程为，
所以,∴在圆外，
的最大值为，最小值为.
10．（2023上·山东济南·高二统考期末）已知圆C经过点和且圆心在直线上．
(1)求圆C的方程；
(2)若点P为圆C上的任意一点，求点P到直线距离的最大值和最小值．
【答案】(1)；
(2)最大值为，最小值为.
【分析】（1）设出圆心、半径，根据已知条件列出方程组，求解方程组即可得到圆的标准方程；
（2）求出圆心到直线的距离，可知直线与圆相离.然后即可得出答案.
【详解】（1）设圆心为，半径为，则圆的标准方程为.
由已知可得，，解得，
所以，圆的标准方程为.
（2）由（1）知，圆心为，半径.
圆心到直线的距离.
所以，直线与圆相离.
所以，点P到直线距离的最大值为，最小值为.
圆中的轨迹问题
11．（2023上·山东枣庄·高二枣庄八中校考期末）两定点A，B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意建立坐标系，由题意可得点M的轨迹方程，进而可得M点的轨迹长．
【详解】以点A为坐标原点，直线AB为x轴，建立直角坐标系，如图，

则，设点，
由，得，化简并整理得：，
于是得点M的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，其周长为，
所以M点的轨迹长为.
故选：A.
12．（2023上·河南洛阳·高二统考期末）过定点M的直线与过定点N的直线交于点A（A与M，N不重合），则面积的最大值为（ ）
A．B．C．8D．16
【答案】C
【分析】根据题意分析可得点A在以为直径的圆上，结合圆的性质求面积的最大值.
【详解】对于直线，即，
可得直线过定点，
对于直线，即，
可得直线过定点，
∵，则直线与直线垂直，即，
∴点A在以为直径的圆上，且，
由圆的性质可知：面积的最大值为.
故选：C.
13．（2023上·北京西城·高二统考期末）设点，，直线，于点，则的最大值为（ ）
A．B．6C．4D．
【答案】B
【分析】依题意可得直线的方程，再联立直线的方程，消后可得到的轨迹方程为，则所求的最大值为圆心到点的距离加上半径，由此即可求解．
【详解】依题意可得直线的方程为，
联立，消整理得，
所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
故的最大值为，
故选：B．
14．（2023上·北京怀柔·高二统考期末）在平面内，、是两个不同的定点，是动点，若，则点的轨迹为（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【答案】A
【分析】建系设出、、的坐标，利用已知条件，转化求解的轨迹方程，推出结果即可．
【详解】在平面内，，是两个定点，是动点，以方向为正方向，线段的中点为原点，
建立平面直角坐标系，设，
则，，设点的坐标为，
所以，
因为，即，
所以，即，
化简得，
所以点的轨迹为圆．
故选：A．
15．（2023上·贵州黔西·高二统考期末）古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点，距离之比是常数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：已知，，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则动点的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】设，根据动点与点和点的距离关系列方程得到，化简即可得到轨迹方程.
【详解】解：设，又因为，，依题有
，得，
化简，得，即M的轨迹方程为：．
故答案为：.
16．（2023上·四川南充·高二统考期末）已知A，B分别是轴和轴上的两个动点，，若动点满足，若，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由题可得的中点的轨迹为以原点圆心，1为半径的圆，由题可得动点在以为直径的圆上，进而可得动点在以原点为圆心，半径为2的圆面上，然后结合图形即得.
【详解】设的中点为，由，可得，
所以点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，
又因为，所以动点在以为直径的圆上，即在以为圆心以1为半径的圆上，
所以动点在以原点为圆心，半径为2的圆面上，又，
所以当重合时，，
当的共线，在线段上时，最大，此时，
所以的取值范围为.
故答案为：.
17．（2023上·广东东莞·高二东莞市东莞中学校考期末）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是 ．
【答案】
【分析】设，，根据中点坐标公式可得，代入圆的方程，整理即可得到的轨迹方程.
【详解】设，，则由已知可得.
又是线段的中点，所以有，所以，
所以有，整理可得.
所以的轨迹方程是.
故答案为：.
18．（2023上·天津·高二统考期末）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的方程；
(2)已知点，点N在圆C上运动，求线段中点P的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出圆的标准方程，将点的坐标代入圆的方程，结婚圆心在直线上，列出方程组，解之即可求解；
（2）设点的坐标是，点的坐标是，利用中点坐标公式和点在圆上运动即可求解.
