2023-2024学年福建省莆田市五校联盟高二上学期期中数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省莆田市五校联盟高二上学期期中数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线y=x的倾斜角是
( )
A. 0∘B. 45∘C. 90∘D. 180∘
2.数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为
( )
A. an=2n-1B. an=(-1)n(2n-1)
C. an=(-1)n+1(2n-1)D. an=(-1)n(2n+1)
3.已知等差数列an中，a3=9,a9=3，则公差d的值为
A. 12B. 1C. -1D. -12
4.已知等比数列an中，a2a7=8a4，则a5=( )
A. 4B. ±4C. 8D. ±8
5.已知直线l的一个法向量为2,-1，且经过点1,3，则直线l的方程为
( )
A. 2x-y+1=0B. 2x-y-1=0C. x+2y+1=0D. x+2y-7=0
6.已知数列an满足an+1=1-1an，a1=2，则a2023=( )
A. 2B. 12C. -1D. 2023
7.过点P0,-1作直线l，若直线l与连接A-2,1，B2 3,1两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角范围为
( )
A. π4,π6B. π6,3π4
C. 0,π6∪3π4,πD. π6,π2∪3π4,π
8.已知实数x，y满足方程(x-2)2+y2=3.则yx的最大值和最小值分别为( )
A. 2 3，-2 3B. 3，- 3C. 33，- 33D. 2 33，-2 33
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.设等差数列an的前n项和为Sn，若a1>0，且a1+a9=a4，则
( )
A. a6=0B. S11=0C. S5=S6D. S7最大
10.直线l的方程为：x=my+1，则
( )
A. 直线l斜率必定存在
B. 直线l恒过定点1,0
C. m=2时直线l与两坐标轴围成的三角形面积为14
D. m= 3时直线l的倾斜角为60∘
11.已知直线ax+y-2+a=0在两坐标轴上的截距相等，则实数a=( )
A. 1B. -1C. -2D. 2
12.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列an称为斐波那契数列，现将an中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为bn，则
( )
A. b2002=1
B. b1+b2+b3+⋅⋅⋅+b2022=2696
C. a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a2002=a2004-1
D. a12+a22+a32+⋅⋅⋅+a20022=a2002a2003
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.直线2x+3y-1=0的方向向量坐标可以是____________(只需写出一个满足条件的一个向量)
14.点P-1,2到直线l:y=3x的距离为______．
15.点P2,0关于直线l：x+y+1=0的对称点Q的坐标为______．
16.若数列an的通项公式是an=-1n3n-2，则a1+a2+⋯+a2024=________
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
等差数列{an}中，已知 a7=-8，a17=-28．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求Sn的最大值．
18.(本小题12分)
已知直线l的方程为2x-y+1=0．
(1)求过点A3,2，且与l平行的直线方程；
(2)过点P4,-1，且与l垂直的直线方程．
19.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中有曲线Γ:x2+y2=1y>0.如图，点B为曲线Γ上的动点，点A2,0．
(1)求线段AB的中点的轨迹方程；
(2)求三角形OAB的面积最大值，并求出对应B点的坐标．
20.(本小题12分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn。若a1=b1=3，a4=b2，S4-T2=12。
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)求数列{an+bn}的前n项和。
21.(本小题12分)
已知圆C过点A(4,0),B(0,4)，且圆心C在直线l:x+y-6=0上．
(1)求圆C的方程；
(2)若从点M(4,1)发出的光线经过直线y=-x反射，反射光线l1恰好平分圆C的圆周，求反射光线l1的一般方程．
22.(本小题12分)
已知正项数列an的前n项和Sn满足4Sn=an2+2an+1n∈N*．
(1)求数列an的通项公式；
(2)若bn=2nan，求数列bn的前n项和Tn．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】直线的斜率为1，求出倾斜角即可．
解：由题意，y=x的斜率为1，倾斜角为45∘．
故选：B．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题．
把数列{an}中1，-3，5，-7，9，…符号与通项的绝对值分别考虑，再利用等差数列的通项公式即可得出．
【解答】
解：由数列{an}中1，-3，5，-7，9，…可以看出：符号正负相间，通项的绝对值为1，3，5，7，9…为等差数列{bn}，其通项公式bn=2n-1．
∴数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1)．
故选C．
3.【答案】C
【解析】【分析】本题考查等差数列通项公式的应用，属于简单题．
由等差数列的通项公式进行计算即可得答案．
解：等差数列an中，a3=9,a9=3，
则a9=a3+6d,即3=9+6d，
解得d=-1
故选C
4.【答案】C
【解析】【分析】根据等比数列的性质求得正确答案．
解：依题意a2a7=a4×a5=8a4,a5=8．
故选：C
5.【答案】A
【解析】【分析】使用点法式求直线方程，然后化简即可．
解：由题可知：使用点法式可得直线方程为2⋅x-1+-1⋅y-3=0，
化简得：2x-y+1=0．
故选：A
6.【答案】A
【解析】【分析】由递推式得到数列的周期，利用周期性确定a2023．
解：由a2=1-1a1=12，a3=1-1a2=-1，a4=1-1a3=2，……，
所以an是周期为3的数列，故a2023=a674×3+1=a1=2．
故选：A
7.【答案】B
【解析】【分析】由题知直线l的斜率k∈-∞,-1∪ 33,+∞，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可．
解：
设直线l的斜率为k，倾斜角为θ，0≤θ0上，则x02+y02=1，即2x-22+4y2=1，
整理可得x-12+y2=14，
因此，线段AB的中点的轨迹方程为x-12+y2=14y>0；
(2)由于点B在曲线Γ:x2+y2=1y>0上，当点B为曲线Γ与y轴的交点时，
▵OAB的面积取最大值12×2×1=1，此时点B的坐标为0,1.

