安徽省淮北市第二中学2023--2024学年九年级上学期第四次月考数学试题

这是一份安徽省淮北市第二中学2023--2024学年九年级上学期第四次月考数学试题，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新拋物线解析式为（ ）
A.B.
C.D.
2.若双曲线的图象的一支位于第三象限，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
3.在中，，都是锐角，且，，则此三角形是（ ）
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.形状不能确定
4.如图，已知，其中，，则（ ）
A.2B.C.D.4
5.如图，矩形的边与轴平行，顶点的坐标为，的坐标为，反比例函数的图象与矩形有公共点，则的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
6.如图，点是等腰的腰上的一点，过点作直线（不与直线重合）截，使截得的三角形与原三角形相似.满足这样条件的直线最多有（ ）
A.2条B.3条C.4条D.5条
7.如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，，都在这些小正方形的顶点上，，相交于点，则（ ）
A.B.2C.D.
8.如图，，点在上，与交于点，，，则线段长为（ ）
A.5B.3C.2.5D.2.4
9.顶角为36°的等腰三角形我们把这种三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为黄金比.如图，在中，，，平分交于点，若，则的长为（ ）
A.B.C.D.
10.如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与对称轴直线交于点，与，轴交于，，三点，下列命题正确的是（ ）
①；
②若，则；
③对于任意（），始终有；
④若的坐标为，则的坐标为.
A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11.如果，那么______.
12.已知二次函数的图象与轴只有一个公共点，则的值是______.
13.如图，点是反比例函数（）图象上一点，过点作轴于点，且点为线段的中点.若点为轴上任意一点，且的面积为4，则______.
14.如图，是正方形边的中点，连接，过点作于，交于，交于，下列说法：①；②点是的中点；③；④.其中正确的结论的序号是______.
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题8.0分）计算：
（1）
（2）.
16.（本小题8.0分）如图，在网格图中（小正方形的边长为1），的三个顶点都在格点上.
（1）把沿着轴向右移6个单位得到，请酒出；
（2）请以坐标系的原点点为位似中心在第一象限内画出的位似图形，使得与的位似比为1:2；
（3）请直接写出三个顶点的坐标.
17.（本小题8.0分）
如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点，的坐标分别为和.
（1）求反比例函数的解析式：
（2）直接写出不等式的解集.
18.（本小题10.0分）
如图，已知中，，，.求的面积.
19.（本小题8.0分）
如图，为平行四边形的边延长线上的一点，连结交于点，交点.
（1）求证：；
（2）求证：.
20.（本小题10.0分）
如图是某海岛的一个岛礁，若某测量船在海面上的点处测得与斜坡坡脚点的距离为140米，测得岛礁顶端的仰角为30.96°，以及该斜坡的坡度，求该岛礁的高（即点到海平面的铅垂高度）.（结果保留整数）（参考数据：，，）
21.（本小题12.0分）
某水果店销售一种新鲜水果，平均每天可售出120箱，每箱盈利60元，为了扩大销售减少库存，水果店决定采取适当的降价措施，经调查发现，每箱水果每降价5元，水果店平均每天可多售出20箱.设每箱水果降价元.
（1）当时，每箱利润______元，平均每天可售出箱水果；
（2）设每天销售该水果的总利润为元.
①求与之间的函数解析式：
②试判断能否达到8200元，如果能达到，求出此时的值；如果不能达到，求出的最大值.
22.（本小题12.0分）
如图所示，拢物线（）经过点，点，与轴交于点，连接，.点是线段上不与点、重合的点，过点作轴，交拋物线于点，交于点.
备用图
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点作，垂足为点.设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？
23.（本小题14.0分）
如图，已知矩形与矩形，，连接，相交于点.
（1）求证：；
（2）猜想与之间的位置关系，并证明你的结论；
（3）请连接，，若，，求的值.
淮北二中九年级第四次数学联考
【答案】
1. C 2. A 3. C 4. B 5. B 6. C 7. D 8. B 9. D 10. C
11. 12.1 13. 14.①③④
15.解：（1）原式.
（2）
16.解：（1）如图，为所作；
（2）如图，为所作；
（3）三个顶点的坐标分别为，，.
17.解：（1）把点代入直线得：
，解得：，
点的坐标为：，
反比例函数的图象过点，，
即反比例函数的解析式为，
（2）把点代入直线得，，
解得，，
观察函数图象，发现：
当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，
不等式的解集为或；
18.解：作于点，
在中，，
，，
在中，，
，，
的面积.
19.证明：（1）四边形是平行四边形，
，；
（2），，
，.
，，即.
20.解：斜坡的坡度，，
设米，则米，
米，米，
在中，，
，
解得：，经检验：是原方程的根，
（米），该岛礁的高约为300米.
21.（1）50160
（2）①由题意得与之间的函数解析式为；
②不能达到8200元.
，当时，取到最大值，
，不能达到8200元，的最大值是8100元.
22.解：（1），分别代入（）
得，解得：，
抛物线的表达式为：；
（2）把代入得，，
设所在直线解析式为，把，代入得：
，解得，，
设，则，，
，
，，，
轴，，
又，
，
，当时，有最大值为.
23.（1）证明：四边形和四边形是矩形，
，
，
，，；
（2），理由：
由（1）知，，，
与的交点记作，如图，
，
，；
（3），，，
，，
如图，连接，，
在中，根据勾股定理得，，
在中，根据勾股定理得，，
由（2）知，，
在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
.
【解析】
1.【分析】
由抛物线平移的规律可得，将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新抛物线解析式为，再化简即可得解.
【解答】
解：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新抛物线解析式为，
故选：C.
【点评】
本题考查二次函数图象平移的规律，掌握二次函数图象平移的规律是解题关键.
