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2023-2024学年辽宁省县级重点高中协作体高一上学期期中考试数学试题（含解析）
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这是一份2023-2024学年辽宁省县级重点高中协作体高一上学期期中考试数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x∣-2( )
A. 4B. 3C. 6D. 5
2.已知命题p:∀x≥0，x2-4>0，则¬p是
( )
A. ∃x<0，x2-4≤0B. ∃x≥0，x2-4≤0
C. ∀x<0，x2-4>0D. ∀x≥0，x2-4≤0
3.函数y= 4-x2x2+3x-4的定义域为
( )
A. -2,2B. -2,0∪0,2C. 0,2D. -2,1∪1,2
4.已知集合M=m-2,m2+4m,9，且-3是M中的一个元素，则m=( )
A. -3B. -1或3C. 3D. -3或-1
5.“∃x∈-2,1，x2-2a>0”为假命题的一个充分不必要条件是
( )
A. a≤0B. a≥3C. a≤2D. a≥1
6.函数f(x)=x3+x-20的零点所在的区间是
( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
7.函数fx=-xx-b在区间2,3上单调递增，则实数b的取值范围是
( )
A. 2,3B. 3,4C. 4,5D. 5,6
8.已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数与偶函数，且f(x)+g(x)=ax2-x+4，若对任意2( )
A. (-∞,0)∪(0,1]B. -∞,12C. (-∞,1]D. [0,1]
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列命题正确的有( )
A. 若a>b，则1a<1bB. 若a>b，c>d，则a+c>b+d
C. 若a>b，则ac>bcD. 若a>1，则a+1a-1≥3
10.下列各对函数中，图像完全相同的是( )
A. y= x2与y=|x|
B. y=x2-1x-1与y=x+1
C. y=x2x与y=x(x≠0)
D. y= x2-1与y= x-1⋅ x+1
11.如图，某小区拟建造一个矩形绿地，如果在AB中点M正北方向25米处立起一根旗杆E，在BC中点N正东方向40米处立起一根旗杆F，且E，B，F三点在同一直线上，那么该矩形绿地的周长可能为
( )
A. 40 10米B. 60 10米C. 80 10米D. 90 10米
12.定义f(x)=[x](其中[x]表示不小于x的最小整数)为“向上取整函数”，例如[-1,3]=-1，[3,2]=4，[5]=5.以下描述正确的是
( )
A. 若f(x)=8，则x∈(7,8]B. 若[x]2-7[x]+12≤0，则x∈(2,4]
C. fx=[x]是定义在R上的奇函数D. 若fx=f(y)，则|x-y|<1
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知函数f(x)=x-1,x<1,x2+x-1,x>1,则f(f(-1))=_______．
14.已知x>-1，当x=__________时，x+4x+1的值最小．
15.已知定义在R上的函数f(x)=kx x2+2+1(k为常数)，若f(2024)=-2021，则f(-2024)=_______．
16.函数f(x)=-12x+2,x≤4,x2-10x+24,x>4,集合M=x∣f2(x)+2mf(x)+3m+4=0,m∈R，如果集合M有六个元素，那么m的取值范围是_______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知集合A=x|x2-2mx+m2-4≤0，B=x|1≤x≤6．
(1)当m=1时，求A∩B，A∪∁RB；
(2)从①“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件；②A∩∁RB=⌀；③A∪B=B，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答．
问题：若_______，求实数m的取值范围，
18.(本小题12分)
(1)已知x<54，求y=4x-2+14x-5的最大值;
(2)已知019.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)．
(1)当a=1时，函数f(x)在(-2,4)上单调，求b的取值范围；
(2)若f(x)>0的解集为(-4,2)，求关于x的不等式cx2+bx+a>0的解集．
20.(本小题12分)
研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等问题，因而减少碳排放具有深远的意义．为了响应国家节能减排的号召，2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备．通过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产x(单位：百辆)新能源汽车需另投入成本Cx(单位：万元)，且如果每辆车的售价为5万元，且假设全年内生产的车辆当年能全部销售完．(注：利润=销售额-成本)
(1)求2023年的利润Px(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式；
