2023-2024学年江苏省泰州市泰兴市八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省泰州市泰兴市八年级（上）期中数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列公众号的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．泰兴发布B．智慧泰兴
C．泰州发布D．泰州微视听
2．已知正方形的面积为1，该正方形的下列几何量的数值中，是无理数的是（ ）
A．边长B．周长C．面积D．对角线
3．人的眼睛可以看见的红光的波长为0.000077cm，将数据0.000077精确到0.00001，并用科学记数法表示为（ ）
A．8×10﹣5B．7×10﹣5C．8×10﹣4D．7×10﹣4
4．等腰三角形中，有一个内角为100°，则该等腰三角形的底角为（ ）
A．50°B．40°C．50°或40°D．100°
5．在平面内有A、B两点，以相同的单位长度建立不同的直角坐标系，若以点A为坐标原点，点B的坐标为（a，b）；若以点B为坐标原点，则点A的坐标为（ ）
A．（b，a）B．（﹣a，﹣b）C．（﹣a，b）D．（a，﹣b）
6．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D是AC上一点，将点B绕点D逆时针旋转60°得到点B′，连接BB′，则BB′的最小值为（ ）
A．4B．4.5C．4.8D．5
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．23的算术平方根是 ．
8．若一个等腰三角形的两边长分别为2、4，则其周长为 ．
9．比较大小： 2．
10．已知x，y为实数，且，则xy＝ ．
11．点A（﹣1，﹣2）到原点的距离是 ．
12．已知点P（a﹣1，a﹣3）在第四象限，则整数a的值为 ．
13．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DE＝2，AB＝8，BC＝6，则△ABC的面积为 ．
14．如图，C、D、E在∠AOB的两边上，连接CD、DE，当OC＝CD＝DE，∠BDE＝α时，则∠CDE＝ （用含α的代数式表示）．
15．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），点C是线段AB上一点，连接坐标原点O和点C，当时，则AC＝ ．
16．如图，将长方形ABCD沿EF折叠得到两个全等的小长方形，AB＝12，BC＝10，点G在AB上运动，当点A关于DG的对称点A′落在右侧长方形BCEF内部（含边界）时，则AG的长度m的取值范围为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共102分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
（1）；
（2）．
18．求下列各式中的x：
（1）4x2﹣16＝0；
（2）（2x﹣1）3+64＝0．
19．如图，现有一块△ABC花坛，∠ABC＝90°，AC＝13m，BC＝12m，将其内部△ABD设置成观赏区，其他区域种植花卉，已知AD＝3m，BD＝4m，每平方米的种植成本为20元，求种植花卉所需的费用．
20．如图，在有网格的平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）把△ABC向右平移3格，再向下平移2格，画出△A′B′C′（其中A′、B′、C′分别是A、B、C的对应点，不写画法）；
（2）直接写出点A′关于x轴对称的点的坐标为 ；△ABC内任一点D（m，n）按（1）中方法平移后，对应点D′的坐标为 ．
21．如图，在△ABC中，点D、E在BC上，BD＝DE＝EC．
（1）从①AB＝AC，②AD＝AE中，选择一个作为条件，另外一个作为结论，构成一个真命题，并证明；条件： ，结论： （填序号）．
（2）在（1）的条件下，当AD＝DE时，求∠BAC的度数．
22．如图，在8×6的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位长度，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）点D是BC上的格点，且△ABD为等腰三角形，在图1中标注出所有符合条件的点D；
（2）仅用无刻度的直尺在图2中画出△ABC的角平分线BE，保留作图痕迹，并简要说明作图方法．
23．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”．
（1）点A（﹣1，3）的“长距”为 ；
（2）若点B（4a﹣1，﹣3）是“完美点”，求a的值；
