24届十一月高三优质模拟试题分类汇编：立体几何

这是一份24届十一月高三优质模拟试题分类汇编：立体几何，共14页。

A．三角形（含内部）B．矩形（含内部）
C．圆柱面的一部分D．球面的一部分
【详解】如下图所示：
首先保持在线段上不动，假设与重合根据题意可知当点在侧棱上运动时，若点在点处时，为的中点，此时由可得满足，
当点运动到图中位置时，易知，取，可得，
取棱上的点，满足，根据三角形相似可得三点共线，
当点在侧棱上从点运动到点时，点轨迹即为线段；再研究当点在线段上运动，
当点在线段上从点运动到点时，点的轨迹是线段，
当点在线段上从点运动到点时，点的轨迹是线段，
因此可得，当点是侧棱上运动时，在线段上运动时，点的轨迹为及其内部的所有点的集合；即可得的轨迹为三角形（含内部）.故选：A
2．（浙江省温州市普通高中2024届高三上学期第一次适应性考试）已知平面平面，则下列结论一定正确的是（ ）
A．存在直线平面，使得直线平面
B．存在直线平面，使得直线平面
C．存在直线平面，直线平面，使得直线直线
D．存在直线平面，直线平面，使得直线直线
【详解】A. 若存在直线平面，使得直线平面，则，故错误；
B.当时，又 ，所以 ，故正确；
C.当时，，故正确；
D. 当时，，故正确；故选：BCD
3．（浙江省温州市普通高中2024届高三上学期第一次适应性考试）与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为，，且，则它的内切球的体积为____________
【详解】由题意，画出圆台的直观图，其中为圆台的母线长，，分别为上、下底面的圆心，点为内切球的球心，点为球与圆台侧面相切的一个切点.
则由题意可得：，
.因此可得：内切球半径，即得内切球的体积为.故答案为：
4．（浙江省衢州、丽水、湖州三地市2023-2024学年高三上学期11月教学质量检测）四棱锥的底面是平行四边形，点、分别为、的中点，连接交的延长线于点，平面将四棱锥分成两部分的体积分别为，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
【详解】如图，连接交于点，连接，则平面将四棱锥分成多面体和多面体两部分，显然.
设平行四边形的面积为，因为点为的中点，所以，
设到平面的距离为，因为点为的中点，所以点到平面的距离为，
取中点，连接，则，且，
又点共线且，所以，且，
所以，所以，所以点到平面的距离为，
故，,
因此.故选：B.
5．（浙江省衢州、丽水、湖州三地市2023-2024学年高三上学期11月教学质量检测）正方体中，，分别是棱，上的动点（不含端点），且，则（ ）
A．与的距离是定值
B．存在点使得和平面平行
C．
D．三棱锥的外接球体积有最小值
【详解】
以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则
对A，由图可知，因为与是异面直线，转化为求异面直线的距离，
因为,平面，
所以，所以点到的距离为的一半，等于，即为异面直线与的距离；故A正确；
对B，，设平面的法向量为
则，取，则，所以，若存在点使得和平面平行，因为，则，故，不符合题意，故B错误；
对C，所以
则，所以，故C正确；
对D，采用补体积法，将三棱锥补到以为底面以为高的长方体里，则长方体的体对角线为外接球的半径的二倍，
体对角线长为，
当且仅当时取等号；故D正确；故选：ACD
6．（浙江省宁波市2023-2024学年高三上学期高考模拟考试）已知二面角的大小为，球与直线相切，且平面、平面截球的两个截面圆的半径分别为、，则球半径的最大可能值为（ ）
A． B． C． D．
【详解】设点在平面、平面内的射影点分别为、，设球切于点，连接、、，如下图所示：因为平面，平面，则，
由球的几何性质可知，，因为，、平面，则平面，同理可知，平面，因为过点作直线的垂面，有且只有一个，所以，平面、平面重合，因为平面，平面，则，同理可知，，所以，、、、四点共圆，由已知条件可知，，，
因为平面，、平面，则，，
所以，二面角的平面角为或其补角. ①当时，
由余弦定理可得
，故，
易知，为外接圆的一条弦，所以，球半径的最大值即为外接圆的直径，即为；
②当时，由余弦定理可得故，
易知，为外接圆的一条弦，
所以，球半径的最大值即为外接圆的直径，即为.
综上所述，球的半径的最大可能值为.故选：D.
7．（浙江省宁波市2023-2024学年高三上学期高考模拟考试）已知圆台的上､下底面半径分别为1和2，体积为，则该圆台的侧面积为_________
【详解】根据题意可知，圆台上底面面积为，下底面面积为；设圆台的高为，由体积可得，解得，所以可得圆台母线长为，根据侧面展开图可得圆台侧面积为.故答案为：
8．（浙江省金华十校2024届高三上学期11月模拟考试）在正方体中，与交于点，则（ ）
A．平面B．平面
C．平面平面D．平面平面
【详解】对于A，因为且，所以四边形时平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，故A正确；
对于B，连接交于点，连接，由正方体的分别为的中点，因为因为且，所以四边形时平行四边形，所以，则且，所以四边形时平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，故B正确；
对于C，因为且，所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故C正确；
对于D，平面即为平面，而平面与平面相交，所以平面与平面相交，故D错误.故选：ABC.
9．（浙江省金华十校2024届高三上学期11月模拟考试）己知梯形满足且，其中，将梯形绕边旋转一周，所得到几何体的体积为___________
【详解】如下图，梯形绕边旋转一周，所得几何体为圆锥和圆柱的组合体，
其中圆锥及圆柱底面都是半径为的圆，圆锥的高为1，圆柱的高为2，所以几何体体积为.故答案为：
10．（浙江省温州市普通高中2024届高三上学期第一次适应性考试）已知四棱锥的底面为等腰梯形，，，，平面.
(1)求证：；
(2)若四棱锥的体积为2，求平面与平面夹角的余弦值.
【详解】（1）∵平面，平面，∴，过点作，由为等腰梯形，，故，所以，即，即，平面，∴平面，平面，故.
（2）方法一:，∵,
，∴.如图，建立空间直角坐标系，
，，，，,设平面法向量为，
则，，取，得
同理，设面法向量为，则，，
取，得，由题意，.
设平面与平面的夹角为，则，
方法二：，∵,
，
∴.∵平面，平面，∴平面平面，
过作，则平面垂足为，平面，则,过作的垂线，垂足为，连，由于平面,
所以平面,平面，故，
则为所求二面角夹角的平面角.，所以,
,，，.
11．（浙江省衢州、丽水、湖州三地市2023-2024学年高三上学期11月教学质量检测）如图，多面体中，四边形为正方形，平面平面，，，，，与交于点．