(2)当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
21.(本小题12分)
设函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，并且满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(13)=1，
(1)求f(1)，f(19)，f(9)的值，
(2)如果f(x)+f(2-x)<2，求x的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数fx=axx+1a≠0．
(1)当a>0时，判断fx的单调性；
(2)若fx在区间1,2上的最大值为43．
(i)求实数a的值；
(ii)若函数gx=x+bxb>0，是否存在正实数b，使得对区间15,1上任意三个实数r，s，t，都存在以gfr，gfs，gft为边长的三角形？若存在，求实数b的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】根据集合间基本运算求出 A∩B ，即可得出 A∩B 中元素个数．
解： A={x|-2则 A∩B={0,2,4,6} ，所以 A∩B 中元素的个数为4．
故选： A ．
2.【答案】B
【解析】【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定．
解：命题 p 的否定形式是 ∃x≥0 ， x2-4≤0 ．
故选：B．
3.【答案】D
【解析】【分析】由二次根式下的取值范围和分母不等于零直接求出．
解：要使原函数有意义，则 4-x2≥0x2+3x-4≠0 解得 -2≤x≤2 ，且 x≠1 ，所以函数 y= 4-x2x2+3x-4 的定义域为 -2,1∪1,2 ．
故选：D．
4.【答案】A
【解析】【分析】根据元素与集合的关系可得出关于实数 m 的等式，利用集合元素满足互异性可得出实数 m 的值．
解：集合 M=m-2,m2+4m,9 ，且 -3∈M ．
①当 m-2=-3 时， m=-1 ，此时， m2+4m=-3 ，集合 A 中的元素不满足互异性，故不符合题意，舍去；
②当 m2+4m=-3 时， m=-1 (舍)或 -3．
若 m=-3 ，则 m-2=-5 ，此时集合 A=-5,-3,9 ，符合题意，
综上所述， m=-3 ．
故选：A．
5.【答案】B
【解析】【分析】存在量词命题的否定是全称命题，由存在量词命题是假命题，则其否定是真命题，转化为恒成立问题求解，分离参数求解最值即可得充要条件．
解：“ ∃x∈-2,1 ， x2-2a>0 ”为假命题 ⇔ “ ∀x∈[-2,1] ， x2-2a≤0 ”为真命题，
所以 ∀x∈[-2,1],2a≥x2 恒成立，
设 f(x)=x2 ，由 x∈-2,1 ，则 f(x)max=f(-2)=4 ，
故“ ∀x∈[-2,1] ， x2≤2a ”为真命题 ⇔2a≥4⇔a≥2 ．
选项A， ，
即 a≤0 是“ ∃x∈-2,1 ， x2-2a>0 ”为假命题的一个既不充分又不必要条件，
故A不正确；
选项B，因为 a≥3⇒a≥2 ，但 a⩾2⇏a⩾3，
所以 a≥3 是“ ∀x∈-2,1 ， x2-2a≤0 ”为真命题的一个充分不必要条件，
故B正确，
选项C， a≥2 是“ ∀x∈-2,1 ， x2-2a≤0 ”为真命题的一个充要条件，
故C不正确；
选项D， a≥2⇒a≥1 ，
a≥1 是“ ∀x∈-2,1 ， x2-2a≤0 ”为真命题的一个必要条件不充分条件，
故D不正确．
故选：B．
6.【答案】C
【解析】【分析】得到函数单调性，结合特殊点的函数值，由零点存在性定理得到答案．
解： y=f(x) 的图象是一条连续不断的曲线，则 f(x) 在 R 上递增，
而 f(0)=-20 ， f(1)=-18 ， f(2)=-10 ， f(3)=10 ， f(4)=48 ，
可得 f(2)⋅f(3)<0 ，满足零点存在性定理，
故 f(x) 零点所在的区间是 (2,3) ．
故选：C．
7.【答案】B
【解析】【分析】根据二次函数的单调性，结合分段函数的性质即可求解．
解：函数
由于 fx=-xx-b 在区间 2,3 上单调递增，所以 f2故 22-b>33-b ，平方可得 5b2-38b+65<0 ，解得 135当 x≥b 时，函数 fx=-x2+bx ，图象开口向下，图象关于 x=b2 对称，
由于 b>b2 ，所以 fx 在 b,+∞ 上单调递减；
当 x所以 fx 在 -∞,b2 上单调递减，在 b2,b 上单调递增．
若 fx=-xx-b 在区间 2,3 上单调递增，则有 解得 3≤b≤4 ．
故选：B．
8.【答案】B
【解析】【分析】根据函数奇偶性得到 g(x)=ax2+4 ，根据题目条件得到 gx1-4x1>gx2-4x2 ，构造 h(x)=g(x)-4x=ax2-4x+4 ，故 h(x) 在区间 (2,4) 上单调递减，分 a=0 ， a≠0 两种情况，结合二次函数的开口方向，对称轴得到不等式，求出答案．
解：因为函数 f(x) 是奇函数， g(x) 是偶函数，所以 f(-x)=-f(x) ， g(-x)=g(x) ．
又 f(x)+g(x)=ax2-x+4 ①，则 f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)=ax2+x+4 ②．
两式相加得 g(x)=ax2+4 ．
若对任意 2gx2-4x2 成立．
令 h(x)=g(x)-4x=ax2-4x+4 ，则函数 h(x) 在区间 (2,4) 上单调递减，
当 a=0 时， h(x)=-4x+4 ，则函数 h(x) 在区间 (2,4) 上单调递减，符合题意．
