浙江省湖州市安吉县2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份浙江省湖州市安吉县2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝2x﹣1B．y＝
C．y＝x2+1D．y＝（x﹣1）2﹣x2
2．已知⊙O的半径是6cm，点P到圆心O的距离为4cm，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点在圆外B．点在圆上C．点在圆内D．无法判断
3．函数y＝﹣（x+2）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（2，1）
4．下列事件中，为不可能事件的是（ ）
A．掷一枚均匀的硬币，正面朝上
B．旭日东升
C．当x为某一实数时可使x2＜0
D．明天要下雨
5．关于二次函数y＝﹣x2+2x的最值，下列叙述正确的是（ ）
A．当x＝2时，y有最小值0B．当x＝2时，y有最大值0
C．当x＝1时，y有最小值1D．当x＝1时，y有最大值1
6．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，若OE＝3，AE＝4，则下列说法正确的是（ ）
A．AC的长为B．CE的长为3
C．CD的长为12D．AD的长为10
7．如图，在⊙O中，弦AC与半径OB交于点D，连接OA，BC，若∠B＝70°，∠ADB＝126°，则∠AOB的度数为（ ）
A．132°B．120°C．112°D．110°
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c，其函数值y与自变量x之间的部分对应值如表所示：
点A（x1，y1），B（x2，y2）在函数的图象上，当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1⩾y2D．y1⩽y2
9．如图，已知△ABC，O为AC上一点，以OB为半径的圆经过点A，且与BC，OC交于点D，E．设∠A＝α，∠C＝β（ ）
A．若α+β＝70°，则＝20°B．若α+β＝70°，则＝40°
C．若α﹣β＝70°，则＝20°D．若α﹣β＝70°，则＝40°
10．设P（x，y1），Q（x，y2）分别是函数C1，C2图象上的点，当a≤x≤b时，总有﹣1≤y1﹣y2≤1恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”．则下列结论：
①函数y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”；
②函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函数”；
③0≤x≤1是函数y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近区间”；
④2≤x≤3是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近区间”．
其中，正确的有（ ）
A．②③B．①④C．①③D．②④
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．二次函数y＝x2﹣4x+5的图象与y轴交点坐标是 ．
12．若四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝120°，则∠C＝ ．
13．一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有颜色不同），其中3个是红球，1个是黑球，从中任意摸出一个球，是黑球的概率为 ．
14．如图，BD、CE是⊙O的直径，弦AE∥BD，AD交CE于点F，∠A＝25°，则∠AFC＝ ．
15．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标为﹣5和1，则方程ax2﹣bx+c＝0的解为 ．
16．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，则称a是这个函数的不动点．
已知二次函数y＝x2+2x+m．
（1）若3是此函数的不动点，则m的值为 ．
（2）若此函数有两个相异的不动点a，b，且a＜1＜b，则m的取值范围为 ．
三、解答题：本大题有8个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
17．已知抛物线y＝2x2+bx+c经过点（3，0），（0，﹣6）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）判断点A（﹣2，8）是否在抛物线上，请说明理由．
18．现有三张正面分别标有一个正数，一个负数和一个0的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀．
（1）从中随机抽取一张卡片，卡片上的数是0的概率为多少？
（2）从中随机抽取一张卡片，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，求前后两次抽取的数字之积为0的概率．（用列表法或画树状图求解）
19．△ABC的顶点都在正方形网格格点上，如图所示．
（1）将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°得到△AB′C′（点B对应点B′），画出△AB′C′．
（2）请找出过B，C，C′三点的圆的圆心，标明圆心O的位置．
20．如图，抛物线y＝x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y＝x﹣a上，点D（3，0）为抛物线上一点．
（1）求a的值；
（2）抛物线与y轴交于点B，试判断△ABD的形状．
21．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD，OD相交于点E，F．
（1）求证：点D为的中点；
（2）若DF＝4，AC＝16，求⊙O的直径．
22．
掷实心球是湖州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）根据湖州市高中段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m时，得分为满分10分．请说明该女生在此项考试中是否得满分．
23．已知二次函数 y＝x2﹣2ax+1﹣a．
（1）若图象过点（3，3），求抛物线顶点坐标．
（2）若图象与坐标轴有两个交点，求a的值．
（3）若函数图象上有两个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），且 x1+x2＝﹣1，求y1+y2的取值范围．
24．已知⊙O为△ABC的外接圆，AB＝BC．
（1）如图1，连接OB交AC于点E，过A作CO的垂线交CO延长线于点D．
①求证：BO平分∠ABC；
②设∠ACB＝α，∠DAC＝β，请用含α的代数式表示β；
（2）如图2，若∠ABC＝90°，F为⊙O上的一点，且点B，F位于AC两侧，作△ABF关于AB对称的图形△ABG，连接GC，试猜想AG，CG，BG三者之间的数量关系并给予证明．
参考答案
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确的选项.
