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    专题05 直线与圆、圆与圆的位置关系--2023-2024学年高二数学上学期期末真题分类汇编(人教A版2019选择性必修第二册)

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    专题05 直线与圆、圆与圆的位置关系--2023-2024学年高二数学上学期期末真题分类汇编(人教A版2019选择性必修第二册)

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    这是一份专题05 直线与圆、圆与圆的位置关系--2023-2024学年高二数学上学期期末真题分类汇编(人教A版2019选择性必修第二册),文件包含专题05直线与圆圆与圆的位置关系备战2023-2024学年高二数学上学期期末真题分类汇编人教A版2019选择性必修第一册原卷版docx、专题05直线与圆圆与圆的位置关系备战2023-2024学年高二数学上学期期末真题分类汇编人教A版2019选择性必修第一册解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共34页, 欢迎下载使用。

    直线与圆、圆与圆的位置关系
    1.(2023上·重庆·高二统考期末)直线l:与圆C:的位置关系是( )
    A.相交B.相切C.相离D.都有可能
    【答案】A
    【分析】利用圆心到直线的距离与半径比较大小可得答案.
    【详解】圆C的圆心坐标为,半径为2,直线l的方程为,
    圆心到直线l的距离为,
    所以直线l与圆C的位置关系是相交.
    故选:A.
    2.(2023上·四川眉山·高二仁寿一中校考期末)已知圆与抛物线的准线相切,则( )
    A.B.C.8D.2
    【答案】D
    【分析】根据抛物线的几何性质,直线与圆的位置关系即可求解.
    【详解】 抛物线 的准线为,
    又圆 与该抛物线的准线相切,
    圆心到准线 的距离:
    .
    故选: D.
    3.(2023上·陕西西安·高二长安一中校考期末)已知直线与圆,则圆上的点到直线的距离的最小值为( )
    A.1B.C.D.
    【答案】B
    【分析】确定圆心和半径,计算圆心到直线的距离,再计算最小值得到答案.
    【详解】圆,圆心为,半径,
    圆心到直线的距离为,直线和圆相离,
    故圆上的点到直线的距离的最小值为.
    故选:B
    4.(2023上·天津·高二校联考期末)圆上的点到直线的最大距离是( ).
    A.36B.C.18D.
    【答案】B
    【分析】求出圆的圆心坐标及半径,利用点到直线的距离公式计算,判断直线与圆的位置关系,即可求解.
    【详解】因为圆,即,
    所以圆心坐标为,半径,
    因为圆心到直线的距离,
    所以直线与圆相离,
    所以圆上的点到直线的最大距离为
    .
    故选:B.
    5.(2023上·浙江台州·高二期末)已知曲线,若存在斜率为的直线与曲线C有两个交点,则实数m的取值范围为( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【分析】数形结合,分析CB斜率可得.
    【详解】由,若与x轴相交于,
    记右侧交点为,则当时,存在斜率为的直线与曲线C相切,且切点在第一象限,故此时存在斜率为的直线与曲线C有两个交点.
    故或.
    故选:D
    6.(2023上·重庆·高二统考期末)与圆:及圆:都外切的圆的圆心在( )
    A.椭圆上B.双曲线的一支上C.抛物线上D.圆上
    【答案】B
    【分析】根据两圆方程得出两圆的圆心坐标和半径,判断出两圆的位置关系,再利用与两圆都外切的位置关系得出圆心距离所满足的等量关系,结合圆锥曲线的定义即可得出答案.
    【详解】设所求圆的半径为,圆心为,
    圆:的圆心,半径,
    圆化为标准方程得,则圆心,半径,
    因为,所以两圆相离,
    由题意可得,两式相减得,
    所以圆心在双曲线的一支上.
    故选:B.
    7.(2023上·新疆·高二校联考期末)已知圆,圆,则圆与圆的位置关系为( )
    A.相离B.相交C.外切D.内切
    【答案】C
    【分析】确定两圆的圆心和半径,根据圆心距与半径的关系判断位置关系即可.
    【详解】圆的圆心与圆的圆心,所以两圆的圆心距为3,
    又圆的半径为1,圆的半径为2,且圆心距等于圆与圆的半径之和,
    所以圆与圆的位置关系为外切.