当 a≠0 时， h(x)=ax2-4x+4 为二次函数，图象关于 x=2a 对称，
因为函数 h(x) 在 (2,4) 上递减，所以 a<0,2a≤2, 或 a>0,2a≥4,
解得 a<0 或 0综上， a 的取值范围是 -∞,12 ．
故选：B．
9.【答案】BD
【解析】【分析】根据不等式的性质和基本不等式，逐一分析求解．
解：选项A：如果a>0>b，则1a>1b，故选项 A错误；
选项B：因为a>b，c>d，根据不等式性质，a+c>b+d，故选项 B正确；
选项C：当c=0时，有ac=bc，故选项 C错误；
选项D：因为a>1，所以a-1>0，a+1a-1=a-1+1a-1+1≥2 (a-1)⋅1a-1+1=3，
当且仅当a-1=1a-1，即a=2时，等号成立，故选项 D正确．
故选：BD．
10.【答案】AC
【解析】【分析】根据定义域和对应法则判断．
解：对于A，两个函数是同一函数，故图象完全相同，A正确；
对于B，y=x2-1x-1=x+1(x≠1)，两个函数的定义域不同，不是同一函数， B错误；
对于C，y=x2x=x(x≠0)，两个函数是同一函数，故图象完全相同， C正确；
对于D，y= x2-1的定义域为(-∞,-1]∪[1,+∞)，y= x-1⋅ x+1的定义域为[1,+∞)，二者定义域不同，不是同一函数，故 D错误．
故选：AC．
11.【答案】CD
【解析】【分析】首先设MB=x，BN=y，根据▵EMB∽▵BNF，得到xy=1000，再利用基本不等式的性质得到矩形绿地的周长≥80 10，即可得到答案．
解：如图，
设MB=x，BN=y，由题意知▵EMB∽▵BNF，
即EMMB=BNNF,EM=25，NF=40，所以25x=y40，化简得xy=1000，
因此矩形绿地的周长=2(2x+2y)≥2×2 2x⋅2y=8×10 10=80 10，
当且仅当x=y=10 10时取等号．故矩形菜地的周长可能为80 10米，90 10米．
故选：CD．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】根据函数新定义得到[x]-1由函数新定义有[x]-1解：由[x]表示不小于x的最小整数，则有[x]≥x且[x]-1A：f(x)=[x]=8，则8=[x]≥x，7=[x]-1B：令t=[x]，则t2-7t+12≤0，解得3≤t≤4，又[x]为整数，则t=3或t=4，
当t=3时，即x=3，则2当t=4时，即x=4，则3综上，2C：fx=[x]，则f0.5=1，f(-0.5)=0≠-f(0.5)，
则fx=[x]不是R上的奇函数，错误；
D：[y]-1即[x]-1由不等式的性质，得-1故选：ABD
13.【答案】5
【解析】【分析】利用分段函数由里及外求解即可．
解：根据题意知 f(-1)=|-1-1|=2 ，
则 f(f(-1))=f(2)=22+2-1=5 ，
故答案为：5．
14.【答案】1
【解析】【分析】本题主要考查了基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题．
根据x>-1，先将 x+4x+1 变形为 x+1+4x+1-1 ，再利用基本不等式求解．
解：因为x>-1，
所以 x+4x+1=x+1+4x+1-1≥2 x+1⋅4x+1-1=3 ，
当且仅当 x+1=4x+1 即 x=1 时，取等号．
故答案为：1．
15.【答案】2023
【解析】【分析】根据函数的奇偶性即可求解．
解：设 g(x)=kx x2+2 ， g(-x)=k-x -x2+2=-kx x2+2=-gx ，
故 g(-x)=-g(x) ，且定义域为 R ，
∵g(x) 是奇函数，所以 f(x)=g(x)+1 ， f(-x)=-g(x)+1 ，两式相加得 f(x)+f(-x)=2 ，所以 f(-2024)=2-f(2024)=2-(-2021)=2023 ．
故答案为：2023．
16.【答案】-87,-1
【解析】【分析】本题的关键在于将 fx2+2mfx+3m+4=0 有六个不相等的实数根，转化为二次函数 gt=t2+2mt+3m+4 在给定区间 (-1,2) 上有两个相异实数根，再列出不等式求解．
令 fx=t ，设 g(t)=t2+2mt+3m+4 ，作出 fx=-12x+2,x≤4x2-10x+24,x>4 的图像，根据 g(t) 在 (-1,2) 上有两个相异零点，列出不等式求解即可．
解：由题意，令 fx=t ，设 g(t)=t2+2mt+3m+4 ，
画出 fx=-12x+2,x≤4x2-10x+24,x>4 的图象如图：
则 g(t) 在 (-1,2) 上有两个相异零点，
即有 -1<-2m2<2g(-1)>0g(2)>0Δ>0 ，即 -204+4m+3m+4>04m2-4(3m+4)>0 ，解得 m∈-87,-1 ．
故答案为： -87,-1 ．
17.【答案】解：(1)由 x2-2mx+m2-4≤0 ，即 x-m+2x-m-2≤0 ，
解得 m-2≤x≤m+2 ，
所以 A=x|x2-2mx+m2-4≤0=x|m-2≤x≤m+2 ，
当 m=1 时 A=-1,3 ，又 B=1,6 ，
所以 A∩B=1,3 ， ∁RB=-∞,1∪6,+∞ ，
所以 A∪∁RB=(-∞,3]∪(6,+∞) ，
(2)若选择①“ x∈A ”是“ x∈B ”的充分不必要条件，则 AB .
因为 A=[m-2,m+2] ，所以 A≠⌀ ，所以 m-2≥1m+2≤6 (且等号不同时成立)，解得 3≤m≤4 ，
所以实数 m 的取值范围是 [3,4] .
若选择②， A∩∁RB=⌀ ，则 A⊆B ．
因为 A=[m-2,m+2] ，所以 A≠⌀ ，
所以 m-2≥1m+2≤6 ，解得 3≤m≤4 ，
所以实数 m 的取值范围是 [3,4] .
