高二上学期数学核心专题1.空间向量中的主要应用

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1.直线的方向向量：
点，那么直线的方向向量可为
2.平面的法向量定义：
直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合.
注：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量．已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量．
3.平面的法向量确定通常有两种方法：
（1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；
（2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：
（i）设出平面的法向量为；
（ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，；
（iii）根据法向量的定义建立关于的方程；
（iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．
4. 用向量方法判定空间中的平行关系
空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行．
（1）线线平行
设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即．
（2）线面平行
线面平行的判定方法一般有三种：
①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即．
②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量．
③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．
（3）面面平行
①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．
②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明．
用向量方法判定空间的垂直关系
空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直．
（1）线线垂直
设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即．
（2）线面垂直
①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明．
②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．
（3）面面垂直
①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．
②证明两个平面的法向量互相垂直．
6.用向量方法求空间角
（1）求异面直线所成的角
已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，
则．
注：两异面直线所成的角的范围为．两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．
（2）求直线和平面所成的角
如图，设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有．（易错点）
（3）求二面角
如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，.
若分别为面的法向量，，则二面角的平面角或，即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角．
①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小．
②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小．
7.用向量方法求空间距离
（1）.求点面距的一般步骤：
①求出该平面的一个法向量；
②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；
③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．
即：点A到平面的距离，是平面的法向量，如下图所示.

（2）.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解．
直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．
两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．
（3）. 点线距
设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 .
二．典例分析
例1．在正方体中，为的中点，为线段上的点，且，则（ ）
A．平面平面B．平面平面
C．四点共面D．与所成角的余弦值为
【详解】如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，因为为的中点，为线段上的点，且，所以，，，，，，，，，
对于A选项，设平面的一个法向量为，，，
则，即，令得
设平面的一个法向量为， ，
则，即，令得，
所以，即平面平面不满足，错误；
对于B选项，设平面的一个法向量为，，
则，即，令得，
所以，，即平面平面不满足，错误；
对于C选项，由，
若四点共面，则存在实数，使得，
即，显然方程组无解，故不存在实数，使得成立，
所以四点不共面，错误；对于D选项，，，
所以，
所以，与所成角的余弦值为，正确；故选：D
例2．如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．
(1)证明：；
(2)点在棱上，当二面角为时，求．

【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，，
，又不在同一条直线上，.
（2）设，则，
设平面的法向量，则，
令 ，得，，设平面的法向量，
则，令 ，得，
，，
化简可得，，解得或，或，.
例3．如图，正三棱柱中，分别是棱上的点，.

(1)证明：平面平面；
(2)若，求二面角的余弦值.
【详解】（1）证明：取的中点,连接，在正三棱柱中，不妨设;以为原点，分别为轴和轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则,，
；
设平面的一个法向量为，则, ，
取，则，即；
设平面的一个法向量为，则,
即，取得.因为，所以平面平面；

（2）因为，由（1）可得，即，易知平面的一个法向量为,；二面角的余弦值为.
例4．如图，在四棱锥中，底面，，底面为直角梯形，，，，点在棱上，且．

(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【详解】（1）因为底面，底面，所以，因为，面，所以面，因为面，所以，因为底面为直角梯形，，，，所以在中，，,在中，，，连接，，设，则，所以，所以，又因为平面，平面，所以平面.
（2）因为底面，底面，所以，因为底面为直角梯形，所以，所以以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以,
所以，设平面的一个法向量，
所以，取，则，设直线与平面所成角大小为，因为，所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.

例5．如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线，交于点，，，，底面，设点是的中点．

(1)直线与平面所成角的正弦值；
(2)点到平面的距离.
【详解】（1）因为四边形为菱形，所以，
又面，故以为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图，

因为，，，且为中点，
则，，，，，，
故，，，
设面的法向量为，则，
令，则，，故，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为；
（2）由（1）可知，面的一个法向量为，
所以点到平面的距离，故点到平面的距离为．