    故选:C.
    8.(2023上·陕西西安·高二长安一中校考期末)已知两圆和恰有三条公切线,若,,且,则的最小值为( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【分析】确定两圆圆心和半径,根据公切线得到两圆外切,得到,变换得到,展开利用均值不等式计算得到答案.
    【详解】,即,圆心,;
    ,即,圆心,半径;
    两圆恰有三条公切线,即两圆外切,故,
    即,
    .
    当且仅当,即,时等号成立.
    故选:A
    9.(2023上·广东清远·高二统考期末)已知两圆与外离,则整数m的取值是 .
    【答案】
    【分析】分别求出两圆的圆心和半径,根据两圆外离可知圆心距大于两半径之和,即可解出的取值范围,再取整数即可得到结果.
    【详解】因为圆的圆心为,半径
    圆的标准方程为,所以,即;
    圆的圆心为,半径
    两圆圆心的距离为,
    由两圆外离可得,即,解得
    所以,
    故整数m的取值为.
    故答案为:
    10.(2023上·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期末)在平面直角坐标系中,已知,圆,在直线上存在异于的定点,使得对圆上任意一点,都有为常数),则的坐标为 .
    【答案】
    【分析】设,,根据距离公式得到对圆上任意点恒成立,从而得到对任意恒成立,从而得到,即可求出与,从而得解.
    【详解】设,,
    则,.
    若在直线上存在异于的定点,使得对圆上任意一点,都有为常数,
    等价于对圆上任意点恒成立,
    即,
    整理得,
    因为点在直线上,所以,
    由于在圆上,所以,
    故恒成立,
    其中点在圆上,令,则,
    所以直线与圆有交点,
    所以圆心到直线的距离小于等于半径,即,解得,即,
    所以,显然,所以,
    故,
    因为,解得或.
    当时,,此时重合,舍去.
    当时,,
    综上,存在满足条件的定点,此时.
    故答案为:
    【点睛】关键点睛:本题解决的关键是利用题设条件,结合与化简得恒成立,从而得到关于的方程组,由此得解.
    圆的切线、弦长问题
    11.(2023上·广西防城港·高二统考期末)直线截圆所得的弦长为( )
    A.4B.C.D.
    【答案】A
    【分析】由已知,根据题中给出的圆的方程,写出圆心坐标与半径,然后求解圆心到直线的距离,最后利用垂径定理可直接求解弦长.
    【详解】由已知,圆,
    则圆心坐标为,半径为,
    所以点到直线的距离为,
    所以,直线被圆截得的弦长为.
    故选:A.
    12.(2023上·浙江宁波·高二期末)若直线与圆相交于不同两点A,B,则弦AB长的最小值为( )
    A.10B.12C.14D.16
    【答案】B
    【分析】先求出直线过的定点,且在圆内,然后求出圆心和半径,根据圆的性质得,弦过且时弦长最短,从而可以求解.
    【详解】由直线,
    令,解得,所以直线过定点,
    又,故在圆内.
    由,记圆心为,半径,
    所以,
    根据圆的性质,当弦过且时弦长最短,此时弦长.
    故选:B.
    13.(2023上·浙江绍兴·高二统考期末)若直线被圆所截得的弦长为,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【分析】先求圆心到直线的距离,结合弦长和勾股定理可得答案.
    【详解】因为的圆心为,半径为,
    所以圆心到直线的距离为;
    因为弦长为,所以,解得.
    故选:D.
    14.(2023上·福建福州·高二福州三中校考期末)过点作圆:的切线,则切线方程为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】C
    【分析】首先将圆的方程化为标准式,即可得到圆心坐标与半径,从而判断点在圆上,再求出,即可得到切线的斜率,最后利用点斜式计算可得.
    【详解】圆:,即,圆心为,半径,
    又,所以点在圆上,且,
    所以切线的斜率,所以切线方程为,即.
    故选:C
    15.(2023上·贵州贵阳·高二统考期末)已知直线l:是圆C:的对称轴,过点作圆的一条切线,切点为A,则( )
    A.B.7C.D.2
    【答案】B
    【分析】根据题意分析可得直线l过圆心,可求得,再根据圆的切线长公式运算求解.