若选择③ A∪B=B ，则 A⊆B ，
因为 A=[m-2,m+2] ，所以 A≠⌀ ，
所以 m-2≥1m+2≤6 ，解得 3≤m≤4 ，
所以实数 m 的取值范围是 [3,4]
【解析】【分析】(1)首先解一元二次不等式求出集合 A ，再根据集合的运算法则计算可得；
(2)根据所选条件得到A与B的关系，列不等式组可得答案．
18.【答案】解：(1)∵x<54，∴5-4x>0， ∴y=4x-2+14x-5= -(5-4x+15-4x)+3≤-2+3=1，
当且仅当5-4x=15-4x，即x=1时，上式等号成立，故当x=1时，ymax=1．
(2)∵00，
∴y=14×2x(1-2x)≤14 ×(2x+1-2x2)2 =14×14=116，
当且仅当2x=1-2x(0
【解析】本题考查基本不等式求最值，需要一定的计算能力，为中档题．
19.【答案】解：(1)当 a=1 时， f(x)=x2+bx+c 的对称轴为直线 x=-b2 ，
由于函数 f(x) 在 (-2,4) 上单调，所以 -b2≤-2 或 -b2≥4 ．
解得 b≤-8 或 b≥4 ．
所以 b 的取值范围是 (-∞,-8]∪[4,+∞) ．
(2)由于 f(x)>0 的解集为 (-4,2) ，
所以 a<0,-4+2=-ba,-4×2=ca, 所以 a<0,b=2a,c=-8a,
所以不等式 cx2+bx+a>0 ，即 -8ax2+2ax+a>0 ，
所以 8x2-2x-1>0 ， (2x-1)(4x+1)>0 ，解得 x<-14 或 x>12 ，
所以不等式 cx2+bx+a>0 的解集为 -∞,-14∪12,+∞ ．
【解析】【分析】(1)根据函数 f(x) 在 (-2,4) 上的单调性列不等式，由此求得 b 的取值范围；
(2)根据 f(x)>0 的解集求得 a,b,c 的关系式，从而求得不等式 cx2+bx+a>0 的解集．
20.【答案】解：(1)∵
∴当 0当 x≥40 时， Px=500x-501x-10000x+4500-2500=2000-x+10000x ．
故
(2)由(1)得
当 0∴ Pxmax=P20=1500 ；
当 x≥40 时， Px=2000-x+10000x≤2000-2 x+10000x=2000-200=1800 ，
当且仅当 x=10000x ，即 x=100 时等号成立，故 Pxmax=P100=1800 ．
∵ 1800>1500 ，故当2023年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元．
【解析】【分析】(1)根据给定的函数表达式结合利润的求法即可得到函数关系；
(2)分 021.【答案】解：(1)令x=y=1，则f(1)=f(1)+f(1)，∴f(1)=0
令x=3，y=13，则f(1)=f(3)+f(13)，∴f(3)=-1
∴f(19)=f(13× 13)=f(13)+f(13)=2∴f(9)=f(3×3)=f(3)+f(3)=-2
(2)∵f(x)+f(2-x)=f[x(2-x)]<2=f(19)，
又由函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数得：x(2-x)>19x>02-x>0
解之得：x∈(1-2 23,1+2 23)．
【解析】本题考查抽象函数及其性质的应用，属基础题．
(1)对题设条件中的恒等式进行赋值，依次可求出f(1)，f(19)，f(9)的值；
(2)利用题设条件将f(x)+f(2-x)<2转化为f[x(2-x)]22.【答案】解：(1)由题意得 fx=axx+1=a-ax+1,x≠-1 ．
设 ∀x1,x2∈(-∞,-1) 且 x1因为 x10 ，
当 a>0 时， fx1-fx2<0 ，即 fx1所以 fx=a-ax+1 在 -∞,-1 上单调递增；
同理可得， fx=a-ax+1 在 -1,+∞ 上单调递增．
故 fx 在 -∞,-1 和 -1,+∞ 上单调递增．
(2)(i) fx 在区间 1,2 上的最大值为 43 ．
①当 a<0 时，同理(1)可知，函数 fx=a-ax+1 在区间 1,2 上单调递减，
∴ fxmax=f1=a-a2=a2=43 ，解得 a=83>2 (舍去)；
②当 a>0 时，函数 fx=a-ax+1 在区间 1,2 上单调递增，
∴ fxmax=f2=a-a3=2a3=43 ，解得 a=2∈1,2 ．
综上所述， a=2 ．
(ii)由(i)知， fx=2-2x+1 ，且 fx 在区间 15,1 上单调递增．
∴ f15≤fx≤f1 ，即 13≤fx≤1 ，
∴ fx 在区间 15,1 上的值域为 13,1 ．
讨论函数 gx=x+bxb>0 ：
令 0当 x1,x2∈0, b 时， x1-x21-bx1x2>0 ，所以 gx1>gx2 ， gx 为减函数；
当 x1,x2∈ b,+∞ 时， x1-x21-bx1x2<0 ，所以 gx1∴ gx 在 0, b为减函数，在 b,+∞ 为增函数，
令 m=fx ，则 m∈13,1 ，∴ gfx=gm=m+bmb>0 ．
在区间 15,1 上任意三个实数r，s，t，都存在以 gfr ， gfs ， gft 为边长的三角形，等价于 m∈13,1 ， 2gmmin>gmmax ．
①当 0< b≤13 ，即 0∴ gmmin=3b+13,gmmax=b+1 ，
由 2gmmin>gmmax ，即 6b+23>b+1 ，得 b>115 ，∴ 115②当 19∴ gmmin=2 b,gmmax=b+1 ，由 2gmmin>gmmax ，即 4 b>b+1 ，得 b2-14b+1<0 ，解得 7-4 3③当 13∴ gmmin=2 b,gmmax=3b+13 ，由 2gmmin>gmmax ，即 4 b>3b+13 ，得 9b2-14b+19<0 ，解得 7-4 39④当 b≥1 时， gm=m+bm 在 13,1 上单调递减，