（3）若点C（﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为（9﹣2b，﹣5），试说明：点D是“完美点”．
24．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离分别为BD、CE，且∠BOC＝90°．
（1）求证：△CEO≌△ODB；
（2）若点A、B到地面的距离是分别是0.5m、1m，BD＝1.5m，求秋千OB的长度；
（3）在（2）的条件下，求爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？
25．随着互联网的发展，网上购物几乎成为了人们日常生活中不可或缺的一部分，这也使得快递行业市场规模呈现出爆发式的增长．为了方便居民领取快递，小明的爸爸计划在一条笔直的公路l旁设一个菜鸟驿站点P，使驿站到公路同侧的A、B两个小区的距离相等．
（1）如图1，当A小区到公路l的距离AC＝300m，B小区到公路l的距离BD＝400m，且CD＝700m时，求驿站点P到A小区的距离；
（2）如图2，若A、B两个小区到公路l的距离均为a，CD的长度为2a，求∠APB的度数；
（3）爱动脑的小明通过推理发现：当A小区到公路l的距离a与B小区到公路l的距离b之和等于CD的长度时，∠APB始终是直角．请利用图3加以说明．
26．已知∠AOB＝90°，OC平分∠AOB．
【操作探究】
（1）如图1将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，现探究PE、PF的大小关系：
①特例探究：当三角尺的两条直角边分别与OA、OB垂直，垂足为E、F时，依据定理： （写出具体内容），得到PE＝PF；
②一般探究：当三角尺的两条直角边分别交OA、OB于点E、F时，试判断：PE PF（填“＞”、“＜”或“＝”）；
【逆向思考】
（2）如图2，点P是∠AOB内一点，E、F分别在边OA、OB上，∠EPF＝90°，PE＝PF，求证：点P在OC上；
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，建立如图3所示的平面直角坐标系，已知OC是第一象限的角平分线，若点P的坐标为（3m﹣2，4m﹣3）．
①求点P的坐标；
②过点P作GH⊥OC交x轴于点G，交y轴于点H，当点E从点H运动到点O时，求EF的中点Q的运动路径长．
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列公众号的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．泰兴发布B．智慧泰兴
C．泰州发布D．泰州微视听
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
解：选项B的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项A、C、D的图形均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．已知正方形的面积为1，该正方形的下列几何量的数值中，是无理数的是（ ）
A．边长B．周长C．面积D．对角线
【分析】根据无理数，勾股定理，正方形的性质解答即可．
解：∵正方形的面积为1，
则正方形的边长为1，周长为4，面积为1，对角线长为，其中是无理数，
故选：D．
【点评】本题考查无理数，勾股定理，根据正方形的面积公式，周长、对角线进行解答．
3．人的眼睛可以看见的红光的波长为0.000077cm，将数据0.000077精确到0.00001，并用科学记数法表示为（ ）
A．8×10﹣5B．7×10﹣5C．8×10﹣4D．7×10﹣4
【分析】根据将一个绝对值小于1的数表示成a×10n的形式，其规律如下：a是整数数位只有一位的数，n为该数第一个非零数字前面所有零的个数这一规律，即可求出．
解：0.000077≈0.00008＝8×10﹣5
故选：A．
【点评】本题主要考查科学记数法熟练掌握其规律是解题的关键．
4．等腰三角形中，有一个内角为100°，则该等腰三角形的底角为（ ）
A．50°B．40°C．50°或40°D．100°
【分析】题中没有指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解．
解：①当这个角是顶角时，底角＝（180°﹣100°）÷2＝40°；
②当这个角是底角时，另一个底角为100°，因为100°+100°＝200°，不符合三角形内角和定理，所以舍去．
故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，从而可求出解．
5．在平面内有A、B两点，以相同的单位长度建立不同的直角坐标系，若以点A为坐标原点，点B的坐标为（a，b）；若以点B为坐标原点，则点A的坐标为（ ）
A．（b，a）B．（﹣a，﹣b）C．（﹣a，b）D．（a，﹣b）