【详解】（1）设圆的方程为，由题意得
，解得
所以圆的方程为.
（2）设点的坐标是，点的坐标是，
由于点的坐标为，点是线段的中点，所以，
于是
因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，
即
所以，
整理得
所以，线段中点的轨迹方程.
19．（2023上·江西上饶·高二统考期末）已知为原点，线段的端点在圆上运动.
(1)求线段长度的取值范围；
(2)点在线段上，且，求动点的轨迹方程.
【答案】(1)|OA|
(2)
【分析】（1）根据点和圆的位置关系求得正确答案.
（2）设出的坐标，然后利用代入法求得的轨迹方程.
【详解】（1）圆的圆心为，半径，
则，
由于，
所以||；
（2）设,,由点在线段上，且，可得，
则有可得，
因为点在圆上，代入得，
整理可得点的轨迹方程为.
20．（2023上·广东广州·高二统考期末）数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数（，）的点M的轨迹是圆.若两定点，，动点M满足，点M的轨迹围成区域的面积为 ，△ABM面积的最大值为 .
【答案】
【分析】设动点，由结合两点距离公式可得得动点的轨迹方程为，可得圆心坐标和半径，即可求点M的轨迹围成区域的面积；又，只需，即可得△ABM面积的最大值.
【详解】解：设动点，则，，
由，即，
所以，
所以，
所以动点的轨迹方程为，
所以点的轨迹是圆且圆心，半径为，
点的轨迹区域面积；
，又，
所以，
而，的最大值为．
故答案为：；.
21．（2023上·湖南株洲·高二校考期末）若直线与直线交于点M，则M到坐标原点距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由两直线的方程判断两直线的位置关系，得到交点在以为直径的圆上，将点到原点的距离转化为圆上的点到定点的距离问题.
【详解】两直线满足，所以两直线垂直，
由得，斜率存在且过定点，
由得，过定点，
故交点在以为直径的圆上但不包含点，其中，则线段的最小值为.
故选：C.
22．（2023上·江西新余·高二统考期末）一束光线从点射出，经x轴上一点C反射后到达圆上一点B，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】确定圆心为，，关于轴的对称点为，，计算得到答案.
【详解】圆的圆心为，，
关于轴的对称点为，
.
故选：D
23．（2023上·山东东营·高二统考期末）已知点P为圆C：上一点,，，则的最大值为（ ）
A．5B．7C．10D．14
【答案】D
【分析】设，表示出，继而得，将问题转化为圆上的动点到的距离的最大值问题，可得答案.
【详解】设，则，
∵，，∴，，
则，
故，
而的几何意义为圆上的动点到的距离，其最大值为，
∴的最大值为，
故选：
24．（2023上·广东江门·高二统考期末）已知，两点，以线段AB为直径的圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由中点坐标公式求出的中点坐标即为圆心，再根据两点间的距离公式求出的长即直径，即可求得圆的标准方程.
【详解】由，，知的中点坐标为，
且，
则以线段为直径的圆的圆心坐标为，半径，
所以圆的标准方程为，
故选：D
25．（2023上·浙江温州·高二校考期末）已知集合， ，则集合中的元素所构成的图形面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分别判断两个集合表示的图形形状，再求公共部分的图形面积.
【详解】二元一次方程表示直线，当时，，直线过定点，
由，直线斜率，当时等号成立，因此集合表示的是过定点，斜率的所有直线；
不等式可改写为，因此集合表示的是以为圆心为半径的圆和圆内；
当时，直线方程为，圆心到直线距离，直线与圆相切，
则集合表示的图形是圆在第一象限内的部分，如图所示，
圆与轴相交于，，，圆在第一象限内的面积为.
故选：A
26．（2023上·重庆沙坪坝·高二重庆市第七中学校校考期末）圆关于直线的对称圆的标准方程为 .
【答案】
【分析】求出圆的圆心和半径，再求出圆心关于直线的对称点坐标，即可作答.
【详解】圆的圆心，半径，
设点关于直线的对称点，
则有，解得，因此所求圆的圆心，半径为，
所以所求圆的标准方程为：.
故答案为：
27．（2023上·湖北·高二武汉市第二十三中学校联考期末）已知A，B是平面上的两定点，，动点M满足，动点N在直线上，则距离的最小值为 ．
【答案】
【分析】以为原点建立平面直角坐标系，根据定义可得点的轨迹是以为圆心，
为半径的圆，则MN距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径.