∴ gmmin=b+1,gmmax=3b+13 ，由 2gmmin>gmmax ，即 2b+2>3b+13 ，解得 b<53 ，∴ 1≤b<53 ．
综上所述，实数b的取值范围为 b115
【解析】【分析】本题第二问的关键是结合对勾函数的图象与性质，通过对 b 的分类讨论从而得到不等式，解出即可．
(1)根据单调性的定义判断单调性；
(2)(i)根据题意，分别对 a<0 和 a>0 两种情况讨论单调性，即可得出结果；
(ii)由题意 gx=x+bxb>0 ，可证得 gx 在 0, b 为减函数，在 b,+∞ 为增函数，设 m=fx ， m∈13,1 ，则 gm=m+bmb>0 ，从而把问题转化为 m∈13,1 ， 2gmmin>gmmax 时，求实数 b 的取值范围．结合 gm=m+bmb>0 的单调性，分 0
1.已知集合A={x∣-2
A. 4B. 3C. 6D. 5
2.已知命题p:∀x≥0，x2-4>0，则¬p是
( )
A. ∃x<0，x2-4≤0B. ∃x≥0，x2-4≤0
C. ∀x<0，x2-4>0D. ∀x≥0，x2-4≤0
3.函数y= 4-x2x2+3x-4的定义域为
( )
A. -2,2B. -2,0∪0,2C. 0,2D. -2,1∪1,2
4.已知集合M=m-2,m2+4m,9，且-3是M中的一个元素，则m=( )
A. -3B. -1或3C. 3D. -3或-1
5.“∃x∈-2,1，x2-2a>0”为假命题的一个充分不必要条件是
( )
A. a≤0B. a≥3C. a≤2D. a≥1
6.函数f(x)=x3+x-20的零点所在的区间是
( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
7.函数fx=-xx-b在区间2,3上单调递增，则实数b的取值范围是
( )
A. 2,3B. 3,4C. 4,5D. 5,6
8.已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数与偶函数，且f(x)+g(x)=ax2-x+4，若对任意2
A. (-∞,0)∪(0,1]B. -∞,12C. (-∞,1]D. [0,1]
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列命题正确的有( )
A. 若a>b，则1a<1bB. 若a>b，c>d，则a+c>b+d
C. 若a>b，则ac>bcD. 若a>1，则a+1a-1≥3
10.下列各对函数中，图像完全相同的是( )
A. y= x2与y=|x|
B. y=x2-1x-1与y=x+1
C. y=x2x与y=x(x≠0)
D. y= x2-1与y= x-1⋅ x+1
11.如图，某小区拟建造一个矩形绿地，如果在AB中点M正北方向25米处立起一根旗杆E，在BC中点N正东方向40米处立起一根旗杆F，且E，B，F三点在同一直线上，那么该矩形绿地的周长可能为
( )
A. 40 10米B. 60 10米C. 80 10米D. 90 10米
12.定义f(x)=[x](其中[x]表示不小于x的最小整数)为“向上取整函数”，例如[-1,3]=-1，[3,2]=4，[5]=5.以下描述正确的是
( )
A. 若f(x)=8，则x∈(7,8]B. 若[x]2-7[x]+12≤0，则x∈(2,4]
C. fx=[x]是定义在R上的奇函数D. 若fx=f(y)，则|x-y|<1
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知函数f(x)=x-1,x<1,x2+x-1,x>1,则f(f(-1))=_______．
14.已知x>-1，当x=__________时，x+4x+1的值最小．
15.已知定义在R上的函数f(x)=kx x2+2+1(k为常数)，若f(2024)=-2021，则f(-2024)=_______．
16.函数f(x)=-12x+2,x≤4,x2-10x+24,x>4,集合M=x∣f2(x)+2mf(x)+3m+4=0,m∈R，如果集合M有六个元素，那么m的取值范围是_______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知集合A=x|x2-2mx+m2-4≤0，B=x|1≤x≤6．
(1)当m=1时，求A∩B，A∪∁RB；
(2)从①“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件；②A∩∁RB=⌀；③A∪B=B，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答．
问题：若_______，求实数m的取值范围，
18.(本小题12分)
(1)已知x<54，求y=4x-2+14x-5的最大值;
(2)已知0
已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)．
(1)当a=1时，函数f(x)在(-2,4)上单调，求b的取值范围；
(2)若f(x)>0的解集为(-4,2)，求关于x的不等式cx2+bx+a>0的解集．
20.(本小题12分)
