高二上学期数学核心专题2.直线与方程中的核心考点

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1.直线方程的五种形式
注意：①求直线方程的方法主要有两种：一是直接法，根据已知条件，选择适当的直线方程的形式，直接写出直线方程；二是待定系数法，先设出直线方程，再根据条件求出待定系数，最后代入求出直线方程.但使用直线方程时，一定要注意限制条件，以免解题过程中丢解.
②截距与距离的区别：截距可为一切实数，纵截距是直线与轴交点的纵坐标，横截距是直线与轴交点的横坐标，而距离是一个非负数.
2．两条直线的交点
若直线：和：相交，则交点坐标是方程组的解.
3．两条直线位置关系的判定
（1）利用斜率判定
若直线和分别有斜截式方程：和：，则
①直线∥的等价条件为.
②直线与重合的等价条件为.
③直线与相交的等价条件为；特别地，的等价条件为.
若与斜率都不存在，则与平行或重合.
若与中的一条斜率不存在而另一条斜率为，则与垂直.
（2）用直线一般式方程的系数判定
设直线：，：，则
①直线∥的等价条件为.
②直线与重合的等价条件为.
③直线与相交的等价条件为；特别地， 的等价条件为
.
注：与平行的直线方程一般可设为的形式，与垂直的直线方程一般可设为的形式.
（3）用两直线联立的方程组的解的个数判定
设直线：，：，将这两条直线的方程联立，得方程组，若方程组有惟一解，则与相交，此解就是，交点的坐标；若方程组无解，此时与无公共点，则∥；若方程组有无数个解，则与重合.
4.距离公式
（1）两点间的距离公式
平面上的两点间的距离.
特别地，原点与任一点的距离.
若轴时，；若轴时，.
（2）点到直线的距离公式
已知点，直线：，则点到直线的距离.
已知点，直线：，则点到直线的距离.
已知点，直线：，则点到直线的距离.
注：用此公式求解点到直线距离问题时，直线方程要化成一般式.
（3）两条平行直线间的距离公式
已知两平行直线：和：，若点在上，则两平行直线和的距离可转化为到直线的距离.
已知两平行直线：和：，则两直线和的距离.
注：用此公式求解两平行直线间的距离时，直线方程要化成一般式，并且项的系数必须对应相等.
二．典例分析
例1.已知直线(a－2)y＝(3a－1)x－1，若直线不过第二象限，求实数a的取值范围．
解析：直线方程化为(3x－y)a－(x－2y＋1)＝0.
由得[来即无论a为何实数，直线总过定点.
设直线的斜率为k，直线OP的斜率为kOP.
由图象可知，当直线的斜率k满足k≥kOP时，直线与y轴的交点不会在原点的上方，即直线不经过第二象限．
故由k≥kOP，解得a∈(2，＋∞)．又当a＝2时满足题意，故实数a的取值范围是[2，＋∞)．
例2.无论 取何实数，直线恒过一定点，则该定点坐标为（ ）
A． B．C．D．
例3．已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于：和：的交点情况是（ ）
A．存在、、使之无交点
B．存在、、使之有无穷多交点
C．无论、、如何，总是无交点
D．无论、、如何，总是唯一交点
解析：因为与是直线上两个不同的点，直线斜率存在，
所以，即，并且，则，联立，消得，即，所以，所以方程组有唯一解，即无论、、如何，总是唯一交点.故选：D.
例4．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
解析：由题意可知，动直线经过定点，动直线，即，经过点定点，动直线和动直线的斜率之积为，始终垂直，又是两条直线的交点，，．
设，则，，由且，可得，
，，，，，
，，，，故选：B．
例5．著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难人微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离，结合．上述观点，可得的最小值为______．
解析：设，则，
∴的几何意义为点与两定点，之间的距离之和．
如图所示：
设点关于x轴的对称点为，则的坐标为（2，－4）．则，，要求的最小值，即求的最小值，
又，即的最小值为．故答案为：.
例6．设的最小值为_______.
解析：从几何意义看，+表示点到点和距离的和，其最小值为和两点间的距离.故答案为：
名称
方程的形式
常数的几何意义
适用范围
点斜式
是直线上一定点，是斜率
不垂直于轴
斜截式
是斜率，是直线在轴上的截距
不垂直于轴
两点式
，是直线上两定点
不垂直于轴和轴
截距式
分别是直线在轴上和轴上的非零截距
不垂直于轴和轴，且不过原点
一般式
时，斜率为，在轴上的截距，在轴上的截距为
任何直线