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝2x﹣1B．y＝
C．y＝x2+1D．y＝（x﹣1）2﹣x2
【分析】根据二次函数的标准形式y＝ax2+bx+c（a≠0），从选项中直接可以求解．
解：二次函数的标准形式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
∴y＝x2+1是二次函数，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的定义；熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
2．已知⊙O的半径是6cm，点P到圆心O的距离为4cm，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点在圆外B．点在圆上C．点在圆内D．无法判断
【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
解：∵⊙O的半径为6cm，点P到圆心O的距离为4cm，
∴点P到圆心O的距离小于圆的半径，
∴点P在⊙O内．
故选：C．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．
3．函数y＝﹣（x+2）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（2，1）
【分析】根据题目中的函数解析式，可以直接写出该函数的顶点坐标，本题得以解决．
解：∵函数y＝﹣（x+2）2+1，
∴该函数的顶点坐标是（﹣2，1），
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4．下列事件中，为不可能事件的是（ ）
A．掷一枚均匀的硬币，正面朝上
B．旭日东升
C．当x为某一实数时可使x2＜0
D．明天要下雨
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的概念进行逐项判断即可．
解：A、掷一枚均匀的硬币，正面朝上是随机事件，故不符合题意；
B、旭日东升是必然事件，故不符合题意；
C、当x为某一实数时可使x2＜0，是不可能事件，故符合题意；
D、明天要下雨是随机事件，故不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查随机事件和非负数的性质，掌握随机事件的概念是解题的关键．
5．关于二次函数y＝﹣x2+2x的最值，下列叙述正确的是（ ）
A．当x＝2时，y有最小值0B．当x＝2时，y有最大值0
C．当x＝1时，y有最小值1D．当x＝1时，y有最大值1
【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．
解：∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，
∴抛物线开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，1），
∴当x＝1时，y有最大值1；
∴D正确，
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
6．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，若OE＝3，AE＝4，则下列说法正确的是（ ）
A．AC的长为B．CE的长为3
C．CD的长为12D．AD的长为10
【分析】连接OA，根据勾股定理求出OA，求出CE和DE，再根据勾股定理求出AD，再得出答案即可．
解：连接OA，
∵AB⊥CD，
∴∠AED＝∠AEC＝90°，
由勾股定理得：OA＝＝＝5，
即OC＝OD＝5，
∴CD＝10，
∵OE＝3，
∴CE＝OC﹣OE＝5﹣3＝2，DE＝OE+OD＝3+5＝8，
∴AD＝＝＝4，
即只有选项A正确，选项B、选项C、选项D都错误；
故选：A．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识点，能熟记勾股定理是解此题的关键．
7．如图，在⊙O中，弦AC与半径OB交于点D，连接OA，BC，若∠B＝70°，∠ADB＝126°，则∠AOB的度数为（ ）
A．132°B．120°C．112°D．110°
【分析】由三角形外角的性质求出∠C＝∠ADB﹣∠B＝56°，由圆周角定理得到∠C＝∠AOB，即可求出∠AOB＝112°．
解：∵∠B＝70°，∠ADB＝126°，
∴∠C＝∠ADB﹣∠B＝56°，
∵∠C＝∠AOB，
∴∠AOB＝112°．
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理得到∠C＝∠AOB．
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c，其函数值y与自变量x之间的部分对应值如表所示：
点A（x1，y1），B（x2，y2）在函数的图象上，当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1⩾y2D．y1⩽y2
【分析】先设该二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），把x＝0时y＝﹣4；x＝1时y＝﹣1；x＝2时y＝0代入函数解析式，求出a、b、c的值，进而得出抛物线的解析式，再根据抛物线的对称轴方程求出其对称轴，根据二次函数的增减性即可判断出y1与y2的大小关系．