    【详解】由题意可知:直线l:过圆心,则,解得,
    故圆C:的圆心为,半径,且点,
    ∵,
    ∴.
    故选:B.
    16.(2023上·安徽滁州·高二校联考期末)已知圆:,为直线:上的一点,过点作圆的切线,切点分别为,,当最小时,直线的方程为( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【分析】首先根据题意得到当时,此时取得最小值,求出以为直径的圆的方程为,再求两圆的公共弦方程即可.
    【详解】由圆的知识可知,,,,四点共圆,且,
    所以,
    又,当时,此时取得最小值,
    此时直线的方程为,即,
    ,解得,即.
    所以的中点为,
    所以以为直径的圆的方程为,
    又圆:,即,
    两圆的方程相减可得:,即直线的方程为.
    故选:D
    17.(2023上·内蒙古包头·高二统考期末)已知圆与圆交于两点,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【分析】先根据两圆相交求出公共弦所在直线方程,再根据弦长公式求解即可.
    【详解】由题意知,圆与圆相交,且公共弦所在直线方程为.
    又圆的圆心为,半径为,
    所以圆心到直线的距离为,
    由弦长公式得.
    故选:B.
    18.(2023上·河南平顶山·高二统考期末)已知圆与圆的公共弦长为2,则m的值为( )
    A.B.C.D.3
    【答案】A
    【分析】根据圆的圆心和半径公式以及点到直线的距离公式,以及公共线弦方程的求法即可求解.
    【详解】联立和,
    得,由题得两圆公共弦长,
    圆的圆心为,半径为,
    圆心到直线的距离为,
    所以,
    平方后整理得,

    所以或(舍去);
    故选:A.
    19.(2023上·安徽滁州·高二校联考期末)圆:与圆:公切线的条数为( )
    A.1B.2C.3D.4
    【答案】C
    【分析】首先根据题意得到两圆相外切,即可得到答案.
    【详解】根据题意,圆:,即,
    其圆心为,半径;
    圆:,即,
    其圆心为,半径,
    两圆的圆心距,所以两圆相外切,
    其公切线条数有3条.
    故选:C.
    20.(2023上·山东聊城·高二统考期末)已知圆:与圆:相内切,则与的公切线方程为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】D
    【分析】由两圆的位置关系得出,进而联立两圆方程得出公切线方程.
    【详解】圆:的圆心,圆:可化为
    ,,则其圆心为,半径为,
    因为圆与圆相内切,所以,即,故.
    由,可得,
    即与的公切线方程为.
    故选:D
    与圆有关的综合问题
    21.(2023上·安徽蚌埠·高二统考期末)在平面直角坐标系中,已知圆,则下列说法正确的是( )
    A.若,则点在圆外
    B.圆与轴相切
    C.若圆截轴所得弦长为,则
    D.点到圆上一点的最大距离和最小距离的乘积为
    【答案】AD
    【分析】利用点与圆的位置关系可判断A选项;求出圆心到轴的距离,可判断B选项;利用弦长的一半、弦心距以及圆的半径三者满足勾股定理求出的值,可判断C选项;对原点在圆上、圆外进行分类讨论,求出点到圆上一点的最大距离和最小距离,可判断D选项.
    【详解】圆的标准方程为,圆心为,半径为,
    对于A选项,若,则有,即点在圆外,A对;
    对于B选项,因为圆心到轴的距离为,而与的大小关系不确定,
    所以,圆与轴不一定相切,B错;
    对于C选项,若圆截轴所得弦长为,则,解得,C错;
    对于D选项,当时,点在圆上,
    点到圆上一点的最大距离为,点到圆上一点的最小距离为,则;
    当时,则点在圆外,且,
    所以,点到圆上一点的最大距离为,最小距离为,
    则点到圆上一点的最大距离和最小距离的乘积为.
    综上所述,点到圆上一点的最大距离和最小距离的乘积为,D对.
    故选:AD.
