2023-2024学年山东省烟台市部分学校联考高二上学期学业水平诊断数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省烟台市部分学校联考高二上学期学业水平诊断数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了已知圆C，已知直线l，关于空间向量，以下说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
A. -2B. 2C. -12D. 12
2.经过点A0,1，B-2,5两点的直线的方向向量为1,m，则m的值为
( )
A. 2B. -2C. 3D. -3
3.在三棱锥O-ABC中，D，E分别为BC，OA的中点，设OA=a，OB=b，OC=c，则下列向量中与DE相等的向量是
( )
A. -12a+12b+12cB. 12a+12b-12cC. 12a+12b+12cD. 12a-12b-12c
4.求圆心在直线2x+y-1=0上，且与直线x+y-2=0相切于点2,0的圆的方程是
( )
A. x-12+y+12=2B. x2+y-12=2
C. x-12+y+12=4D. x2+y-12=4
5.已知空间向量a，b，c满足a=2，b=3，c= 7且a+b+c=0，则a与b的夹角大小为
( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
6.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AA1=2，则直线DB1与平面ACD1所成角的正弦值为
( )
A. 13B. 63C. 33D. 2 23
7.已知圆C：x-32+y-42=r2上总存在两个点到原点的距离为2，则圆C半径r的取值范围是
( )
A. 3,5B. 5,7C. 3,7D. 3,+∞
8.过直线2x-y+1=0上一点P作圆x-22+y2=4的两条切线PA，PB，若PA⊥PB，则点P的横坐标为
( )
A. ± 133B. ± 153C. ± 135D. ± 155
9.已知直线l：x-my-2m+1=0，则
( )
A. 直线l的倾斜角可以为π2B. 直线l的倾斜角可以为0
C. 直线l恒过-1,-2D. 原点到直线l距离的最大值为5
10.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 若空间向量a=1,0,1，b=0,1,-1，则a在b上的投影向量为0,-12,12
B. 若对空间中任意一点O，有OP=23OA-16OB+12OC，则P，A，B，C四点共面
C. 若空间向量a，b满足a⋅b>0，则a与b夹角为锐角
D. 若直线l的方向向量为m=2,4,-2，平面α的一个法向量为n=-1,-2,1，则l⊥α
11.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的棱长都为2，∠A1AB=∠A1AD=60∘，∠BAD=90∘，O为底面ABCD中心，则下列结论正确的有
( )
A. AC1=2 6
B. A1B与AD1所成角的余弦值为 33
C. A1O⊥平面ABCD
D. 已知N为BB1上一点，则AN+NC1最小值为2 7
12.米勒问题是指德国数学家米勒1471年向诺德尔教授提出的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长(即可见角最大)，米勒问题的数学模型如下：如图，设M，N是锐角∠ABC的一边BA上的两个定点，点P是边BC上的一动点，则当且仅当▵PMN的外接圆与BC相切于点P时，∠MPN最大．若M0,3，N 3,4，点P在x正半轴上，则当∠MPN最大时，下列结论正确的有
( )
A. 线段MN的中垂线方程为 3x+y-5=0
B. P的坐标为 3,0
C. 过点M与圆相切的直线方程为 3x-y+3=0
D. ∠MPN=60∘
13.若直线3x+4y+1=0与直线mx+8y+7=0平行，则这两条直线间的距离为______．
14.已知直线x-my+1=0与圆C：x-12+y2=4交于A，B两点，写出满足条件“sin∠ACB= 32”的m的一个值______．
15.如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB=6，A1B1=4，AA1= 6，则该棱台的体积为 ，点B1到面ACD1的距离为 .(本小题第一空2分，第二空3分)
16.平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x-m2+y-2m+32=2m∈R，若对于点P-2,2，圆C上总存在点M，使得MP=MO，则实数m的取值范围为______．