解：设该二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵x＝0时y＝﹣4；x＝1时y＝﹣1；x＝2时y＝0，
∴，
解得，，
∴此抛物线的解析式为：y＝x2+4x﹣4，
∴抛物线开口向下，对称轴x＝﹣2，对称轴越近值越小，
∴可知抛物线顶点为（﹣2，8），
∵1＜x1＜2，3＜x2＜4，
∴y1＞y2．
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数的性质及用待定系数法求二次函数的解析式，根据题意求出二次函数的解析式及对称轴方程是解答此题的关键．
9．如图，已知△ABC，O为AC上一点，以OB为半径的圆经过点A，且与BC，OC交于点D，E．设∠A＝α，∠C＝β（ ）
A．若α+β＝70°，则＝20°B．若α+β＝70°，则＝40°
C．若α﹣β＝70°，则＝20°D．若α﹣β＝70°，则＝40°
【分析】连接BE，根据圆周角定理求出∠ABE＝90°，∠AEB＝90﹣α，再根据三角形外角性质得出90°﹣α＝β+，得到的度数为180°﹣2（α+β），再逐个判断即可．
解：连接BE，设的度数为θ，
则∠EBD＝，
∵AE为直径，
∴∠ABE＝90°，
∵∠A＝α，
∴∠AEB＝90﹣α，
∵∠C＝β，∠AEB＝∠C+∠EBC＝β+，
∴90°﹣α＝β+，
解得：θ＝180°﹣2（α+β），
即的度数为180°﹣2（α+β），
A、当α+β＝70°时，的度数是180°﹣140°＝40°，故本选项错误；
B、当α+β＝70°时，的度数是180°﹣140°＝40°，故本选项正确；
C、当α﹣β＝70°时，即α＝70°+β，的度数是180°﹣2（70°+β+β）＝40°﹣4β，故本选项错误；
D、当α﹣β＝70°时，即α＝70°+β，的度数是40°﹣4β，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理和三角形的外角性质，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．
10．设P（x，y1），Q（x，y2）分别是函数C1，C2图象上的点，当a≤x≤b时，总有﹣1≤y1﹣y2≤1恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”．则下列结论：
①函数y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”；
②函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函数”；
③0≤x≤1是函数y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近区间”；
④2≤x≤3是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近区间”．
其中，正确的有（ ）
A．②③B．①④C．①③D．②④
【分析】根据当a≤x≤b时，总有﹣1≤y1﹣y2≤1恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”，逐项进行判断即可．
解：①y1﹣y2＝﹣2x﹣7，在1≤x≤2上，当x＝1时，y1﹣y2最大值为﹣9，当x＝2时，y1﹣y2最小值为﹣11，即﹣11≤y1﹣y2≤﹣9，故函数y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”不正确；
②y1﹣y2＝﹣x2+5x﹣5，在3≤x≤4上，当x＝3时，y1﹣y2最大值为1，当x＝4时，y1﹣y2最小值为﹣1，即﹣1≤y1﹣y2≤1，故函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函数”正确；
③y1﹣y2＝﹣x2+x﹣1，在0≤x≤1上，当x＝时，y1﹣y2最大值为﹣，当x＝0或x＝1时，y1﹣y2最小值为﹣1，即﹣1≤y1﹣y2≤﹣，当然﹣1≤y1﹣y2≤1也成立，故0≤x≤1是函数y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近区间”正确；
④y1﹣y2＝﹣x2+5x﹣5，在2≤x≤3上，当x＝时，y1﹣y2最大值为，当x＝2或x＝3时，y1﹣y2最小值为1，即1≤y1﹣y2≤，故2≤x≤3是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近区间”不正确；
∴正确的有②③，
故选：A．
【点评】本题考查一次函数、二次函数的综合应用，解题的关键是读懂“逼近函数”和“逼近区间”的含义，会求函数在某个范围内的最大、最小值．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．二次函数y＝x2﹣4x+5的图象与y轴交点坐标是 （0，5） ．
【分析】将x＝0代入函数解析式，求出相应的y的值即可．
解：令x＝0，则y＝5，
二次函数y＝x2﹣4x+5的图象与y轴交点坐标是：（0，5）．
故答案为：（0，5）．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标，掌握二次函数图象与坐标轴的交点问题是解本题的关键．