【分析】根据题意，结合以点B为坐标原点，点A与点B的横坐标相反，纵坐标相反，即可得到最终结果
解：∵A（0，0），B（a，b），
∴A，B两点坐标差为：（a，b），
以点B为坐标原点，点A与点B的横坐标相反，纵坐标相反，
∴A（﹣a，﹣b）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了坐标系点的坐标的变化，解题的关键是掌握坐标系中，点的坐标的变化规律．
6．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D是AC上一点，将点B绕点D逆时针旋转60°得到点B′，连接BB′，则BB′的最小值为（ ）
A．4B．4.5C．4.8D．5
【分析】利用旋转的性质得到∠BDB′＝60°，BD＝B′D，判定△BDB′是等边三角形，得到BD＝BB′，继而将BB′的最小值转化为BD的最小值，利用垂线段最短得到当BD⊥AC时，BD最小，再利用三线合一得到BE，利用勾股定理求出AE，再利用面积法求出BD即可．
解：如图，过点A作AE⊥BC，
由旋转可得：∠BDB′＝60°，BD＝B′D，
∴△BDB′是等边三角形，
∴BD＝BB′，即BB′的最小值即为BD的最小值，
当BD⊥AC时，BD最小，即BB′最小，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴，
∴，
∵，
即AE•BC＝AC•BD，
则4×6＝5×BD，
∴BD＝4.8，
故选：C．
【点评】本题考查了垂线段最短，等边三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一，勾股定理，旋转的性质，三角形的面积．关键是利用旋转的性质证明△BDB′为等边三角形．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．23的算术平方根是 ．
【分析】根据算术平方根的定义进行解题即可．
解：23的算术平方根是，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，解题的关键是熟知一个正数正的平方根叫算术平方根．
8．若一个等腰三角形的两边长分别为2、4，则其周长为 10 ．
【分析】根据等腰三角形的性质可分两种情况讨论：①当2为腰时②当4为腰时；再根据三角形的三边关系确定是否能构成三角形，再计算三角形的周长，即可求出．
解：①当2为腰时，另两边为2、4，2+2＝4，不能构成三角形，舍去；
②当4为腰时，另两边为2、4，2+4＞4，能构成三角形，
此时三角形的周长为4+2+4＝10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，还涉及了三角形三边的关系，熟练掌握以上知识点是解题关键．
9．比较大小： ＞ 2．
【分析】先估算的大小，然后判断的大小，即可．
解：∵16＜17＜25，
∴，即，
∴，即，
∴．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了实数的大小比较，正确进行变形是解题关键．
10．已知x，y为实数，且，则xy＝ ﹣6 ．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
解：∵，
∴x﹣2＝0，y+3＝0，
解得x＝2，y＝﹣3，
∴xy＝2×（﹣3）＝﹣6．
故答案是：﹣6．
【点评】本题考查了代数式求值，非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．解题的关键是掌握非负数的性质．
11．点A（﹣1，﹣2）到原点的距离是 ．
【分析】根据所给的点的坐标，利用两点之间的距离公式，代入坐标求出两点之间的距离．
解：∵A（﹣1，﹣2），
∴点A（﹣1，﹣2）到原点的距离是．
故答案为：．
【点评】本题考查两点之间的距离公式，熟记此公式是解题的关键．
12．已知点P（a﹣1，a﹣3）在第四象限，则整数a的值为 2 ．
【分析】根据第四项限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得不等式组，然后解不等式组，再根据a为整数，即可得到a的值．
解：∵点P（a﹣1，a﹣3）在第四象限，
∴，
解得：，
解得1＜a＜3，
∵a为整数，
∴a＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查的是点的坐标与解一元一次不等式组，正确得出不等式组是解答此题的关键．
13．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DE＝2，AB＝8，BC＝6，则△ABC的面积为 14 ．
【分析】过点D作DF上BC于点F，根据角平分线的性质得到DF＝DE，根据三角形面积公式计算即可．
