山东省潍坊市寒亭区2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份山东省潍坊市寒亭区2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了下列说法正确的是，如图，下面格点三角形，关于x的一元二次方程等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本场考试时间120分钟，满分150分．
2．答卷前，请将试卷密封线内和答题卡上面的项目填涂清楚．
3．请在答题卡相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置．
第I卷（选择题 共44分）
一、单项选择题（共6小题，每小题4分，共24分．每小题四个选项中只有一项正确．）
1．计算的值为（ ）
A．B．C．D．
2．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，，用科学计算器求∠A的度数，下列按键顺序正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，把矩形对折，折痕为，如果矩形和矩形相似，则它们的相似比为（ ）
A．B．C．2D．
5．把两个大小相同的含角的三角尺如图放置，D、B、C三点共线，若，则的长为（ ）

A．6B．C．D．2
6．将边长相等的正方形和等边三角形如图放置，过、、三点作圆，则所对的圆心角的度数是（ ）

A．B．C．D．
二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分．每小题的4个选项中，有多项正确，全部选对得5分，部分选对得3分，错选、不选均记0分．）
7．下列说法正确的是（ ）
A．度数相等的弧所对的圆心角相等
B．相等的圆周角所对弧的度数相等
C．圆周角的度数等于圆心角度数的一半
D．三角形的外心到三角形各边的距离相等
8．如图，下面格点三角形（顶点在方格纸的格点上）与相似的是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，内接于，为的直径，A为的中点，，连接、交于点，则下列结论正确的是( )
A．B．
C．点A、C为的三等分点D．连接，则四边形为菱形
10．关于x的一元二次方程：①，②，其中，下列结论正确的是（ ）
A．若方程①有实数根，则方程②必有实数根
B．若两个方程有一个相同的实数根，则此根为1
C．若方程①有一正根一负根，则方程②有一正根一负根
D．若是方程①的实数根，则是方程②的实数根
第II卷（非选择题 共106分）
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．只要求填写最后结果．）
11．用反证法证明“一个三角形中不能有两个钝角”，先假设 ．
12．如图，在中，，于D，则 度．
13．设m，n是方程的两个实数根，则的值为 ．
14．已知与关于原点位似，位似比为．若点A的坐标为，则对应点的坐标为 ．
四、解答题（本题共8小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．）
15．解方程：
(1)；
(2)
16．如图，在中，点在边上，，，，求的长．
17．如图，在直径为20的中，与是互相垂直的两条弦，垂足为点F．已知，求OF的长．
18．如图，在中，，，．点D在的延长线上，且，连接．
(1)求；
(2)求．
19．某旅行社组织甲、乙两旅行团到某地旅游．原计划，甲乙两团均由20人组成，甲旅行团每人每天的平均花费为500元，旅行4天；乙旅行团每人每天的平均花费为400元，旅行3天．实际上，甲旅行团旅行天数不变但又增加了部分人员，经统计，甲旅行团每增加1人，每人每天的平均花费将减少20元；乙旅行团旅行天数、人数均不变．甲旅行团的实际总花费比乙旅行团总花费多15520元，试求甲旅行团实际增加的人数是多少？
20．如图1是一款折叠式拍照设备，图2是该款设备放置在水平桌面l上的示意图．可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果，悬臂、连杆和支撑臂只能在同一平面内活动．经试验，当时，拍摄效果较佳，此时点C到桌面的距离为52厘米．若已知，的夹角固定为，厘米，试求“拍摄效果较佳”时，点D到桌面的距离．
21．如图，是的直径，于点E，G是上一点，，的延长线交于点F，连接、、，已知，．
(1)求证：；
(2)求的半径；
(3)若点G是的中点，求的长．
22．【阅读材料】
配方法不仅可以解一元二次方程，还可以用来求“最值”问题．
例如：求代数式的最值．
解：因为
（分离常数项）
（提二次项系数）
（配方）
所以当时，代数式取得最小值3．
再如：求代数式的最值．
解：因为
所以当时，代数式取得最大值．
（1）【材料理解】
时，代数式的最 “大”或“小” 值为 ．
（2）【类比应用】
试判断关于的一元二次方程实数根的情况，并说明理由．
（3）【迁移应用】
如图，有一块锐角三角形余料，它的边厘米，高厘米．现要用它裁出一个矩形工件，使矩形的一边在上，其余的两个顶点分别在、上．
①设，试用含的代数式表示矩形工件的面积；
②运用“配方法”求的最大值．
参考答案与解析
1．A
【分析】本题考查特殊角三角函数值的计算，运用特殊角的三角函数值计算．
【详解】解：．
故选：A．
2．D
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
3．B