2.解：双曲线的图象的一支位于第三象限，
，.
故选：A.
反比例函数的图象是双曲线，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小.
此题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数（），当时，图象在第一、三象限，且在每一个象限随的增大而减小；当时，函数图象在第二、四象限，且在每一个象限随的增大而增大，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键.
3.解：，，，，
.
故选：C.
根据特殊角的三角函数值即可求得和的度数，然后求得的度数，据此即可判断.
本题考查了特殊角的三角函数值，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值.
4.解：由题可知，两点坐标为：，，
当双曲线经过点时，的值最小，此时，
当双曲线经过点时，的值最大，此时，
的取值范围为.
故选：B.
根据矩形写出，两点坐标，然后利用双曲线经过点，时对应的值，从而得到的取值范围.
本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，熟记点的横纵坐标的积是定值是解题的关键.
5.解：，，
①作，可得.
②作，可得.
③作，可得，
故选：B.
根据相似三角形的判定，过点分别，的平行线即可得到与原三角形相似的三角形，过点作以点为顶点的角与相等的角也可以得到原三角形相似的三角形.
本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.
6.解：连接、，如图：
由图可知：，
，，
小正方形的边长为1，在中，
，.
，.
故选：C.
通过添加辅助线构造出后，将问题转化为求的值，再利用勾股定理、锐角三角函数求解即可.
本题考查了正方形的性质、直角三角形的判定、勾股定理以及锐角三角函数.此题难度适中，解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用.
7.解：，，
，即①，
，，
，即②，
①＋②，得，
解得：，
故选：D.
根据相似三角形的性质，得出，，即①，②，
将两个式子相加，即可求出的长.
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.
8.解：，
，，
，.
故选：B.
直接利用相似三角形的性质得出，进而得出答案.
此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边关系是解题关键.
9.【分析】
根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，解方程得到答案.
本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.
【解答】
解：，，，
平分，，
，，
，
，，
，即，
整理得：，
解得：，（负数不合题意），
则，
故选：D.
10.解：由图象得：，，，故①正确；
，，
，，故②错误，
，对于任意（），始终有，故③正确，
对称轴，，，故④正确，
故选：C.
根据二次函数的性质和图象得出信息进行判断即可.
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是根据二次函数的性质和图象得出信息判断.
11.解：，，.
故答案为：.
用表示出，然后代入比例式进行计算即可得解.
本题考查了比例的性质，用表示出是解题的关键.
12.解：二次函数的图象与轴只有一个公共点，
，，
故答案为1.
由抛物线与轴只有一个公共点，得到，即可求出的值.
本题考查了抛物线和轴的交点问题.关键是根据抛物线与轴只有一个公共点，得到的方程.
13.解：连接，如图所示：
轴，，
是的中点，，的面积为4，
，，
根据图象可知，，.
故答案为：.
连接，则有，根据的几何意义，可得，根据图象可知，即可求出的值.
本题考查了反比例函数的几何意义，由三角形面积求的值注意符号是关键.
14.解：①四边形是正方形，，，
，，
，，，
是正方形边的中点，，
，，
，，
；故①正确；
②，
设，，则，
，，
，，
，故②不正确；
③四边形是正方形，
，，，
，，
，故③正确；
④，
，，
，，故④正确；
本题正确的结论是：①③④；
故答案为：①③④.
①先证明，得，则，即，
根据平行线分线段成比例定理得：，可作判断；
②设，，则，计算，可作判断；
③根据等腰直角三角形得：，根据①中得：，可作判断；
④根据，，可得同高三角形面积的比，可作判断.
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角函数、勾股定理等知识，解本题的关键是判断出.
15.此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键.
直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案.
16.本题考查了作图一位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，
那么位似图形对应点的坐标的比等于或.也考查了平移变换.
（1）利用点平移的坐标变换规律写出、、的坐标，然后描点即可；
（2）（3）根据关于原点为位似中心的点的坐标特征，把、、的横纵坐标都乘以得到、、的坐标，然后描点即可.
17.（1）把点代入直线得到关于的一元一次方程，解之，得到点的坐标，把点的坐标代入反比例函数，即可求得的值，即可得到答案，
（2）把点代入直线得到关于的一元一次方程，解之，得到点的坐标，找出一次函数图象在反比例函数图象的上方的的取值范围，即可得到答案.
18.（1）由题意可直接得到结论；
（2）由相似三角形的性质可得，通过证明，可得，可得结论.
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键.
19.（1）根据两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似得，即而得，从而可得结论；
（2）由和得，再由，从而得.
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系.
20.根据已知可设米，则米，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答.
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.
21.解：（1）根据题意，可知：当每箱水果降价10元时，每箱利润为（元），
平均每天可售出（箱）.
故答案为：50；160；
（2）①由题意得与之间的函数解析式为；
②不能达到8200元.
.
，当时，取到最大值，
，不能达到8200元，
的最大值是8100元.
（1）利用每箱利润＝60－每箱降低的价格，平均每天的销售量，即可求出结论；
（2）①根据“每箱利润×平均每天的销售量”，即可得到与之间的函数解析式；
（2）根据二次函数的性质求出的最大值，与8200比较即可得到结论.
本题考查了二次函数的应用，找准等量关系，正确列出函数解析式是解题的关键.
22.（1）利用待定系数法求函数解析式.
（2）先求出，所在直线解析式可得，通过可得表示长度的代数式，再配方求解.
本题考查二次函数与图形的结合，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握配方法求代数式的最值.
23.（1）先判断出，即可得出结论；
（2）由（1）的结论得出，进而判断出，即可得出结论；
（3）连接，，利用勾股定理求出，，再用勾股定理，即可得出结论.
此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂直的判定，构造出直角三角形是解本题的关键.