(1)若是中点，求证：；
(2)求直线和平面所成角的正弦值．
【详解】（1）因为四边形为正方形，所以，因为平面平面，平面平面，，所以平面，又因为平面，
所以，连接，则，在中，，所以，因为，，平面，且，从而平面，又平面，
所以，因为，，平面，且，
所以平面，又平面，所以，
又因为，所以，又是中点，，所以，
因为，，平面，且，
所以平面，又因为平面，所以．

（2）由（1）知，平面，且，
以为坐标原点，分别以、、所在的直线为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

则、、、，
则，，，
由得，，所以，
所以，，
设面的法向量为，由得，，取，则，
设直线和平面所成角为，
则，
所以直线和平面所成角的正弦值为．
12．（浙江省宁波市2023-2024学年高三上学期高考模拟考试）如图，已知正方体的棱长为4，点E满足，点F是的中点，点G满足
(1)求证：四点共面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
【详解】（1）法1：如图，取中点，分别连接，因为为中点，
所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，
由知，由知，所以，所以，所以，所以四点共面；
法2：如图，以为原点，建立空间直角坐标系，则，因为，所以，所以，所以四点共面；
（2）由（1）知，，设平面的法向量为，由，即，可取，平面的法向量，则有，可取，设平面与平面夹角为，则，所以平面EFG与平面夹角的余弦值为.
13．（浙江省金华十校2024届高三上学期11月模拟考试）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，且，点分别为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
【详解】（1）因为底面，底面，所以，因为为正方形，所以，
因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以，又因为，点为的中点，所以．
因为，平面，所以平面，因为平面，所以．
同理可得，因为，平面，所以平面．
（2）如图，以点为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，设，则各点坐标分别为．
由（1）可知是平面的一个法向量，记为，
又平面的一个法向量为．
所以平面与平面夹角的余弦值等于．