    22.(2023上·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期末)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现:平面内到两个定点A、B的距离之比为定值的点的轨迹是圆,此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy中,已知,,点P满足,设点P的轨迹为圆C,下列结论正确的是( )
    A.圆C的方程是
    B.过点A且斜率为的直线被圆C截得的弦长为
    C.圆C与圆有四条公切线
    D.过点A作直线l,若圆C上恰有三个点到直线l距离为,该直线斜率为
    【答案】BD
    【分析】对A,设,再根据列式化简可得圆的方程;对B,根据垂径定理求解即可;对C,根据圆心间的距离与半径和差的关系判断两圆位置关系,进而可得公切线条数;对D,分直线斜率为0与不为0讨论,再根据圆心到直线距离与半径的关系列式求解即可.
    【详解】对A,设,由可得,即,化简可得,故A错误;
    对B,过点A且斜率为的直线方程为,即,则圆的圆心到的距离为,故所求弦长为,故B正确;
    对C,圆圆心到圆心的距离为,又两圆的半径和为,故两圆相交,有两条公切线,故C错误;
    对D,当直线斜率为0时,圆C上有四个点到直线l距离为不合题意,设直线,则由题意C到的距离等于,即,解得,故斜率直线斜率为,故D正确;
    故选:BD
    23.(2023上·浙江杭州·高二浙江大学附属中学校考期末)已知点,则的内切圆的方程为 .
    【答案】
    【分析】根据给定条件,确定内切圆的圆心位置,设出圆心坐标,再借助点到直线的距离公式求解作答.
    【详解】依题意,内切圆的圆心在第四象限,并且到x、y轴距离相等,令此圆半径为,则圆心,
    直线方程为:,即,直线是圆的切线,
    因此,解得或,
    显然,于是,圆心,
    所以内切圆的方程为.
    故答案为:
    24.(2023上·安徽滁州·高二校联考期末)已知实数,,,满足,,,则的最大值是 .
    【答案】24
    【分析】根据几何知识,将问题转化为圆上的两点到直线的距离和最大问题,根据两个点形成的夹角结合圆的性质即可求出最大值.
    【详解】由题意,
    实数,,,满足,,,
    设,,
    ∴,是圆:上两点,且,,

    ∴,
    记:,过作的垂线,垂足为,过作的垂线,垂足为.
    设的中点为,过作的垂线,垂足为,如图所示.
    表示的是,两点到直线的距离之和的倍,
    又,
    ∴表示的是到直线的距离的倍.
    ∵是直角三角形,
    ∴,
    ∴在圆上运动,
    ∴到直线的距离最大值为,
    又,
    ∴的最大值是24.
    故答案为:24.
    25.(2023上·广西玉林·高二统考期末)已知线段是圆的一条动弦,且,若点为直线上的任意一点,则的最小值为 .
    【答案】
    【分析】过圆心作,由已知求得,再求出圆心到直线的距离,求得的最小值,再由求解.
    【详解】如图,为直线上的任意一点,
    过圆心作,连接,由,
    可得,
    由,当共线时取等号,
    又是的中点,所以,
    所以.
    则此时,
    的最小值为.
    故答案为:
    26.(2023上·广西贵港·高二统考期末)已知圆.
    (1)若过点向圆作切线,求切线的方程;
    (2)若为直线上的动点,是圆上的动点,定点,求的最大值.
    【答案】(1)或
    (2)8
    【分析】(1)分类讨论,当切线的斜率不存在,易求的方程为;当切线的斜率存在时,设出直线方程,然后利用点到直线距离等于半径建立方程求解即可;
    (2)根据圆的性质,利用三点共线的性质求解即可.
    【详解】(1)若切线的斜率不存在,则的方程为;
    若切线的斜率存在,设切线的方程为,即.
    因为直线与圆相切,所以圆心到的距离为3,即,解得,
    所以切线的方程为,即.
    综上,切线的方程为或.
    (2)因为,所以.
    设关于直线对称的点为,
    则,解得,即.
    因为,所以.
    因为,当且仅当三点共线时,等号成立,
    所以,故的最大值为.
    27.(2023上·贵州铜仁·高二统考期末)在平面直角坐标系中,已知圆.设圆与轴相切,与圆外切,且圆心在直线上.
    (1)求圆的标准方程;
    (2)设垂直于的直线与圆相交于,两点,且,求直线的方程.