17.已知直线l过点1,2，求满足下列条件的直线l的方程．
(1)在两坐标轴上的截距相等；
(2)A-1,-1，B3,1到直线l距离相等．
18.如图，在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，CD的中点．
(1)求证：BF//平面AB1E；
(2)求四面体AECB1的体积．
19.已知点A0,0，B3,0，动点P满足PAPB=12，设P的轨迹为C．
(1)求C的轨迹方程；
(2)若过点A的直线与C交于M，N两点，求BM⋅BN取值范围．
20.如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，其中AD//BC，AA1=BC=4，AB=AD=2，MB1=3MB，N为DD1中点．
(1)若平面CMN交侧棱AA1于点P，求证：MC//PN，并求出AP的长度；
(2)求平面CMN与底面ABCD所成角的余弦值．
21.如图，ABCD为边长是2的菱形，∠BAD=60∘，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=DF=1，P为边BC上一点(与B，C两点不重合)，使得EP与平面AEF所成的角为60∘．
(1)求BP的长；
(2)求平面AEF与平面DPE所成角的余弦值．
22.已知O0,0，A6,0，P点满足OP⊥AP．
(1)求点P的轨迹Γ的方程，并说明是何图形；
(2)设T为直线x=-1上一点，直线TO，TA分别与Γ相交于点B，C，求四边形OBAC面积S的最大值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】根据纵截距求解出 m 的值，然后由直线方程求解出斜率．
解：因为 x+my+4=0 的纵截距为 2 ，所以直线经过 0,2 ，
所以 2m+4=0 ，所以 m=-2 ，
所以斜率 k=-1m=12 ，
故选：D．
2.【答案】B
【解析】【分析】利用两点式求斜率，即可得直线的一个方向向量，进而确定参数值．
解：由题设 kAB=5-1-2-0=-2 ，故对应直线的一个方向向量为 (1,-2) ，
所以 m=-2 ．
故选：B
3.【答案】D
【解析】【分析】由空间向量的位置关系，结合向量加减、数乘的几何意义用 OA=a ， OB=b ， OC=c 表示出 DE 即可．
解：由 DE=DA+AE=12AO-AD=12AO-12(AB+AC)=-12OA-12(OB+OC-2OA)
=12OA-12OB-12OC=12a-12b-12c ．
故选：D
4.【答案】A
【解析】【分析】设出圆心坐标，根据圆心到直线 x+y-2=0 的距离等于圆心到 2,0 的距离求解出圆心坐标，从而半径可求，则圆的方程可知．
解：因为圆心在直线 2x+y-1=0 上，所以设圆心 a,1-2a ，
因为圆与直线 x+y-2=0 相切于点 2,0 ，
所以 a+1-2a-2 1+1= a-22+1-2a-02 ，解得 a=1 ，
所以圆心为 1,-1 ，半径为 1-22+-1-02= 2 ，
所以圆的方程为 x-12+y+12=2 ，
故选：A．
5.【答案】C
【解析】【分析】由 c=-(a+b) ，利用向量数量积的运算律有 c2=a2+2a⋅b+b2 ，即可求 a 与 b 的夹角大小．
解：由题设 c=-(a+b) ，则 c2=(a+b)2=a2+2a⋅b+b2=4+2×2×3×csa,b+9=7 ，
所以 csa,b=-12 ，又 a,b∈(0,π) ，可得 a,b=2π3 ，即 a,b=120∘ ．
故选：C
6.【答案】B
【解析】【分析】构建空间直角坐标系，应用向量法求线面角的正弦值．
解：构建如下图的空间直角坐标系 D-xyz ，则 A(1,0,0),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,2),D1(0,0,2) ，
所以 DB1=(1,1,2) ， AD1=(-1,0,2) ， AC=(-1,1,0) ，
若 m=(x,y,z) 是面 ACD1 的一个法向量，则 m⋅AD1=-x+2z=0m⋅AC=-x+y=0 ，
取 z=1 ，则 m=(2,2,1) ，
所以 csm,DB1=|m⋅DB1|m||DB1||=63× 6= 63 ，
则直线 DB1 与平面 ACD1 所成角的正弦值为 63 ．
故选：B
7.【答案】C
【解析】【分析】由原点到 C(3,4) 的距离 d=5 ，讨论原点与圆的位置关系，结合题设条件求半径的范围．
解：由圆心为 C(3,4) ，半径为 r>0 ，则原点到 C(3,4) 的距离 d=5 ，
要使总存在两个点到原点的距离为2，
若原点在圆外，则 d>rd-r