初中华师大版14.2 勾股定理的应用习题

这是一份初中华师大版14.2 勾股定理的应用习题，共11页。试卷主要包含了2　勾股定理的应用等内容，欢迎下载使用。

基础过关全练
知识点 勾股定理及其逆定理的应用
1.【新情境·测温仪】(2023河南洛阳伊川期末)某医院入口的正上方
A处装有红外线激光测温仪(如图所示),测温仪离地面的距离AB=2.4米,当人体进入感应范围内时,测温仪就会自动测温并报告人体体温.当身高为1.8米的患者CD正对门缓慢走到离门0.8米的地方(即BC=0.8米)时,测温仪自动显示体温,则人头顶D离测温仪的距离AD等于 ( )
A.1米 B.1.2米 米 D.1.5米
2.【风吹树折模型】(2023山东济南章丘四中月考)如图,一棵大树在一次强台风中于离地面10 m处折断倒下,倒下部分的树梢到树底部的距离为24 m,则这棵大树折断处到树顶的长度是 ( )
A.10 m B.15 m C.26 m D.30 m
3.【赵爽弦图模型】图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC=6,BC=5,将四个直角三角形中的长为6的直角边分别向外延长一倍,得到如图2所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长是 ( )

图1 图2
A.52 B.49 C.76 D.无法确定
4.【数学文化】(2023江苏无锡江南中学期中)《九章算术》中记载着这样一个问题:已知甲、乙两人同时从同一地点出发,甲的速度为每单位时间走7步,乙的速度为每单位时间走3步,乙一直向东走,甲先向南走10步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇,那么相遇时,甲、乙各走了多远?如图,设甲、乙两人从出发到相遇用了x个单位时间.根据勾股定理可列方程为 .

5.【教材变式·P123T5】(2023福建宁德博雅培文学校月考)如图,四边形ABCD为一块草坪,其中∠B=90°,AB=3 m,BC=4 m,CD=12 m,AD=13 m,求这块草坪的面积.

6.如图,水池中离岸边D点4米的C处,直立长着一根芦苇,露出水面的部分BC的长是2米,把芦苇拉到岸边,它的顶端B恰好落到D点,则水池的深度AC为多少米?

7.【教材变式·P126T4】(2023江苏宿迁宿豫期中)一架梯子AB的长为25米,梯子斜靠在墙上,如图,梯子的底部离墙的底端的距离BC为7米.
(1)求梯子的顶端到地面的距离AC;
(2)如果梯子的顶端下滑了4米,那么梯子底部在水平方向上是不是也滑动了4米?为什么?

8.(2023陕西西安铁一中月考)如图,一个底面为正方形的长方体盒子的长、宽、高分别为20 cm,20 cm,30 cm,即EF=FG=20 cm,CG=30 cm,现在顶点C处有一滴蜜糖,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从顶点E处爬到C处去吃蜜糖,求需要爬行的最短距离.(注:底面可以爬行)

9.【跨学科·语文】回雁峰坐落衡阳雁峰公园,为衡山七十二峰之首.王安石曾赋诗联“万里衡阳雁,寻常到此回”.峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑,为衡阳市城徽.某课外实践小组为测量大雁雕塑的高度,测得以下数据:如图,AE=10 m,∠BDG=30°,∠BFG=60°,
BF=2FG.已知测角仪DA的高度为1.5 m,求大雁雕塑BC的高度.(结果精确到0.1 m.参考数据:75≈8.66)

能力提升全练
10.(2022浙江金华中考,8,★★☆)如图,圆柱的底面直径为AB,高为AC,一只蚂蚁在C处,沿圆柱的侧面爬到B处,现将圆柱侧面沿AC“剪开”,在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线,正确的是( )

A B C D
11.(2021湖南岳阳中考,15,★☆☆)《九章算术》是我国古代数学名著,书中有下列问题:“今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈.问户高、广各几何?”其意思为:今有一门,高比宽多6尺8寸,门对角线的长恰好为1丈.问门高、宽各是多少?(1丈=10尺,1尺=10寸)如图,设门高AB为x尺,根据题意,可列方程为 .
12.(2019江苏南京中考,12,★★☆)无盖圆柱形杯子的展开图如图所示.将一根长为20 cm的细木筷斜放在该杯子内,木筷露在杯子外面的部分至少有 cm.
13.(2022吉林长春德惠期末,22,★☆☆)《城市交通管理条例》规定:小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时,如图,一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方30米的C处,过了2秒后,小汽车行驶至B处,若小汽车与观测点间的距离AB为50米,则这辆小汽车是否超速?请通过计算说明.

素养探究全练
14.【应用意识】(2023陕西西安期末)如图,有一台环卫车沿公路AB由点A向点B行驶,已知点C为一所学校,且点C与直线AB上两点A,B的距离分别为150 m和200 m,AB=250 m,环卫车周围130 m以内为受噪声影响区域.
(1)学校C会受噪声影响吗?为什么?
(2)若环卫车的行驶速度为每分钟50米,环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟?