【详解】如图，以为原点，为轴建立平面直角坐标系，则，
设动点，则由可得，整理可得，
故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
易得直线的方程为，
则由图可知MN距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径，
则圆心到直线的距离为，
所以MN距离的最小值为.
故选：C.
28．（2023上·北京密云·高二统考期末）关于曲线，给出下列四个结论：
①曲线关于原点对称，也关于轴、轴对称；
②曲线围成的面积是；
③曲线上任意一点到原点的距离者不大于；
④曲线上的点到原点的距离的最小值为1.
其中，所有正确结论的序号是 .
【答案】①②③④
【分析】画出曲线的图象，根据对称性、面积、图象等知识确定正确答案.
【详解】曲线，
则时，，
时，，
时，，
当时，，
由此画出曲线的图象如下图所示，
由图可知：
曲线关于原点对称，也关于轴、轴对称，①正确.
曲线围成的面积是，②正确.
曲线上任意一点到原点的距离者不大于，③正确
曲线上的点到原点的距离的最小值为1，即，
所以④正确.
故答案为：①②③④
29．（2023上·辽宁·高二校联考期末）已知圆C经过，两点，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若P是直线上的动点，Q是圆C上的动点，定点，求的最大值．
【答案】(1)
(2)15
【分析】（1）根据圆的几何性质求得圆心坐标和半径，进而求得圆的标准方程.
（2）利用点关于直线对称点以及三点共线来求得的最大值.
【详解】（1）依题可设圆心C的坐标为，
因为，所以，
解得，
则圆心C的坐标为，圆C的半径，
故圆C的标准方程为．
（2）因为，所以．
设点关于直线对称的点为，
则，
解得，即．
因为，所以，
当且仅当P，C，三点共线时，等号成立．
又，所以的最大值为15．
30．（2023上·广西防城港·高二统考期末）已知圆经过两点，圆心在直线上.
(1)求出这个圆的标准方程；
(2)当点到直线的距离最大时，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设圆的圆心为，在直线上，将两点坐标代入方程解得答案.
（2）直线过定点，当与直线垂直时，距离最大，计算斜率，根据垂直得到答案.
【详解】（1）设圆的圆心为，圆的一般方程为，由方程可知，
由条件在直线上，两点在圆上，
联立方程组，解得，
，为所求的圆的标准方程.
（2）直线化为，直线经过定点，
当与直线垂直时，距离最大，
，故直线斜率为，解得.
31．（2023上·广东深圳·高二深圳大学附属中学校考期末）矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，所在直线的方程为.
(1)求边所在直线的方程；
(2)求经过，，三点的圆的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）联立两条直线得点，由C与A关于点M对称得，由与垂直，得边所在直线的方程；
（2）联立直线方程解出B点坐标，设圆的一般方程，将M，A，B坐标分别代入，解出圆的方程.
【详解】（1）由，得，则，
因为矩形ABCD两条对角线相交于M，所以C与A关于点M对称，
设，所以，得，则，
因为边所在直线的方程为，斜率为，
与垂直，所以直线的斜率为，
则边所在直线的方程为，即；
（2）由，解得，故点的坐标为，
设所求圆的方程为，且，
则，得，
则所求圆的方程为：.
32．（2023上·山东菏泽·高二山东省郓城第一中学校考期末）某海面上有三个小岛(面积大小忽略不计)，岛在岛的北偏东45°方向处，岛在岛的正东方向处．以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，为单位长度，建立平面直角坐标系，如图所示．
(1)试写出的坐标，并求两岛之间的距离；
(2)已知在经过三个点的圆形区域内有未知暗礁，现有一艘船在岛的南偏西30°方向距岛处，正沿北偏东45°方向行驶，若不改变方向，该船有没有触礁的危险？
【答案】(1)，
(2)有触礁的危险
【分析】（1）根据坐标的表示方法和两点间的距离公式求解；（2）利用点和直线的位置关系即可判断.
【详解】（1）在的北偏东45°方向，在的正东方向
，
由两点间的距离公式知．
（2）设过三点的圆的方程为．
将代入上式，得
，解得．
圆的方程为，
则该圆的圆心为，半径．
设船起初所在的点为，则，
又该船航线所在直线的斜率为1，
该船航线所在的直线方程为．
圆心到此直线的距离．
若不改变方向，该船有触礁的危险．