12．若四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝120°，则∠C＝ 60° ．
【分析】根据圆内接四边形的对角互补可得答案．
解：如图，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝120°，
∴∠C＝60°．
故答案为：60°．
【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形的对角互补．
13．一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有颜色不同），其中3个是红球，1个是黑球，从中任意摸出一个球，是黑球的概率为 ．
【分析】让黑球的个数除以球的总数即为摸到黑球的概率．
解：因为袋子中共有4个球，其中黑球只有1个，
所以从中任意摸出一个球，是黑球的概率为，
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．如图，BD、CE是⊙O的直径，弦AE∥BD，AD交CE于点F，∠A＝25°，则∠AFC＝ 75° ．
【分析】根据平行线的性质和已知条件求出∠D＝∠A＝25°，根据圆周角定理求出∠EOD＝2∠A，再根据三角形的外角性质求出答案即可．
解：∵弦AE∥BD，∠A＝25°，
∴∠D＝∠A＝25°，
∵对的圆周角是∠A，圆心角是∠EOD，
∴∠A＝EOD，
∵∠A＝25°，
∴∠EOD＝50°，
∴∠AFC＝∠D+∠EOD＝25°+50°＝75°，
故答案为：75°．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，圆周角定理，平行线的性质等知识点，注意：一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
15．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标为﹣5和1，则方程ax2﹣bx+c＝0的解为 x1＝﹣5，x2＝1 ．
【分析】抛物线y＝ax2﹣bx+c（a≠0）与x轴的交点的横坐标就是方程ax2﹣bx+c＝0的解．
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标为﹣5和1，
∴方程ax2﹣bx+c＝0的解为x1＝﹣5，x2＝1，
故答案为：x1＝﹣5，x2＝1．
【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，掌握抛物线与x轴交点的横坐标即为方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解是解题的关键．
16．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，则称a是这个函数的不动点．
已知二次函数y＝x2+2x+m．
（1）若3是此函数的不动点，则m的值为 ﹣12 ．
（2）若此函数有两个相异的不动点a，b，且a＜1＜b，则m的取值范围为 m＜﹣2 ．
【分析】（1）由函数的不动点概念得出3＝32+2×3+m，解得即可；
（2）由函数的不动点概念得出a、b是方程x2+2x+m＝x的两个实数根，由x1＜1＜x2知Δ＞0，令y＝x2+x+m，则x＝1时y＜0，据此得，解之可得．
解：（1）由题意得3＝32+2×3+m，
解得m＝﹣12，
故答案为﹣12；
（2）由题意知二次函数y＝x2+2x+m有两个相异的不动点a，b是方程x2+2x+m＝x的两个不相等实数根，
且a＜1＜b，
整理，得：x2+x+m＝0，
由x2+x+m＝0有两个不相等的实数根，且a＜1＜b，知Δ＞0，
令y＝x2+x+m，画出该二次函数的草图如下：
则，
解得m＜﹣2，
故答案m＜﹣2．
【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得出关于m的不等式．
三、解答题：本大题有8个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
17．已知抛物线y＝2x2+bx+c经过点（3，0），（0，﹣6）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）判断点A（﹣2，8）是否在抛物线上，请说明理由．
【分析】（1）把（3，0），（0，﹣6）代入y＝2x2+bx+c得：，解出b，c的值，即可得到答案；
（2）把x＝﹣2代入y＝2x2﹣4x﹣6得：y＝10，故（﹣2，8）不在抛物线y＝2x2﹣4x﹣6上．
解：（1）把（3，0），（0，﹣6）代入得：
，
解得，
∴抛物线的表达式为y＝2x2﹣4x﹣6；
（2）把x＝﹣2代入y＝2x2﹣4x﹣6得：
y＝2×（﹣2）2﹣4×（﹣2）﹣6＝10，
∴（﹣2，8）不在抛物线y＝2x2﹣4x﹣6上．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握二次函数图象上点坐标的特征．
18．现有三张正面分别标有一个正数，一个负数和一个0的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀．
（1）从中随机抽取一张卡片，卡片上的数是0的概率为多少？