答案全解全析
基础过关全练
1.A 如图,过点D作DE⊥AB于点E,
则BE=CD=1.8米,ED=BC=0.8米,∵AB=2.4米,
∴AE=2.4-1.8=0.6米.
在Rt△ADE中,AD=AE2+DE2=0.62+0.82=1(米).
故选A.
2.C 如图,易知△ABC是直角三角形,AB=10 m,AC=24 m,
∴BC=AB2+AC2=102+242=26(m),
∴这棵大树折断处到树顶的长度是26 m.故选C.
3.C 如图,根据题意得AD=AC=6,CD=2AC=12,
∵BC⊥AC,∴BD=BC2+CD2=52+122=13,
∴BD+AD=13+6=19,
∴这个风车的外围周长=19×4=76,故选C.
4.答案 (3x)2+102=(7x-10)2
解析 由题意得AC=3x步,甲共走了7x步,
∵AB=10步,∴BC=(7x-10)步,
∵∠A=90°,∴由勾股定理得(3x)2+102=(7x-10)2.
5.解析 如图,连结AC,
∵在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3 m,BC=4 m,
∴AC=5 m,
∵AC2+CD2=25+144=169,AD2=132=169,
∴AC2+CD2=AD2,
∴△ACD是直角三角形,∠ACD=90°,
∴草坪的面积=12S△ABC+12S△ACD=12×3×4+12×5×12=6+30=36 m2.
即这块草坪的面积为36 m2.
6.解析 设水池的深度AC为x米,
则AB=AD=(x+2)米,
由题意得x2+42=(x+2)2,解得x=3.
答:水池的深度AC为3米.
7.解析 (1)根据勾股定理可得,梯子的顶端到地面的距离AC=AB2-BC2=252-72=24(米).
答:梯子的顶端到地面的距离为24米.
(2)不是.理由:梯子的顶端下滑4米后,梯子的顶端到地面的距离为24-4=20(米),
此时梯子的底部离墙的底端的距离为252-202=15(米),
∴梯子底部在水平方向上移动的距离为15-7=8(米),
∵8≠4,∴梯子底部在水平方向上不是滑动了4米.
8.解析 如图1,
图1
CE=202+(20+30)2=2 900(cm),
如图2,
图2
CE=(20+20)2+302=2 500=50(cm),
∵2 900>2 500,∴2 900>2 500=50,
∴需要爬行的最短距离为50 cm.
9.解析 ∵∠BFG=60°,∠BDG=30°,
∴∠DBF=60°-30°=30°,∴∠DBF=∠BDF,
∴DF=BF=AE=10 m,∴GF=12BF=5 m,
在Rt△BFG中,BF2=FG2+BG2,
∴BG=BF2-GF2=102-52=75≈8.66 m,
∴BC=BG+CG=BG+DA=8.66+1.5≈10.2(m).
答:大雁雕塑BC的高度约为10.2 m.
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10.C 将圆柱侧面沿AC“剪开”,侧面展开图为长方形,
∵圆柱的底面直径为AB,
∴点B是展开图的一边的中点,
∵蚂蚁爬行的最短路线为线段,
∴C选项符合题意,故选C.
11.答案 x2+(x-6.8)2=102
解析 ∵门高AB为x尺,∴门宽BC为(x-6.8)尺,由题意得AC=1丈=10尺,∵AB2+BC2=AC2,∴x2+(x-6.8)2=102.
12.答案 5
解析 由题意可得杯子内的木筷长度最长为122+92=15 cm,则木筷露在杯子外面的部分至少有20-15=5(cm).
13.解析 小汽车超速了.理由:由勾股定理可得BC=AB2-AC2=502-302=40(米),
∵40米=0.04千米,2秒=11 800小时,
∴小汽车的行驶速度为0.04÷11 800=72千米/时,
∵72千米/时>70千米/时,∴小汽车超速了.
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14.解析 (1)学校C会受噪声影响.
理由:如图,过点C作CD⊥AB于D,
∵AC=150 m,BC=200 m,AB=250 m,
∴AC2+BC2=AB2.
∴△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,
∴AC·BC=CD·AB,
∴150×200=250×CD,
∴CD=150×200250=120(m),
∵环卫车周围130 m以内为受噪声影响区域,
∴学校C会受噪声影响.
(2)如图,以C为圆心,130 m长为半径作弧,交AB于E、F,连结CE、CF,则EC=FC=130 m,在EF路段噪声影响学校C,
∵ED=EC2-CD2=1302-1202=50(m),
∴EF=100(m),
∵环卫车的行驶速度为每分钟50米,
∴100÷50=2(分钟),
即环卫车噪声影响该学校持续的时间有2分钟.