【分析】本题考查了利用计算器由三角函数值求角度，根据计算器的使用方法进行分析即可．
【详解】解：，
，
依次按键，，然后输入函数值0.2，，即可求出的度数．
故选：B．
4．A
【分析】此题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，设矩形的长，宽，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得．
【详解】解：设矩形的长，宽，
则，
矩形与矩形相似，
，即，
即．
．
故选：A．
5．A
【分析】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，由题意可知，再由可得出的长，再在中通过解直角三角形即可求解．
【详解】解：把两个大小相同的含角的三角尺如图放置，、、三点共线，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
6．C
【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，圆周角定理；连接，，则可得到，，根据等边对等角得到，同理可得，则，再根据圆周角定理解题即可．
【详解】解：连接，
∵是正方形，是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
同理可得，
∴
∴所对的圆心角的度数是，
故选C．
7．AB
【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理、三角形的外心的概念和性质，根据圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理、三角形的外心的概念和性质判断即可．
【详解】解：A、度数相等的弧所对的圆心角相等，说法正确，符合题意；
B、相等的圆周角所对弧的度数相等，说法正确，符合题意；
C、一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半，故本选项说法错误，不符合题意；
D、三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：AB．
8．AC
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，利用勾股定理和网格的特点求出三边的长以及每个图形中三角形的边长，再根据三边对应成比例的两个三角形相似进行判断即可得到答案．
【详解】解：设方格纸中的小正方形边长为1，
由网格的特点和勾股定理得，
A、图中三角形三边长为，
∵，
∴图中三角形与相似，符合题意；
B、图中三角形三边长为，
∵，
∴图中三角形与不相似，不符合题意；
C、图中三角形三边长为，
∵，
∴图中三角形与相似，符合题意；
D、图中三角形三边长为，
∵，
∴图中三角形与不相似，不符合题意；
故选AC．
9．ACD
【分析】本题主要考查了圆周角、弧、弦的关系，圆周角定理，菱形的判定等知识．利用圆周角、弧、弦的关系可得，从而得出，再根据圆周角定理可得，进而判断A、C正确，利用含角的直角三角形的性质可判断B错误，由，得四边形是平行四边形，再根据，可判断D正确．
【详解】解：如图，连接，
为的中点，
，
，
，
，
，
，
是直径，
，
，
，
，
，
，故A、C正确，
，
，
，
，故B错误，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，故D正确，
故选：ACD．
10．ACD
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、根的判别式和根与系数的关系，A．求出①②两根方程根的判别式，然后判断即可；
B．根据两个方程有一个相同的实数根，得到，求出就能判断；
C．利用一元二次方程根与系数的关系求出①的两根之积，判断其正负，然后求出②的两根之积进行判断即可；
D．把代入①得到，此等式两边同时除以得，然后再把代入②，把所得结果与①的结果进行比较判断即可．
【详解】解：A．若关于的方程：①有实数根，则△，
②的判别式为△，
②也必有实数根，
此选项的说法正确，故选项A符合题意；
B．若两个方程有一个相同的实数根，
，
，
，
，
，
故选项B说法错误，不符合题意；
C．方程①②的根的判别式都是，
①的求根公式为，，方程②的求根公式为：，，
若方程①有一正根一负根，则，异号，
，
，
方程②有一正根一负根，
故选项C说法正确，符合题意；
D．把代入①得：，此等式两边同时除以得：；
把得入②得：，
，
故选项说法D正确，符合题意；
故选：ACD．
11．一个三角形中有两个钝角
【分析】用反证法的第一步是假设结论不成立．
【详解】解：假设命题“一个三角形中有两个钝角”成立，
∴这个三角形的内角和大于，这与三角形的内角和定理相矛盾，
∴假设错误，
故原命题“一个三角形中不能有两个钝角”成立．
故答案为：一个三角形中有两个钝角
【点睛】本题考查了反证法的运用，掌握反证法的步骤是解题的关键．
12．
【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，垂直的定义，熟知同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角的度数是圆心角的度数的一半是解题的关键.根据圆周角定理得到，由垂直的定义得到，则由三角形内角和定理可得答案．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，先根据根与系数的关系得到，再由进行整体代入计算即可．对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．