    【答案】(1)
    (2)或.
    【分析】(1)由题意求出圆,圆的圆心和半径,由两圆外切,可得,即可求出答案.
    (2)由,可求出圆心O1到直线l的距离,再由点到直线的距离公式代入求解即可.
    【详解】(1)圆:,
    则圆的标准方程为,
    即圆的圆心坐标为,半径为,
    因为圆与x轴相切,与圆O1外切,则圆心,,
    则圆的半径为,
    则,解得,
    即圆的标准方程为;
    (2)由(1)知O2(﹣6,1),则,
    所以直线l的斜率为,
    设直线l的方程为,
    因为,则圆心O1到直线l的距离,
    所以,解得或,
    所以直线l的方程为或.
    28.(2023上·湖南邵阳·高二统考期末)已知方程,.
    (1)若此方程表示圆,求m的取值范围;
    (2)若(1)中的圆与直线相交于M,N两点,且(O为坐标原点),求m的值.
    【答案】(1)
    (2)
    【分析】(1)利用配方法,结合圆的标准方程特征进行求解即可;
    (2)根据平面向量数量积的运算性质和坐标表示公式,结合一元二次方程根与系数进行求解即可.
    【详解】(1),
    因为该方程表示圆,所以有,
    因此m的取值范围为;
    (2)代入方程中,
    化简,得,
    则有,
    设,
    则有,


    所以m的值
    29.(2023上·贵州铜仁·高二统考期末)若对圆上任意一点,的取值与,无关,则实数的取值范围是( )
    A.B.C.或D.
    【答案】A
    【分析】将转化为点到直线的距离,数形结合,可求出的取值范围.
    【详解】依题意表示到两条平行直线和的距离之和的5倍.
    因为这个距离之和与x,y无关,
    故两条平行直线和在圆的两侧,如图所示,
    故圆心到直线的距离,
    解得或.
    当时,直线在圆的右下方,不满足题意,所以舍去.
    所以.故选:A

    30.(2023上·山东德州·高二统考期末)已知,,满足,则的最小值为( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【分析】由可整理得到点轨迹方程,设,,可将所求式子化为,由此可得最小值.
    【详解】由得:,整理可得:,
    则可令,,,
    (其中),
    则当时,.
    故选:D.
    31.(2023上·湖南永州·高二统考期末)已知,,是圆:上的动点,则外接圆的周长的最小值为( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【分析】根据题意确定圆:和圆,
    有公共点,结合圆与圆的位置关系列出不等式可求解.
    【详解】中点横坐标为,所以外接圆的圆心在上,
    设圆心为,则半径为,
    圆心距,
    圆,
    又因为在圆上,所以圆与圆有公共点,
    所以,
    显然成立,
    两边同时平方可得,
    ,所以,
    所以所以
    当且仅当解得时取得等号,
    所以周长的最小值为,
    故选:C.
    32.(2023上·四川南充·高二统考期末)已知点,,若点A到直线l的距离为1,点B到直线l的距离为4,则满足条件的有( )条
    A.1B.2C.3D.4
    【答案】C
    【分析】由题可将所求转化为求圆与圆的公切线条数,判断两圆的位置关系,从而得公切线条数.
    【详解】因为点A到直线l的距离为1,
    所以直线l为以为圆心,为半径的圆的切线,
    同理直线l还是以为圆心,为半径的圆的切线,
    即直线l为圆与圆的公切线,
    由题意,满足点到直线的距离为,点到直线距离为的直线的条数即为圆与圆的公切线条数,
    因为,所以两圆外切,
    所以两圆的公切线有3条,即满足条件的直线有3条.
    故选:C.
    33.(2023上·河北石家庄·高二统考期末)已知为圆的直径,点为直线上的任意一点,则的最小值为 .
    【答案】
    【分析】分析可得,可知当与直线垂直时,取最小值,利用点到直线的距离公式可求得的最小值.
    【详解】圆心,半径为,且点为线段的中点,

    圆心到直线的距离为,
    当与直线垂直时,取最小值,即取最小值,
    且.
    故答案为:.
    34.(2023上·四川广元·高二统考期末)已知圆O:,直线l1:和l2:,与圆O相切于点P,与圆O相交于A,B两点.若,则点P到直线的距离为 .