研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等问题，因而减少碳排放具有深远的意义．为了响应国家节能减排的号召，2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备．通过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产x(单位：百辆)新能源汽车需另投入成本Cx(单位：万元)，且如果每辆车的售价为5万元，且假设全年内生产的车辆当年能全部销售完．(注：利润=销售额-成本)
(1)求2023年的利润Px(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式；
(2)当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
21.(本小题12分)
设函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，并且满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(13)=1，
(1)求f(1)，f(19)，f(9)的值，
(2)如果f(x)+f(2-x)<2，求x的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数fx=axx+1a≠0．
(1)当a>0时，判断fx的单调性；
(2)若fx在区间1,2上的最大值为43．
(i)求实数a的值；
(ii)若函数gx=x+bxb>0，是否存在正实数b，使得对区间15,1上任意三个实数r，s，t，都存在以gfr，gfs，gft为边长的三角形？若存在，求实数b的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】根据集合间基本运算求出 A∩B ，即可得出 A∩B 中元素个数．
解： A={x|-2
故选： A ．
2.【答案】B
【解析】【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定．
解：命题 p 的否定形式是 ∃x≥0 ， x2-4≤0 ．
故选：B．
3.【答案】D
【解析】【分析】由二次根式下的取值范围和分母不等于零直接求出．
解：要使原函数有意义，则 4-x2≥0x2+3x-4≠0 解得 -2≤x≤2 ，且 x≠1 ，所以函数 y= 4-x2x2+3x-4 的定义域为 -2,1∪1,2 ．
故选：D．
4.【答案】A
【解析】【分析】根据元素与集合的关系可得出关于实数 m 的等式，利用集合元素满足互异性可得出实数 m 的值．
解：集合 M=m-2,m2+4m,9 ，且 -3∈M ．
①当 m-2=-3 时， m=-1 ，此时， m2+4m=-3 ，集合 A 中的元素不满足互异性，故不符合题意，舍去；
②当 m2+4m=-3 时， m=-1 (舍)或 -3．
若 m=-3 ，则 m-2=-5 ，此时集合 A=-5,-3,9 ，符合题意，
综上所述， m=-3 ．
故选：A．
5.【答案】B
【解析】【分析】存在量词命题的否定是全称命题，由存在量词命题是假命题，则其否定是真命题，转化为恒成立问题求解，分离参数求解最值即可得充要条件．
解：“ ∃x∈-2,1 ， x2-2a>0 ”为假命题 ⇔ “ ∀x∈[-2,1] ， x2-2a≤0 ”为真命题，
所以 ∀x∈[-2,1],2a≥x2 恒成立，
设 f(x)=x2 ，由 x∈-2,1 ，则 f(x)max=f(-2)=4 ，
故“ ∀x∈[-2,1] ， x2≤2a ”为真命题 ⇔2a≥4⇔a≥2 ．
选项A， ，
即 a≤0 是“ ∃x∈-2,1 ， x2-2a>0 ”为假命题的一个既不充分又不必要条件，
故A不正确；
选项B，因为 a≥3⇒a≥2 ，但 a⩾2⇏a⩾3，
所以 a≥3 是“ ∀x∈-2,1 ， x2-2a≤0 ”为真命题的一个充分不必要条件，
故B正确，
选项C， a≥2 是“ ∀x∈-2,1 ， x2-2a≤0 ”为真命题的一个充要条件，
故C不正确；
选项D， a≥2⇒a≥1 ，
a≥1 是“ ∀x∈-2,1 ， x2-2a≤0 ”为真命题的一个必要条件不充分条件，
故D不正确．
故选：B．
6.【答案】C
【解析】【分析】得到函数单调性，结合特殊点的函数值，由零点存在性定理得到答案．
解： y=f(x) 的图象是一条连续不断的曲线，则 f(x) 在 R 上递增，
而 f(0)=-20 ， f(1)=-18 ， f(2)=-10 ， f(3)=10 ， f(4)=48 ，
可得 f(2)⋅f(3)<0 ，满足零点存在性定理，
故 f(x) 零点所在的区间是 (2,3) ．
故选：C．
7.【答案】B
【解析】【分析】根据二次函数的单调性，结合分段函数的性质即可求解．
解：函数
由于 fx=-xx-b 在区间 2,3 上单调递增，所以 f2
由于 b>b2 ，所以 fx 在 b,+∞ 上单调递减；
当 x所以 fx 在 -∞,b2 上单调递减，在 b2,b 上单调递增．
若 fx=-xx-b 在区间 2,3 上单调递增，则有 解得 3≤b≤4 ．
故选：B．
8.【答案】B
【解析】【分析】根据函数奇偶性得到 g(x)=ax2+4 ，根据题目条件得到 gx1-4x1>gx2-4x2 ，构造 h(x)=g(x)-4x=ax2-4x+4 ，故 h(x) 在区间 (2,4) 上单调递减，分 a=0 ， a≠0 两种情况，结合二次函数的开口方向，对称轴得到不等式，求出答案．
解：因为函数 f(x) 是奇函数， g(x) 是偶函数，所以 f(-x)=-f(x) ， g(-x)=g(x) ．