（2）从中随机抽取一张卡片，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，求前后两次抽取的数字之积为0的概率．（用列表法或画树状图求解）
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9个等可能的结果，前后两次抽取的数字之积为0的结果有5个，再由概率公式求解即可．
解：（1）从中随机抽取一张卡片，卡片上的数是0的概率为；
（2）画树状图如图：
共有9个等可能的结果，前后两次抽取的数字之积为0的结果有5个，
∴前后两次抽取的数字之积为0的概率为．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及条形统计图、扇形统计图的应用．树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．△ABC的顶点都在正方形网格格点上，如图所示．
（1）将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°得到△AB′C′（点B对应点B′），画出△AB′C′．
（2）请找出过B，C，C′三点的圆的圆心，标明圆心O的位置．
【分析】（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）连接CC'，利用网格，分别作线段CC'，BC的垂直平分线，相交于点O，则点O即为过B，C，C′三点的圆的圆心．
解：（1）如图，△AB′C′即为所求．
（2）如图，点O即为所求．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
20．如图，抛物线y＝x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y＝x﹣a上，点D（3，0）为抛物线上一点．
（1）求a的值；
（2）抛物线与y轴交于点B，试判断△ABD的形状．
【分析】（1）首先求得抛物线的解析式，然后确定其顶点坐标，根据在直线上，代入求得a的值即可；
（2）首先求得点B的坐标，然后利用勾股定理的逆定理判定直角三角形即可．
解：（1）∵点D（3，0）在抛物线y＝x2﹣2x+c
∴9﹣6+c＝0，
∴c＝﹣3．
由y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，得顶点A为（1，﹣4）
∵顶点A在直线y＝x﹣a上，
∴当x＝1时，
∴y＝1﹣a＝﹣4，
∴a＝5；
（2）△ABD是直角三角形；
由（1）可知，y＝x2﹣2x﹣3，
∴B（0，﹣3），
BD2＝OB2+OD2＝18，AB2＝（4﹣3）2+12＝2，AD2＝（3﹣1）2+42＝20，
BD2+AB2＝AD2，
∴∠ABD＝90°，即△ABD是直角三角形．
【点评】考查了二次函数解析式的确定、勾股定理逆定理等基础知识，综合性较强．
21．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD，OD相交于点E，F．
（1）求证：点D为的中点；
（2）若DF＝4，AC＝16，求⊙O的直径．
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠C＝90°，从而利用平行线的性质可得∠OFA＝∠C＝90°，从而可得OF⊥AC，然后利用垂径定理即可解答；
（2）利用垂径定理可得AF＝AC＝8，然后在Rt△AFO中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠OFA＝∠C＝90°，
∴OF⊥AC，
∴＝，
∴点D为的中点；
（2）解：∵OF⊥AC，
∴AF＝AC＝8，
在Rt△AFO中，AO2＝AF2+OF2，
∴OA2＝64+（OD﹣DF）2，
∴OA2＝64+（OA﹣4）2，
∴OA＝10，
∴⊙O的直径为20．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理以及垂径定理是解题的关键．
22．
掷实心球是湖州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）根据湖州市高中段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m时，得分为满分10分．请说明该女生在此项考试中是否得满分．
【分析】（1）根据题意：设y关于x的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+3，把（0，）代入，求出a即可；
（2）根据该同学投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y＝0，解方程即可．
【解答】（1）解：设顶点式 y＝a（x﹣3）2+3（a≠0），
a（0﹣3）2+3＝，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣3）2+3；
（2）证明：令y＝0，即，
解得x1＝7.5，x2＝﹣1.5（不合题意，舍去），
∵7.5＞6.70，
∴该女生在此项考试中得满分．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用和一元二次方程的解法，解题关键是理解题意把函数问题转化为方程问题．
23．已知二次函数 y＝x2﹣2ax+1﹣a．
（1）若图象过点（3，3），求抛物线顶点坐标．