解：过点D作DF上BC于点F，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DF＝DE＝2，
∵AB＝8，BC＝6，
∴，
，
∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝8+6＝14．
故答案为：14．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
14．如图，C、D、E在∠AOB的两边上，连接CD、DE，当OC＝CD＝DE，∠BDE＝α时，则∠CDE＝ （用含α的代数式表示）．
【分析】设∠AOB＝β，根据等边对等角，三角形的外角的性质求得∠BDE＝3β，即可求解．
解：设∠AOB＝β，
∵OC＝CD＝DE，
∴∠CDO＝∠AOB＝β，
∴∠ECD＝∠CED＝2β，
∴∠BDE＝∠AOB+∠CED＝β+2β＝3β，
∵∠BDE＝α，
∴α＝3β，则，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，熟知等腰三角形的两个底角相等是解题的关键．
15．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），点C是线段AB上一点，连接坐标原点O和点C，当时，则AC＝ ．
【分析】利用勾股定理得AB＝5，再由可得OC是△OAB的中线，进而可得，则可求解．
解：如图：
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
，
∵，
∴OC是△OAB的中线，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理及直角三角形的特征，熟练掌握勾股定理及直角三角形中，斜边上的中线等于斜边一半是解题的关键．
16．如图，将长方形ABCD沿EF折叠得到两个全等的小长方形，AB＝12，BC＝10，点G在AB上运动，当点A关于DG的对称点A′落在右侧长方形BCEF内部（含边界）时，则AG的长度m的取值范围为 ．
【分析】连接DA′，GA′，由折叠的性质知DA′＝DA为定值，考虑点A′分别在EF、EC上时m的取值，即可确定m的范围．
解：∵四边形ABCD是长方形，
∴CD＝AB＝12，DA＝BC＝10；
∵长方形ABCD沿EF折叠得到两个全等的小长方形，
∴E、F分别是CD，AB的中点，EF⊥AB，EF⊥CD，
∴AF＝DE＝6，EF＝10；
如图，连接DA′，GA′，
由折叠的性质知：DA′＝DA＝10，AG＝A′G＝m；
当点A′在EF上时，如左图，则GF＝AF﹣AG＝6﹣m，
在Rt△DEA′中，，则A′F＝EF﹣EA′＝2，
在Rt△A′GF中，由勾股定理得：（6﹣m）2+22＝m2，
解得：；
当点A′在EC上时，如右图，连接GA′，则∠GA′D＝∠A＝90°，∠ADG＝∠A′DG＝45°，四边形DA′GA是正方形，
∴AG＝A′G＝m＝10；
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查矩形的性质、折叠的性质，勾股定理、正方形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
三、解答题（本大题共10小题，共102分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先计算平方、绝对值、零指数幂，然后计算加减即可；
（2）先化简各式，然后计算加减即可．
解：（1）原式＝
＝
（2）原式＝3+2﹣3
＝2．
【点评】本题考查了实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
18．求下列各式中的x：
（1）4x2﹣16＝0；
（2）（2x﹣1）3+64＝0．
【分析】（1）将方程移项整理，再利用平方根的定义求解；
（2）将64移到方程右边，两边同时除以27再开立方即可求解．
解：（1）∵4x2﹣16＝0，
∴4x2＝16，
∴x2＝4，
∴x＝±2；
（2）∵（2x﹣1）3+64＝0，
∴（2x﹣1）3＝﹣64，
∴2x﹣1＝﹣4，
∴．
【点评】本题考查平方根和立方根解方程，将方程整理之后，直接开平方或立方求解是解题关键．
19．如图，现有一块△ABC花坛，∠ABC＝90°，AC＝13m，BC＝12m，将其内部△ABD设置成观赏区，其他区域种植花卉，已知AD＝3m，BD＝4m，每平方米的种植成本为20元，求种植花卉所需的费用．
【分析】先利用勾股定理得出AB，再利用勾股定理的逆定理得出∠ADB＝90°，根据四边形面积等于两直角三角形面积差即可求出面积，由面积可计算投入．
解：∵∠ABC＝90°，AC＝13m，BC＝12m，，
∴，
∵AD2+BD2＝32+42＝52＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，
