专题03 直线的方程及位置关系--2023-2024学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019选择性必修第二册）

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直线的方程
1．（2023上·河北石家庄·高二统考期末）直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将直线方程化为斜截式，从而得到直线的斜率与倾斜角.
【详解】直线，即，则直线的斜率，
所以倾斜角为.
故选：D
2．（2023上·甘肃临夏·高二校考期末）直线经过点，倾斜角为，则直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由倾斜角可得直线斜率，利用直线点斜式可整理得到直线方程.
【详解】直线倾斜角为，直线斜率，
直线方程为：，即.
故选：C.
3．（2023上·新疆乌鲁木齐·高二校考期末）平面直角坐标系中下列关于直线的几何性质说法中，正确的有几个（ ）
①直线：过点
②直线在轴的截距是2
③直线的图像不经过第四象限
④直线的倾斜角为
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】①代入验证即可；②当时可得在轴的截距；③由可判断；④先求斜率可得倾斜角.
【详解】①将代入得，故正确；
②当时，，故在轴的截距是，故错误；
③由得，
故，
故其图像不经过第四象限，故正确；
④的斜率为，故倾斜角为，故正确；
故选：C
4．（2023上·湖南永州·高二统考期末）下列直线经过第一象限且斜率为-1的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意利用直线方程的斜截式即可选出答案．
【详解】满足题意的直线方程通式为：
故选：B
5．（2023上·四川南充·高二统考期末）直线的横截距与纵截距分别为（ ）
A．2，B．2，1C．4，D．4，2
【答案】C
【分析】根据截距的概念即得.
【详解】因为直线，
令，可得，令可得，
所以直线的横截距与纵截距分别为4，.
故选：C.
6．（2023上·新疆喀什·高二新疆维吾尔自治区喀什第二中学校考期末）过点的直线方程（一般式）为 ．
【答案】
【分析】先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程，然后化简为一般式即可.
【详解】因为过点的直线的斜率为，
所以直线方程为，
化为一般式为，
故答案为： ．
7．（2023上·甘肃武威·高二天祝藏族自治县第一中学校考期末）将直线绕它上面一点沿逆时针方向旋转，所得到的直线方程是 ．
【答案】
【分析】由直线的倾斜角，得到逆时针方向旋转后的倾斜角，求出旋转后的斜率，使用点斜式求出旋转后的直线方程即可.
【详解】直线的斜率，倾斜角，
绕直线上一点沿逆时针方向旋转后，倾斜角，斜率，
∴旋转后得到的直线方程为：，即.
故答案为：.
8．（2023上·吉林长春·高二东北师大附中校考期末）已知直线x＋y－k＝0与两坐标轴围成的三角形的面积不小于8，则k的取值范围为 ．
【答案】或
【分析】先求出直线的横纵截距，再利用三角形的面积公式求解即可.
【详解】令,得，
令,得，
由题意知，由直线与两坐标轴围成的三角形面积不小于8，
则，
解得或，
故实数的取值范围为或.
故答案为：或
两直线的位置关系
9．（2023上·河南许昌·高二统考期末）已知直线过，且，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用，求出直线斜率，利用可得斜率乘积为，即可求解.
【详解】设直线斜率为，直线斜率为，
因为直线过，，
所以斜率为，
因为，所以，
所以，即直线的斜率为.
故选：B.
10．（2023上·山东枣庄·高二枣庄八中校考期末）若直线与直线互相垂直，则的值为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】D
【分析】根据两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可；
【详解】因为直线与直线互相垂直，
所以，解得；
故选：D
11．（2023上·山东德州·高二统考期末）已知直线，且，则实数a的值为（ ）
A．5B．1C．5或D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，列出方程求解，再验证判断作答.
【详解】直线，，由解得或，
当时，直线与重合，不符合题意，
当时，直线与平行，
所以实数a的值为.
故选：D
12．（2023上·辽宁鞍山·高二鞍山一中校联考期末）直线和直线的位置关系是（ ）
A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．重合
【答案】B
【分析】根据两直线的方程求出各自的斜率，然后斜率的关系进行判断即可.
【详解】方程可化为，因此该直线的斜率.
方程可化为，因此该直线的斜率，
因为，所以这两条直线相交但不垂直.
故选：B.
13．（2023上·广东东莞·高二东莞市东莞中学校考期末）已知过两点的直线与直线平行，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【分析】由题知，再解方程即可得答案.
【详解】解：因为过两点的直线与直线平行，
所以直线的斜率为，解得，
故选：D
14．（2023上·江西上饶·高二统考期末）下列与直线平行的直线的方程是（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据平行直线斜率相等，截距不等可得答案.