又 f(x)+g(x)=ax2-x+4 ①，则 f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)=ax2+x+4 ②．
两式相加得 g(x)=ax2+4 ．
若对任意 2
令 h(x)=g(x)-4x=ax2-4x+4 ，则函数 h(x) 在区间 (2,4) 上单调递减，
当 a=0 时， h(x)=-4x+4 ，则函数 h(x) 在区间 (2,4) 上单调递减，符合题意．
当 a≠0 时， h(x)=ax2-4x+4 为二次函数，图象关于 x=2a 对称，
因为函数 h(x) 在 (2,4) 上递减，所以 a<0,2a≤2, 或 a>0,2a≥4,
解得 a<0 或 0
故选：B．
9.【答案】BD
【解析】【分析】根据不等式的性质和基本不等式，逐一分析求解．
解：选项A：如果a>0>b，则1a>1b，故选项 A错误；
选项B：因为a>b，c>d，根据不等式性质，a+c>b+d，故选项 B正确；
选项C：当c=0时，有ac=bc，故选项 C错误；
选项D：因为a>1，所以a-1>0，a+1a-1=a-1+1a-1+1≥2 (a-1)⋅1a-1+1=3，
当且仅当a-1=1a-1，即a=2时，等号成立，故选项 D正确．
故选：BD．
10.【答案】AC
【解析】【分析】根据定义域和对应法则判断．
解：对于A，两个函数是同一函数，故图象完全相同，A正确；
对于B，y=x2-1x-1=x+1(x≠1)，两个函数的定义域不同，不是同一函数， B错误；
对于C，y=x2x=x(x≠0)，两个函数是同一函数，故图象完全相同， C正确；
对于D，y= x2-1的定义域为(-∞,-1]∪[1,+∞)，y= x-1⋅ x+1的定义域为[1,+∞)，二者定义域不同，不是同一函数，故 D错误．
故选：AC．
11.【答案】CD
【解析】【分析】首先设MB=x，BN=y，根据▵EMB∽▵BNF，得到xy=1000，再利用基本不等式的性质得到矩形绿地的周长≥80 10，即可得到答案．
解：如图，
设MB=x，BN=y，由题意知▵EMB∽▵BNF，
即EMMB=BNNF,EM=25，NF=40，所以25x=y40，化简得xy=1000，
因此矩形绿地的周长=2(2x+2y)≥2×2 2x⋅2y=8×10 10=80 10，
当且仅当x=y=10 10时取等号．故矩形菜地的周长可能为80 10米，90 10米．
故选：CD．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】根据函数新定义得到[x]-1
当t=3时，即x=3，则2
则fx=[x]不是R上的奇函数，错误；
D：[y]-1
13.【答案】5
【解析】【分析】利用分段函数由里及外求解即可．
解：根据题意知 f(-1)=|-1-1|=2 ，
则 f(f(-1))=f(2)=22+2-1=5 ，
故答案为：5．
14.【答案】1
【解析】【分析】本题主要考查了基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题．
根据x>-1，先将 x+4x+1 变形为 x+1+4x+1-1 ，再利用基本不等式求解．
解：因为x>-1，
所以 x+4x+1=x+1+4x+1-1≥2 x+1⋅4x+1-1=3 ，
当且仅当 x+1=4x+1 即 x=1 时，取等号．
故答案为：1．
15.【答案】2023
【解析】【分析】根据函数的奇偶性即可求解．
解：设 g(x)=kx x2+2 ， g(-x)=k-x -x2+2=-kx x2+2=-gx ，
故 g(-x)=-g(x) ，且定义域为 R ，
∵g(x) 是奇函数，所以 f(x)=g(x)+1 ， f(-x)=-g(x)+1 ，两式相加得 f(x)+f(-x)=2 ，所以 f(-2024)=2-f(2024)=2-(-2021)=2023 ．
故答案为：2023．
16.【答案】-87,-1
【解析】【分析】本题的关键在于将 fx2+2mfx+3m+4=0 有六个不相等的实数根，转化为二次函数 gt=t2+2mt+3m+4 在给定区间 (-1,2) 上有两个相异实数根，再列出不等式求解．
令 fx=t ，设 g(t)=t2+2mt+3m+4 ，作出 fx=-12x+2,x≤4x2-10x+24,x>4 的图像，根据 g(t) 在 (-1,2) 上有两个相异零点，列出不等式求解即可．
解：由题意，令 fx=t ，设 g(t)=t2+2mt+3m+4 ，
画出 fx=-12x+2,x≤4x2-10x+24,x>4 的图象如图：
则 g(t) 在 (-1,2) 上有两个相异零点，
即有 -1<-2m2<2g(-1)>0g(2)>0Δ>0 ，即 -2
故答案为： -87,-1 ．
17.【答案】解：(1)由 x2-2mx+m2-4≤0 ，即 x-m+2x-m-2≤0 ，
解得 m-2≤x≤m+2 ，
所以 A=x|x2-2mx+m2-4≤0=x|m-2≤x≤m+2 ，
当 m=1 时 A=-1,3 ，又 B=1,6 ，
所以 A∩B=1,3 ， ∁RB=-∞,1∪6,+∞ ，
所以 A∪∁RB=(-∞,3]∪(6,+∞) ，
(2)若选择①“ x∈A ”是“ x∈B ”的充分不必要条件，则 AB .
因为 A=[m-2,m+2] ，所以 A≠⌀ ，所以 m-2≥1m+2≤6 (且等号不同时成立)，解得 3≤m≤4 ，
所以实数 m 的取值范围是 [3,4] .
若选择②， A∩∁RB=⌀ ，则 A⊆B ．
因为 A=[m-2,m+2] ，所以 A≠⌀ ，
所以 m-2≥1m+2≤6 ，解得 3≤m≤4 ，
所以实数 m 的取值范围是 [3,4] .