∴种植花卉区域的面积为，
∴种植花卉所需的费用为24×20＝480（元）．
【点评】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理，正确得出△ABD是直角三角形是解题关键．
20．如图，在有网格的平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）把△ABC向右平移3格，再向下平移2格，画出△A′B′C′（其中A′、B′、C′分别是A、B、C的对应点，不写画法）；
（2）直接写出点A′关于x轴对称的点的坐标为 （0，﹣1） ；△ABC内任一点D（m，n）按（1）中方法平移后，对应点D′的坐标为 （m﹣3，n﹣2） ．
【分析】（1）A（﹣3，3）先向右平移3格，再向下平移2格得A′（0，1），同理可得：B′（﹣1，﹣4），C′（3，﹣3），依次连接，即可求解；
（2）根据坐标与图形变化﹣平移与轴对称的坐标变化规律即可求解．
解：（1）A（﹣3，3）先向右平移3格，再向下平移2格得A′（0，1），
同理可得：B′（﹣1，﹣4），C′（3，﹣3），依次连接，
如图所示，△A′B′C′即为所求：
（2）由（1）得：A′（0，1），
则A′（0，1）关于x轴对称的点的坐标为：（0，﹣1），
D（m，n）先向右平移3格，再向下平移2格得D′（m﹣3，n﹣2），
故答案为：（0，﹣1）；（m﹣3，n﹣2）．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换以及作图﹣平移变换，熟练掌握坐标与图形变化﹣平移与轴对称的坐标变化规律是解题的关键．
21．如图，在△ABC中，点D、E在BC上，BD＝DE＝EC．
（1）从①AB＝AC，②AD＝AE中，选择一个作为条件，另外一个作为结论，构成一个真命题，并证明；条件： ① ，结论： ② （填序号）．
（2）在（1）的条件下，当AD＝DE时，求∠BAC的度数．
【分析】（1）将其中一个作为条件，另一个作为结论，证明相应三角形全等，即可证明；
（2）首先证明△ADE是等边三角形，得到相应角度，再求出∠B+∠BAD+∠C+∠CAE，利用等边对等角得出∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，继而求得∠BAD+∠CAE＝60°，进而可得结果．
解：（1）条件：AB＝AC；
结论：AD＝AE；
证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE；
故答案为：①，②；
（2）∵AD＝AE，AD＝DE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE＝∠AED＝∠DAE＝60°，
∴∠B+∠BAD+∠C+∠CAE＝180°﹣60°＝120°，
∵DE＝BD＝CE＝AD＝AE，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
∴，
∴∠BAC＝60°+60°＝120°．
【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，命题的条件和结论以及证明．
22．如图，在8×6的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位长度，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）点D是BC上的格点，且△ABD为等腰三角形，在图1中标注出所有符合条件的点D；
（2）仅用无刻度的直尺在图2中画出△ABC的角平分线BE，保留作图痕迹，并简要说明作图方法．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质，分BD＝BA和AD＝AB，作出图形即可；
（2）作等腰三角形△ABD，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可作出图形．
解：（1）如图1，BD1＝BA，AD2＝AB，则点D1和D2即为所作；
（2）作出等腰三角形△ABD使BD＝BA，连接AD，取AD的中点F，作射线BF交AC于点E，△ABC的角平分线BE如图2所示，
∵BD＝BA，AF＝FD，
∴BE平分∠ABC．
【点评】本题主要考查了作图——应用与设计作图、等腰三角形的性质等知识，掌握利用数形结合的思想是解答本题的关键．
23．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”．
（1）点A（﹣1，3）的“长距”为 3 ；
（2）若点B（4a﹣1，﹣3）是“完美点”，求a的值；
（3）若点C（﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为（9﹣2b，﹣5），试说明：点D是“完美点”．