【详解】直线斜率为，纵截距为，
A选项：直线斜率为，纵截距为，符合；
B选项：直线斜率为，纵截距为，不符合；
C选项：直线斜率为，纵截距为，不符合；
D选项：直线斜率为，纵截距为，不符合；
故选：A.
15．（2023上·北京西城·高二统考期末）设，则过线段的中点，且与垂直的直线方程为 .
【答案】
【分析】求出线段的中点坐标和斜率，利用点斜式写出直线方程.
【详解】因为，所以线段的中点，且.
所以与垂直的直线的斜率为，
所以过线段的中点，与垂直的直线方程为，即.
故答案为：
16．（2023上·河南三门峡·高二统考期末）已知直线与平行，则实数 ．
【答案】0或
【分析】根据两直线平行的性质求解.
【详解】因为直线与平行，
所以，
解得或，
经检验，此时两直线平行.
故答案为：0或
距离公式问题
17．（2023上·河南驻马店·高二统考期末）点到直线距离的最大值为（ ）
A．5B．C．D．3
【答案】A
【分析】首先确定直线所过的定点，再利用数形结合求点到直线的距离的最大值.
【详解】直线：，

令，，得直线过定点，
所以直线表示过定点的直线，如图，当时，表示点到直线的距离，
当不垂直于时，表示点到直线的距离，显然，
所以点到直线距离的最大值为,
所以点到直线距离的最大值为.
故选：A
18．（2023上·山西阳泉·高二统考期末）若两条直线与平行，则与间的距离是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平行关系求解，进而根据平行线间距离公式即可求解.
【详解】由与平行，可得，
当时，两直线不重合，故，进而与间的距离为，
故选：B
19．（2023上·四川遂宁·高二统考期末）已知点A与点关于直线对称，则点A的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】因点A与点B关于直线对称，则AB中点在直线上且直线AB与直线垂直.
【详解】设，因点A与点B关于直线对称，则AB中点在直线上且直线AB与直线垂直，
则，
即点A坐标为.
故选：C
20．（2023上·浙江舟山·高二统考期末）已知点P在直线上,,则的最小值为（ ）
A．B．5C．D．
【答案】D
【分析】过点做关于直线的对称点,求出点坐标,则直线是线段的垂直平分线,则,的值即为所求.
【详解】解:由题知,过点做关于直线的对称点,
取直线上一点,连接,
连接交于点,连接,如图所示:
则有,解得,即,
因为关于直线对称,
所以直线是线段的垂直平分线,
所以,则,
当且仅当点运动到处时,
所以.
故选:D.
21．（2023上·四川遂宁·高二校考期末）已知直线l经过两直线l1：3x﹣y+12＝0，l2：3x+2y﹣6＝0的交点，且与直线x﹣2y﹣3＝0垂直，则坐标原点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先联立方程求得交点坐标，再利用直线垂直求得直线l的斜率，从而求得直线l的方程，进而利用点线距离公式即可得解.
【详解】联立方程组可得，解得，故交点A的坐标为，
因为直线x﹣2y﹣3＝0的斜率为，又直线l与直线x﹣2y﹣3＝0垂直，所以直线l的斜率为﹣2，
故直线l的方程为，即2x+y﹣2＝0；
所以原点到直线的距离为.
故选：A.
22．（2023上·浙江宁波·高二期末）若三条直线与能围成一个直角三角形，则 ．
【答案】或1
【分析】由三条直线两两垂直，即两直线的斜率之积为，求解即可.
【详解】显然，3x-y+1=0，x+y+3=0有交点，
若与垂直，则；
若与垂直，则．所以或1．
故答案为：或1
23．（2023上·安徽六安·高二六安一中校考期末）线从出发，先后经，两直线反射后，仍返回到点．则光线从点出发回到点所走的路程为 ．
【答案】
【分析】利用入射光线与反射光线的性质，结合对称可求答案.
【详解】显然关于直线的对称点，如图，由反射光线性质知,
设关于直线的对称点，，解得；
由反射光线性质知
所以△各边即为光线所走的路线，其周长等于线段的长度，
.
故答案为：.
24．（2023上·浙江宁波·高二统考期末）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，则点坐标为 .
【答案】
【分析】先根据直线AC与直线BH垂直，斜率乘积为-1，得到，从而利用点斜式求出直线AC方程，与CM所在直线联立求出点C坐标即可.
【详解】因为边AC上的高BH所在直线方程为，
∴ ，且，∴
∵的顶点，
∴直线AC方程：，即，
与联立， ，解得：，
所以顶点C的坐标为，
故答案为：.
25．（2023上·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期末）已知直线，下列说法中正确的是（ ）
A．直线l的倾斜角为B．是直线l的一个方向向量
C．直线l的斜率为D．是直线l的一个法向量
【答案】C
【分析】由倾斜角，方向向量，斜率，法向量等概念判断各选项正误即可.