若选择③ A∪B=B ，则 A⊆B ，
因为 A=[m-2,m+2] ，所以 A≠⌀ ，
所以 m-2≥1m+2≤6 ，解得 3≤m≤4 ，
所以实数 m 的取值范围是 [3,4]
【解析】【分析】(1)首先解一元二次不等式求出集合 A ，再根据集合的运算法则计算可得；
(2)根据所选条件得到A与B的关系，列不等式组可得答案．
18.【答案】解：(1)∵x<54，∴5-4x>0， ∴y=4x-2+14x-5= -(5-4x+15-4x)+3≤-2+3=1，
当且仅当5-4x=15-4x，即x=1时，上式等号成立，故当x=1时，ymax=1．
(2)∵0
∴y=14×2x(1-2x)≤14 ×(2x+1-2x2)2 =14×14=116，
当且仅当2x=1-2x(0
【解析】本题考查基本不等式求最值，需要一定的计算能力，为中档题．
19.【答案】解：(1)当 a=1 时， f(x)=x2+bx+c 的对称轴为直线 x=-b2 ，
由于函数 f(x) 在 (-2,4) 上单调，所以 -b2≤-2 或 -b2≥4 ．
解得 b≤-8 或 b≥4 ．
所以 b 的取值范围是 (-∞,-8]∪[4,+∞) ．
(2)由于 f(x)>0 的解集为 (-4,2) ，
所以 a<0,-4+2=-ba,-4×2=ca, 所以 a<0,b=2a,c=-8a,
所以不等式 cx2+bx+a>0 ，即 -8ax2+2ax+a>0 ，
所以 8x2-2x-1>0 ， (2x-1)(4x+1)>0 ，解得 x<-14 或 x>12 ，
所以不等式 cx2+bx+a>0 的解集为 -∞,-14∪12,+∞ ．
【解析】【分析】(1)根据函数 f(x) 在 (-2,4) 上的单调性列不等式，由此求得 b 的取值范围；
(2)根据 f(x)>0 的解集求得 a,b,c 的关系式，从而求得不等式 cx2+bx+a>0 的解集．
20.【答案】解：(1)∵
∴当 0
故
(2)由(1)得
当 0
当 x≥40 时， Px=2000-x+10000x≤2000-2 x+10000x=2000-200=1800 ，
当且仅当 x=10000x ，即 x=100 时等号成立，故 Pxmax=P100=1800 ．
∵ 1800>1500 ，故当2023年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元．
【解析】【分析】(1)根据给定的函数表达式结合利润的求法即可得到函数关系；
(2)分 0
令x=3，y=13，则f(1)=f(3)+f(13)，∴f(3)=-1
∴f(19)=f(13× 13)=f(13)+f(13)=2∴f(9)=f(3×3)=f(3)+f(3)=-2
(2)∵f(x)+f(2-x)=f[x(2-x)]<2=f(19)，
又由函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数得：x(2-x)>19x>02-x>0
解之得：x∈(1-2 23,1+2 23)．
【解析】本题考查抽象函数及其性质的应用，属基础题．
(1)对题设条件中的恒等式进行赋值，依次可求出f(1)，f(19)，f(9)的值；
(2)利用题设条件将f(x)+f(2-x)<2转化为f[x(2-x)]
设 ∀x1,x2∈(-∞,-1) 且 x1
当 a>0 时， fx1-fx2<0 ，即 fx1
同理可得， fx=a-ax+1 在 -1,+∞ 上单调递增．
故 fx 在 -∞,-1 和 -1,+∞ 上单调递增．
(2)(i) fx 在区间 1,2 上的最大值为 43 ．
①当 a<0 时，同理(1)可知，函数 fx=a-ax+1 在区间 1,2 上单调递减，
∴ fxmax=f1=a-a2=a2=43 ，解得 a=83>2 (舍去)；
②当 a>0 时，函数 fx=a-ax+1 在区间 1,2 上单调递增，
∴ fxmax=f2=a-a3=2a3=43 ，解得 a=2∈1,2 ．
综上所述， a=2 ．
(ii)由(i)知， fx=2-2x+1 ，且 fx 在区间 15,1 上单调递增．
∴ f15≤fx≤f1 ，即 13≤fx≤1 ，
∴ fx 在区间 15,1 上的值域为 13,1 ．
讨论函数 gx=x+bxb>0 ：
令 0
当 x1,x2∈ b,+∞ 时， x1-x21-bx1x2<0 ，所以 gx1
令 m=fx ，则 m∈13,1 ，∴ gfx=gm=m+bmb>0 ．
在区间 15,1 上任意三个实数r，s，t，都存在以 gfr ， gfs ， gft 为边长的三角形，等价于 m∈13,1 ， 2gmmin>gmmax ．
①当 0< b≤13 ，即 0
由 2gmmin>gmmax ，即 6b+23>b+1 ，得 b>115 ，∴ 115
∴ gmmin=b+1,gmmax=3b+13 ，由 2gmmin>gmmax ，即 2b+2>3b+13 ，解得 b<53 ，∴ 1≤b<53 ．
综上所述，实数b的取值范围为 b115
【解析】【分析】本题第二问的关键是结合对勾函数的图象与性质，通过对 b 的分类讨论从而得到不等式，解出即可．
(1)根据单调性的定义判断单调性；
(2)(i)根据题意，分别对 a<0 和 a>0 两种情况讨论单调性，即可得出结果；
(ii)由题意 gx=x+bxb>0 ，可证得 gx 在 0, b 为减函数，在 b,+∞ 为增函数，设 m=fx ， m∈13,1 ，则 gm=m+bmb>0 ，从而把问题转化为 m∈13,1 ， 2gmmin>gmmax 时，求实数 b 的取值范围．结合 gm=m+bmb>0 的单调性，分 0
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