    【答案】
    【分析】由与圆相切求得的方程,进一步求得的坐标,利用圆的性质求得圆心到直线的距离,利用圆的垂径定理列式求的值,可得的方程,再由点到直线的距离公式列式求解.
    【详解】由圆O:,得圆的圆心,半径,
    又:与圆O相切于点P,
    则圆心到直线的距离等于半径,即,解得,
    所以直线的方程为,
    联立,解得或,即或;
    又与圆O相交于A,B两点且,设圆心到直线的距离为,
    则,即,解得:,
    当时,点到直线的距离,
    当时,点到直线的距离,
    综上所述:点P到直线的距离为,
    故答案为:.
    35.(2023上·辽宁锦州·高二统考期末)已知点,,,动点M满足,记动点M的轨迹为曲线C.
    (1)求曲线C的方程;
    (2)求过点N与曲线C相切的直线方程;
    (3)曲线C与圆相交于E,F两点,求.
    【答案】(1)
    (2)和
    (3)
    【分析】(1)设出点,根据已知结合两点间距离列式化简即可得出答案;
    (2)分类讨论过点N的直线方程斜率存不存在,设出直线方程,根据直线与圆相切的判定,即可得出答案;
    (3)根据两圆方程相减得出直线所在的方程,即可根据圆的弦长求法得出答案.
    【详解】(1)设,
    因为M满足,所以,
    整理可得:,即.
    (2),
    点在圆外,
    ①过点的直线斜率不存在时,直线方程为,与圆C相切,符合题意;
    ②直线的斜率存在时,设直线方程为,即,
    由直线到圆心的距离得,即,解得,
    所以直线方程为整理得.
    综上,过点N与圆C相切得直线方程为和.
    (3)圆与圆相交于E、F两点,
    两个方程作差得直线所在的方程为,
    所以圆的圆心到直线的距离,
    所以.
    36.(2023上·四川遂宁·高二统考期末)平面直角坐标系中,已知圆的半径为2,圆心在y轴的正半轴上,直线与圆相切.
    (1)求圆的方程;
    (2)设,过点作直线,交圆于P、Q两点,不在y轴上,过点作与直线垂直的直线,交圆于、两点,记四边形的面积为,求的最大值.
    【答案】(1)
    (2)7
    【分析】(1)设圆心为(0,a),a>0,结合直线与圆相切,计算出a=2即可;
    (2)假设直线方程,借助垂径定理计算出,结合两直线垂直关系同理可得,而,化简后借助基本不等式计算最大值即可.
    【详解】(1)设圆心为(0,a),a>0,则圆的方程为
    ∴,
    ∴a=2,∴圆C的方程为;
    (2)设直线的方程为,即,
    则圆心到直线的距离,
    所以,
    (i)若,则直线斜率不存在,则,,则,
    (ii)若,则直线得方程为,即,
    则圆心到直线的距离,
    所以,


    当且仅当,即时,等号成立,
    综上所述,因为,所以S的最大值为7.
    37.(2023上·江苏徐州·高二统考期末)已知圆,圆.
    (1)判断与的位置关系;
    (2)若过点的直线被、截得的弦长之比为,求直线的方程.
    【答案】(1)外切
    (2)或
    【分析】(1)计算出,利用几何法可判断两圆的位置关系;
    (2)对直线的斜率是否存在进行分类讨论,在直线的斜率不存在时,直线验证即可;在直线的斜率存在时,设直线的方程为,利用勾股定理结合点到直线的距离公式可得出关于的方程,解出的值,即可得出直线的方程.
    【详解】(1)解:圆的圆心为,半径为,
    圆的圆心为,半径为.
    因为,所以圆与圆外切.
    (2)解:当直线的斜率不存在时,直线的方程为,直线与圆相离,不符合题意;
    当直线的斜率存在时,设的方程为,即,
    则圆心到直线的距离为,圆心到直线的距离为,
    所以,直线被圆截得的弦长为,
    直线被圆截得的弦长为,
    由题意可得,
    即,解得或,
    经检验,或均符合题意.
    所以直线的方程为或.

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