【详解】AC选项，由题可得，则直线斜率为，倾斜角为，故A错，C正确；
BD选项，由题可得直线的一个方向向量为，因与不共线，与不垂直，故BD错误.
故选：C
26．（2023上·浙江湖州·高二统考期末）数学家欧拉1765在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点分别为，则的欧拉线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求出重心坐标，求出AB边上高和AC边上高所在直线方程，联立两直线可得垂心坐标，即可求出欧拉线方程.
【详解】由题可知，△ABC的重心为，
可得直线AB的斜率为，则AB边上高所在的直线斜率为，则方程为，
直线AC的斜率为，则AC边上高所在的直线斜率为2，则方程为，
联立方程可得△ABC的垂心为，
则直线GH斜率为，则可得直线GH方程为，
故△ABC的欧拉线方程为.
故选：C.
27．（2023上·浙江绍兴·高二统考期末）已知，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】B
【分析】利用两点间距离公式及线段和的性质求解.
【详解】如图，设，， ， ，
表示点与之间的距离；
表示点与之间的距离；
表示点与之间的距离；
表示点与之间的距离；
所以
，
其中是以1为边长的正方形内任意一点，
，；
故，
当且仅当时，，等号成立，所以原式的最小值为.
故选：B
28．（2023上·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期末）已知直线：的倾斜角为，直线的倾斜角为，且直线在轴上的截距为3，则直线的一般式方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据正切二倍角公式，斜截式方程求解即可.
【详解】解：∵直线：的倾斜角为，斜率为，∴，
∵直线的倾斜角为，∴斜率为，
∴的方程为，即.
故选：B．
29．（2023上·山东泰安·高二统考期末）设、是轴上的两点，点P的横坐标为2，且，若直线PA的方程为，则直线PB的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据直线PA的方程，确定出的倾斜角，利用且、在轴上，可得的倾斜角，求出的坐标，然后求出直线的方程．
【详解】解：由于直线的方程为，故其倾斜角为，
又，且、是轴上两点，故直线的倾斜角为，
又当时，，即，
直线的方程为，即．
故选：A．
30．（2023上·广东广州·高二统考期末）若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设与直线平行的直线的方程为，当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小，根据导数的几何意义求出直线的方程，再利用平行线间的距离公式即可求得结果.
【详解】设与直线平行的直线的方程为，
∴当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小，
设切点， ，所以，
，，，
点，直线的方程为，
两点间距离的最小值为平行线和间的距离，
两点间距离的最小值为.
故选：.
31．（2023上·广东深圳·高二统考期末）已知、，若直线经过点，且与线段有交点，则的斜率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】作出图形，数形结合可得出直线的斜率的取值范围.
【详解】过点作，垂足为点，如图所示：
设直线交线段于点，设直线的斜率为，且，，
当点在从点运动到点（不包括点）时，直线的倾斜角逐渐增大，
此时；
当点在从点运动到点时，直线的倾斜角逐渐增大，此时.
综上所述，直线的斜率的取值范围是.
故选：D.
32．（2023上·上海奉贤·高二校考期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】利用点关于直线的对称点结合两点间的距离公式即可求解．
【详解】如图所示，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时路程和最小，
由题知，点满足：
，解得：，，即点，
因为，
所以“将军饮马”的最短总路程为，
故选：D
33．（2023上·甘肃临夏·高二校考期末）已知直线过点，为坐标原点．
(1)若与垂直，求直线的方程：
(2)若直线与平行，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据垂直关系可得直线斜率，利用直线点斜式可整理得到直线方程；
（2）根据平行关系可假设直线方程，代入所过点坐标即可求得结果.
【详解】（1），直线与垂直，，
又直线过点，直线方程为：，即.
（2）由题意可设直线方程为：，
又直线过点，，解得：，
直线方程为：.
34．（2023上·广西防城港·高二统考期末）已知直线与轴，轴的交点分别为.直线经过点且倾斜角为.
(1)求直线的一般方程；
(2)求线段的中垂线方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意求出点的坐标和斜率，利用点斜式方程求解即可；
（2）求出中点坐标和斜率，利用点斜式方程求解即可.
【详解】（1）设直线的斜率为，则
过令，得，所以，
由直线的点斜式方程，代入可得，，
化简得，所以所求的直线方程为.
（2）设线段的中垂线斜率为，线段的中点为，设直线的斜率为，
由直线可得，则，
由垂直关系可知，，解得；
令，得，所以，
由中点坐标公式可知，，即，
由直线的点斜式方程，代入可得，，
化简得，即线段的中垂线方程是.