【解析】【分析】求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法：
(1)直接法：根据题设条件直接列出方程；
(2)定义法：根据圆的定义写出方程；
(3)几何法：利用圆的性质列方程；
(4)代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
(1)设线段AB的中点为Mx,y，设点Bx0,y0，由中点的坐标公式可得出x0=2x-2y0=2y，代入x02+y02=1化简可得线段AB的中点的轨迹方程；
(2)根据圆的性质可求得点B到x轴的最大距离，可求得三角形OAB的面积最大值及对应的点B的坐标．
20.【答案】解：(1)由a1=b1，a4=b2得
S4-T2=(a1+a2+a3+a4)-(b1+b2)=a2+a3=12，
设等差数列{an}的公差为d，
则a2+a3=2a1+3d=6+3d=12，所以d=2．
所以an=3+2(n-1)=2n+1，
设等比数列{bn}的公比为q，
由题意知b2=a4=9，即b2=b1q=3q=9，
所以q=3．
所以bn=3n．
(2)an+bn=(2n+1)+3n，
所以{an+bn}的前n项和为(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn)
=(3+5+…+2n+1)+(3+32+…+3n)=(3+2n+1)n2+3(1-3n)1-3
=n(n+2)+3(3n-1)2．
【解析】本题考查等差数列的通项公式与前n项和，等比数列的通项公式与前n项和，考查分组转化求和，考查计算求解能力．
(1)利用已知条件及等差数列和等比数列的通项公式，即可求解；
(2)由an+bn=(2n+1)+3n，则采用分组转化求和，利用等差数列和等比数列的前n项和公式即可求解．
21.【答案】解：(1)
由A(4,0),B(0,4)，得直线AB的斜率为kAB=0-44-0=-1，线段中点D(2,2)
所以kCD=1，直线CD的方程为y-2=x-2，即y=x，
联立x+y-6=0y=x，解得x=3y=3，即C(3,3)，
所以半径r=|AC|= (4-3)2+(0-3)2= 10，
所以圆C的方程为(x-3)2+(y-3)2=10；
(2)
由l1恰好平分圆C的圆周，得l1经过圆心C(3,3)，
设点M关于直线y=-x的对称点N(x,y)，
则直线MN与直线y=-x垂直，且线段MN的中点x+42,y+12在y=-x上，
则有y-1x-4×(-1)=-1y+12=-x+42，解得x=-1y=-4，所以N(-1,-4)，
所以直线CN即为直线l1，且kl1=kCN=3--43--1=74，
直线l1方程为y-3=74(x-3)，即7x-4y-9=0．


【解析】【分析】(1)先求AB的垂直平分线方程，联立直线l的方程可得圆心坐标，然后可得半径，进而得出圆的标准方程；
(2)根据点关于直线对称的特征列方程可得N，利用直线点斜式方程即可得出结果．
22.【答案】解：(1)
当n=1时，4S1=a12+2a1+1，∴a1=1．
当n≥2时，4Sn=an2+2an+1n∈N*，…①，4Sn-1=an-12+2an-1+1n∈N*，…②
①-②得：4an=an2-an-12+2an-2an-1，
即：an+an-1an-an-1-2=0．
∵an>0，∴an-an-1=2
∴an是以1为首项，以2为公差的等差数列，
∴an=2n-1；
(2)
由(1)可知bn=2n-1⋅2n，则
Tn=1×21+3×22+...+2n-12n，…①
两边同乘2得：2Tn=1×22+3×23+⋯+(2n-1)2n+1，…②
①-②得：-Tn=21+2×22+⋯+2×2n-(2n-1)2n+1
=2+81-2n-11-2-(2n-1)2n+1=-6-(2n-3)⋅2n+1，
∴Tn=(2n-3)2n+1+6．
【解析】【分析】小问1：利用通项公式an与Sn的关系即可求出an；
小问2：根据(1)可得bn=2n-1⋅2n，结合错位相减法即可求出前n项和．