【分析】（1）根据“长距”的定义解答即可；
（2）根据“完美点”的定义解答即可；
（3）由“长距”的定义求出b的值，然后根据“完美点”的定义求解即可．
解：（1）根据题意，得点A（﹣1，3）到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，
∴点A的“长距”为3．
故答案为：3；
（2）∵点B（4a﹣1，﹣3）是“完美点”，
∴|4a﹣1|＝|﹣3|，
∴4a﹣1＝3或4a﹣1＝﹣3，
解得a＝1或；
（3）∵点C（﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C 在第二象限内，
∴3b﹣2＝4，
解得b＝2，
∴9﹣2b＝5，
∴点D的坐标为（5，﹣5），
∴点D到x轴、y轴的距离都是5，
∴点 D 是“完美点”．
【点评】本题主要考查了点的坐标，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“完美点”．
24．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离分别为BD、CE，且∠BOC＝90°．
（1）求证：△CEO≌△ODB；
（2）若点A、B到地面的距离是分别是0.5m、1m，BD＝1.5m，求秋千OB的长度；
（3）在（2）的条件下，求爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？
【分析】（1）根据AAS证明△CEO≌△ODB，即可求解．
（2）设OB＝x，则OA＝OB＝x，在Rt△OBD中，OB2＝OD2+BD2，求得，即可求解；
（3）根据全等三角形的性质可得OE＝BD＝1.5，进而求得EA，结合点A到地面的高度，即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠BOC＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠BDO＝∠ODC＝90°，∠1+∠B＝90°，
∴∠2＝∠B，
又∵OB＝OC，
在△CEO和△ODB中，
，
∴△CEO≌△ODB（AAS），
（2）设OB＝x，则OA＝OB＝x，
∵点A、B到地面的距离是分别是0.5m、1m，
∴AD＝1﹣0.5＝0.5，
∴OD＝x﹣0.5，
在Rt△OBD中，OB2＝OD2+BD2，
∴x2＝（x﹣0.5）2+1.52；
解得：
∴秋千OB的长为，
（3）∵△CEO≌△ODB，
∴OE＝BD＝1.5，
∴EA＝OA﹣OE＝2.5﹣1.5＝1（m），
∴C到地面的高为1+0.5＝1.5m，
答：爸爸在距离地面1.5m高的地方接住小丽的．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
25．随着互联网的发展，网上购物几乎成为了人们日常生活中不可或缺的一部分，这也使得快递行业市场规模呈现出爆发式的增长．为了方便居民领取快递，小明的爸爸计划在一条笔直的公路l旁设一个菜鸟驿站点P，使驿站到公路同侧的A、B两个小区的距离相等．
（1）如图1，当A小区到公路l的距离AC＝300m，B小区到公路l的距离BD＝400m，且CD＝700m时，求驿站点P到A小区的距离；
（2）如图2，若A、B两个小区到公路l的距离均为a，CD的长度为2a，求∠APB的度数；
（3）爱动脑的小明通过推理发现：当A小区到公路l的距离a与B小区到公路l的距离b之和等于CD的长度时，∠APB始终是直角．请利用图3加以说明．
【分析】（1）由题意得AP＝BP，根据勾股定理得到关系式AC2+CP2＝PD2+BD2，设CP＝x m，根据关系式列方程求解即可；
（2）设CP＝y，再根据（1）的关系式AC2+CP2＝PD2+BD2，列出方程求解，得出CP及PD的长，即可证得△ACP和△BPD是等腰直角三角形，然后通过平角计算即可得出答案；
（3）根据AC2+CP2＝PD2+BD2，利用等式性质及平方差公式将等式变形为（AC+BD）（AC﹣BD）＝（PD﹣CP）（PD+CP），再根据AC+BD＝CD＝CP+PD，设CP＝m，PD＝n，列出二元一次方程组求得CP，PD的值，即可证明 Rt△ACP与Rt△PDB全等，然后证明∠APC+∠BPD＝90°即可得出结论．
解：（1）由题意得AP＝BP，AC2+CP2＝AP2，PD2+BD2＝BP2，
∴AC2+CP2＝PD2+BD2，
设CP＝x m，则PD＝（700﹣x）m，
∴得方程3002+x2＝（700﹣x）2+4002，
解得x＝400，即CP＝400m，
∴，
答：驿站点P到A小区的距离是500m．
（2）设CP＝y，则PD＝2a﹣y，
由（1）得AC2+CP2＝PD2+BD2，
∵AC＝BD＝a，
∴得方程a2+y2＝（2a﹣y）2+a2，