（2）若图象与坐标轴有两个交点，求a的值．
（3）若函数图象上有两个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），且 x1+x2＝﹣1，求y1+y2的取值范围．
【分析】（1）依据题意，把（3，3）代入二次函数的解析式可以计算得解；
（2）分类讨论Δ＝0且抛物线不经过原点和Δ＞0且抛物线经过原点两种情况；
（3）由抛物线解析式及x1+x2＝﹣1，可得．
解：（1）把点（3，3）代入 y＝x2﹣2ax+1﹣a，得a＝1，
∴函数解析式是 y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴抛物线顶点坐标（1，﹣1）；
（2）∵二次图象与坐标轴有两个交点时，抛物线顶点在x轴上或者抛物线经过原点，
①抛物线顶点在x轴上，即抛物线与x轴有唯一交点．
令y＝0，即 x2﹣2ax+1﹣a＝0 则 Δ＝（﹣2a）2﹣4（1﹣a）＝0，
解得
②抛物线经过原点，即1﹣a＝0解得a＝1，
当a＝1时，Δ＝4a2+4a﹣4＝4＞0，满足题意．
综上所述，a的值为 或 或1；
（3）∵点A（x1，y1），B（x2，y2） 是函数 y＝x2﹣2ax+1﹣a 图象上有两个不同的点
∴y1＝﹣2ax1+1﹣a，y2＝﹣2ax2+1﹣a，
∴y1+y2＝+﹣2a（x1+x2）+2﹣2a，
∵x1+x2＝﹣1，
∴x2＝﹣1﹣x1，
∴y1+y2＝+（﹣1﹣x1）2+2a﹣2a+2＝2+2x1+3＝2（x1+）2+，
∵点A，B是图象上有两个不同的点，
∴，
∴．
【点评】本题考查二次函数与不等式的关系，抛物线与x轴的交点，解题的关键是二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握待定系数法求函数解析式．
24．已知⊙O为△ABC的外接圆，AB＝BC．
（1）如图1，连接OB交AC于点E，过A作CO的垂线交CO延长线于点D．
①求证：BO平分∠ABC；
②设∠ACB＝α，∠DAC＝β，请用含α的代数式表示β；
（2）如图2，若∠ABC＝90°，F为⊙O上的一点，且点B，F位于AC两侧，作△ABF关于AB对称的图形△ABG，连接GC，试猜想AG，CG，BG三者之间的数量关系并给予证明．
【分析】（1）①证明△OAB≌△OCB（SSS），可得∠OBA＝∠OBC，即可得证；
②首先求出∠ACD＝90°﹣β，得到∠OCB＝α+90°﹣β，根据等边对等角得到∠OCB＝∠OBC＝∠OBA＝α+90°﹣β，∠BAC＝∠BCA＝α，在四边形ABCD中，利用内角和列出关系式，化简即可；
（2）猜想GA，GB，GC三者之间的数量关系为：GC2＝2GB2+GA2，GA交⊙O于点E，连接DE，EC，由已知可得∠BAC＝∠BCA＝45°；利用同弧所对的圆周角相等，得到∠BEA＝∠F＝∠BCA＝45°，∠BEC＝∠BAC＝45°，由于△ABG与△ABE关于AB对称，于是∠BGA＝∠F＝45°，则得△GBE为等腰直角三角形，△GEC为直角三角形；利用勾股定理可得：BG2+BE2＝GE2，GE2＝2BG2；利用△GBA≌△EBC（AAS）得到GA＝EC，等量代换可得结论．
【解答】（1）①证明：连接OA，如图1，
则OA＝OB＝OC，
在△OAB和△OCB中，
，
∴△OAB≌△OCB（SSS），
∴∠OBA＝∠OBC，即BO平分∠ABC；
②解：∵∠D＝90°，∠DAC＝β，
∴∠ACD＝90°﹣β，
∴∠OCB＝α+90°﹣β，
∵OC＝OB＝OA，
∴∠OCB＝∠OBC＝∠OBA＝α+90°﹣β，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝α，
在四边形ABCD中，∠ABC+∠BAD+∠BCD+∠D＝360°，
即3（α+90°﹣β）+α+β+90°＝360°，
化简得：β＝2α；
（2）解：GA，GB，GC三者之间的数量关系为：GC2＝2GB2+GA2．理由如下：
延长GA交⊙O于点E，连接BE，EC，如图2，
∵∠ABC＝90°，AB＝CB，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°．
∴∠BEA＝∠F＝∠BCA＝45°，∠BEC＝∠BAC＝45°．
∴∠GEC＝∠AEB+∠BEC＝90°．
∴GC2＝GE2+CE2．
∵△ABG与△ABF关于AB对称，
∴∠BGA＝∠F＝45°，
∴∠BGA＝∠BEA＝45°，
∴BG＝BE．
∴∠GBE＝180°﹣∠BGA﹣∠GEB＝90°．
∴BG2+BE2＝GE2．
即GE2＝2BG2．
∵∠GBE＝∠ABC＝90°，∠GBA+∠ABE＝∠CBE+∠ABE，即∠GBA＝∠CBE．
在△GBA和△EBC中，
，
∴△GBA≌△EBC（AAS）．
∴GA＝EC．
∴GC2＝2GB2+GA2．
【点评】本题是一道圆的综合题，主要考查了圆的有关性质，勾股定理，圆周角定理及其推论，等腰直角三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形的判定与性质，轴对称的性质．根据图形的特点恰当的添加辅助线是解题的关键．
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
﹣4
﹣1
0
﹣1
﹣4
…
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
﹣4
﹣1
0
﹣1
﹣4
…