云南省沧源佤族自治县民族中学2021~2022学年高二上学期期末考试数学试题

这是一份云南省沧源佤族自治县民族中学2021~2022学年高二上学期期末考试数学试题，共12页。试卷主要包含了如图1，在空间四边形中，则，已知函数在处的导数为，则，直线与直线平行，则为，已知数列是等差数列，且，以下关于的命题，正确的是等内容，欢迎下载使用。
高二数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第2页，第1卷第3页至第4页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．如图1，在空间四边形中，则（ ）
图1
A．B．C．D．
4．已知函数在处的导数为，则（ ）
A．B．C．D．
5．直线与直线平行，则为（ ）
A．或B．C．2D．
6．已知数列是等差数列，且（且），则该数列的公差是（ ）
A．1B．C．D．
7．已知圆与圆外切，则点与圆的位置关系是（ ）
A．在圆外B．在圆上C．在圆内D．不能确定
8．若直线的一个方向向量，平面的一个法向量为，则（ ）
A．B．C．D．或
9．已知椭圆上的点到该椭圆一个焦点的距离为4，N是的中点，为坐标原点，那么线段的长是（ ）
A．6B．5C．4D．3
10．以下关于的命题，正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．直线是函数图象的一条对称轴
C．点是函数图象的一个对称中心
D．将函数图象向右平移个单位，可得到的图象
11．已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
12．在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
注意事项：
第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若点，则______．
14．函数的图象在点处的切线的倾斜角为______．
15．已知函数则______；若，则______．（第一空2分，第二空3分）
16．已知双曲线的左、右焦点分别为是的左顶点，点在过点且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则双曲线的离心率为______．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
开学初学校进行了一次摸底考试，物理老师为了了解自己所教的班级参加本次考试的物理成绩的情况，从参考的本班同学中随机抽取名学生的物理成绩（满分100分）作为样本，将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如图2所示，已知抽取的学生中成绩在内的有3人．
图2
（Ⅰ）求的值，并估计本班参考学生的平均成绩；（每组数据用中点值代替）
（Ⅱ）已知抽取的名参考学生中，在的人中，女生有甲、乙两人，现从的人中随机抽取2人参加物理竞赛，求女学生甲被抽到的概率．
18．（本小题满分12分）
若数列的前项和满足．
（Ⅰ）求证：数列是等比数列；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
19．（本小题满分12分）
已知圆的半径为，圆心在直线上，点在圆上．
（Ⅰ）求圆的标准方程；
（Ⅱ）若原点在圆内，求过点且与圆相切的直线方程．
20．（本小题满分12分）
如图3，在三棱锥中，为正三角形，平面平面．
图3
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若是的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
21．（本小题满分12分）
如图4，已知抛物线过点．
图4
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）过点的直线与抛物线交于两个不同的点（均与点不重合），设直线的斜率分别为，求证：为常数．
22．（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）讨论函数在定义域上的单调性；
（Ⅱ）当时，求证：恒成立．
沧源佤族自治县民族中学2021～2022学年上学期期末考试卷
高二数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
【解析】
1．集合，，则，故选B．
2．，即，故选A．
3．，故选C．
4．根据题意，，故选A．
5．直线与直线平行，，解得，故选D．
6．设等差数列的公差为，则，故选D．
7．由题可得，，即，显然可知，点在圆上，故选B．
8．或，故选D．
9．椭圆方程为，可得，如图1，中，分别为和的中点，，∵点在椭圆上，可得，由此可得，故选B．
图1
10．函数．对于A，由于，所以，故函数在该区间上有增有减，故A错误；对于B，当时，，故B正确；对于C，当时，，故C错误；对于D，函数图象向右平移个单位，可得到的图象，故D错误，故选B．
11．，，．
，，，
∵正项等比数列，，，，
，，，，
，
当且仅当，即时取等号，故选A．
12．建立空间直角坐标系，如图2，则，
所以，所以在上的投影长度为，
所以点到直线的距离，故选C．
图2
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
【解析】
13．．
14．由题意得，所以，所以函数的图象在点处的切线的斜率为1，倾斜角为．
15．根据题意，，则；
函数当，
若，必有，且，
解得或（舍），若，
则有且，解得．
16．如图3，过点作轴，垂足为．因为为等腰三角形，所以，则，所以，解得，所以双曲线的离心率．
图3
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，
成绩在内的频率为，
因为成绩在内的频数为3，
所以抽取的样本容量，
所以参考学生的平均成绩为（分）．
（Ⅱ）由频率分布直方图知，抽取的学生中成绩在的人数为，
因为有甲、乙两名女生，所以有两名男生，
用表示两名男生，从4人中任取2人的所有情况为甲乙，甲，甲，乙，乙，，共6种，其中女学生甲被抽到的情况共3种，
所以随机抽取2人参加物理竞赛，其中女学生甲被抽到的概率为．
18．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：当时，，解得；
当时，，
则，
即，
所以，
又，
所以数列是首项为，公比为2的等比数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，
所以，
,
所以．
19．（本小题满分12分）
解：（I）设圆的标准方程为，
由已知得
解得或
故圆的方程为或．
（Ⅱ）因为原点在圆内，故圆的方程为，
圆心为，半径为，
设切线为，即，
则，解得或，
故切线为或，
即或即为所求．
20．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：如图4，设为的中点，．
平面平面底面．
又，平面．
图4
（Ⅱ）解：设的中点为，．
由（Ⅰ）知两两垂直，以为轴、轴、轴的正半轴建立空间直角坐标系，
，取，
则，．
．
设平面的法向量为，则即
取，则．
直线与平面所成角的正弦值为．
21．（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：由题意得，所以抛物线方程为．
（Ⅱ）证明：设，直线的方程为，
代入抛物线方程得．
所以．
所以
，所以是定值．
22．（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：，
当时，在上递减；
当时，时，，
故在上递减，在上递增．
（Ⅱ）证明：当时，，
令，
则，
令，解得，
令，解得，
故在上递减，在上递增，
故，显然成立，
故恒成立．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
C
A
D
D
B
D
B
B
A
C
题号
13
14
15
16
答案
1；
3