解得y＝a，
∴PD＝CD﹣CP＝2a﹣a＝a，
∴AC＝CP，PD＝BD，
∴△ACP和△BPD是等腰直角三角形，
∴∠APC＝45°，∠BPD＝45°，
∴∠APB＝180°﹣∠APC﹣∠BPD＝90°．
（3）证明：∵AC2+CP2＝PD2+BD2，
∴AC2﹣BD2＝PD2﹣CP2，即（AC+BD）（AC﹣BD）＝（PD﹣CP）（PD+CP），
设CP＝m，PD＝n，则m+n＝CD，
∵AC＝a，BD＝b，
∴（a+b）（a﹣b）＝（n﹣m）（n+m），
当a+b＝CD时，则a+b＝m+n，
∴得方程组，
解得，
∴AC＝PD，BD＝CP
又∵∠ACP＝∠DPB＝90°，AP＝PB，
∴△ACP≌△PDB（HL），
∴∠APC＝∠PBD，
∵∠BPD+∠PBD＝90°，
∴∠APC+∠BPD＝90°，
∴∠APB＝180°﹣（∠APC+∠BPD）＝180°﹣90°＝90°．
【点评】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，一元一次方程的应用及二元一次方程组的应用，利用勾股定理找到等量关系列一元一次方程及二元一次方程组求出线段长度是解本题关键．
26．已知∠AOB＝90°，OC平分∠AOB．
【操作探究】
（1）如图1将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，现探究PE、PF的大小关系：
①特例探究：当三角尺的两条直角边分别与OA、OB垂直，垂足为E、F时，依据定理： 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等 （写出具体内容），得到PE＝PF；
②一般探究：当三角尺的两条直角边分别交OA、OB于点E、F时，试判断：PE ＝ PF（填“＞”、“＜”或“＝”）；
【逆向思考】
（2）如图2，点P是∠AOB内一点，E、F分别在边OA、OB上，∠EPF＝90°，PE＝PF，求证：点P在OC上；
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，建立如图3所示的平面直角坐标系，已知OC是第一象限的角平分线，若点P的坐标为（3m﹣2，4m﹣3）．
①求点P的坐标；
②过点P作GH⊥OC交x轴于点G，交y轴于点H，当点E从点H运动到点O时，求EF的中点Q的运动路径长．
【分析】（1）①根据角平分线的性质定理证明；
②作PM⊥AO，PN⊥OB，垂足分别为M，N，证明△MPE≌△NPF，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）作PM⊥AO，PN⊥OB，垂足分别为M，N，证明△MPE≌△NPF，得出PM＝PN，根据角平分线的判定定理，即可得证；
（3）①根据角平分线的性质，点的坐标可得3m﹣2＝4m﹣3，即可求解；
②根据题意可得△HGO是等腰直角三角形，设OH，OG的中点分别为M，N，根据勾股定理，进而得出当点E从点H运动到点O时，EF的中点 Q点从点M运动到N，即可求解．
【解答】（1）解：①∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，
依据角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，得到PE＝PF，
故答案为：角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；
②＝，理由如下：
如图1所示，PM⊥AO，PN⊥OB，垂足分别为M，N，
∵∠MPN＝90°，∠EPF＝90°，
∴∠MPE＝∠NPF，
由（1）得，PM＝PN，
在△MPE和△NPF中，
，
∴△MPE≌△NPF（ASA），
故答案为：＝；
（2）证明：如图所示过点P作PM⊥AO，PN⊥OB，垂足分别为M，N，如图2，
∵∠AOB＝90°，PM⊥AO，PN⊥OB，
∴∠MPN＝90°，
∴∠MPE＝∠NPF，
又∠PME＝∠PNF，PE＝PF，
∴△PME≌△PNF（AAS），
∴PM＝PN
又∵OC平分∠AOB．
∴P在OC上；
（3）解：①∵OC是第一象限的角平分线，若点P的坐标为（3m﹣2，4m﹣3），P在OC上，
∴3m﹣2＝4m﹣3，
解得：m＝1，
∴P（1，1）；
②依题意，PE＝PF，△PEF是等腰直角三角形，
∵P（1，1），
∴，，
∴OH＝OH＝2，
∵OC是第一象限的角平分线，GH⊥OC，则△HGO是等腰直角三角形，
如图3所示，
设OH，OG的中点分别为M，N，则M（0，1），N（1，0），
∴，
当点E在点H时，点Q与点M重合，当点E在点O时，点Q与点N重合，
∴当点E从点H运动到点O时，EF的中点 Q点从点M运动到N，
即Q的运动路径长为．
【点评】本题属于几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．