【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根，
∴，
∴
，
故答案为：．
14．或
【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．利用关于原点对称的点的坐标，把点横纵坐标分别乘以或得到其对应点的坐标即可．
【详解】解：∵与的相似比是，并且是关于原点的位似图形，而点A的坐标为，
点A其对应点的横坐标是，纵坐标为或横坐标是，纵坐标为，
即点的坐标为或．
故答案为：或．
15．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程；
（1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
（2）根据公式法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
∴或，
解得：；
（2）解：，
∴，
∴，，
∴，
解得：．
16．
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由已知可证明，进而利用相似三角形的性质可得的长．
【详解】解：，，
，
，即，
解得：，
．
17．
【分析】本题主要考查了垂径定理以及圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
过点作于点，于点，连接，先证明四边形是正方形，然后根据垂径定理求出即可解答．
【详解】解：过点作于点，于点，连接，如图，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
四边形正方形，
，
直径为20，
，
在中，，
，
在中，，
即的长为．
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解直角三角形，三角形内角和定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）如图所示，过点A作于E，先解求出，再由三角形内角和定理求出，再解得到，则；
（2）先解得到，则，再根据正切的定义求出答案即可．
【详解】（1）解：如图所示，过点A作于E，
在中，，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴在中，，
∴；
（2）解：在中，，
∴，
∴，
∴在中，．
19．甲旅行团实际增加的人数是6人
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设甲旅行团实际增加了x人，则甲实际每人每天的花费为元，分别计算出甲乙两个旅行团的实际费用，再根据甲旅行团的实际总花费比乙旅行团总花费多15520元，列出方程求解即可．
【详解】解：设甲旅行团实际增加了x人，
由题意得，，
整理得：，
解得或（舍去），
答：甲旅行团实际增加的人数是6人．
20．拍摄效果较佳”时，点D到桌面的距离为厘米．
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点C作于E，过点D作，垂足分别为G、F，过点B作于P，设交于H，则四边形和四边形都是矩形，则，，，根据平行线的性质得到，进而利用三角形外角的性质求出，解直角三角形求出的长，进而求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点C作于E，过点D作，垂足分别为G、F，过点B作于P，设交于H，则四边形和四边形都是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴“拍摄效果较佳”时，点D到桌面的距离为厘米．
21．(1)证明见解析
(2)的半径为5
(3)
【分析】本题是圆与三角形综合题，考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识点．解题关键是掌握相关基础知识并灵活运用．
（1）连接，如图，先根据圆周角定理得到，再根据等角的余角相等得到，然后根据圆周角定理得到，从而得到结论；
（2）连接，如图，设的半径为，则，，再根据垂进搞定了得到，然后在中利用勾股定理得到，最后解方程即可；
（3）先利用勾股定理计算出，再证明得到，由于点为的中点，则，所以，于是可计算出的长．
【详解】（1）证明：连接，如图，
是的直径，
，
，
，
，，
，
，
；
（2）解：连接，如图，设的半径为，
，
，
，，
，
，
在中，，
解得（舍去），，
即的半径为5；
（3）解：在中，
，，
，
，，
，
，
即，
点为的中点，
，
，
即，
解得或（舍去），
即的长为．
22．（1），大，；（2）两个不相等的实数根，（3）①；②当的长度是6厘米时，矩形零件的面积最大，最大面积为24平方厘米．
【分析】本题考查了配方法的应用和相似三角形的应用，
（1）根据阅读材料解答即可；
（2）先计算出一元二次方程根的判别式△，然后运用配方法判断取值范围即可判定根的情况；
（3）①设的长度是厘米，的长度是厘米时，根据四边形为矩形，得出，进而证得，列出比例式证得与之间的函数关系式为，然后根据矩形面积求出解析式，②利用配方法即可求解．
【详解】解：（1）【材料理解】：
时，代数式的最大值为．
故答案为：，大，；
（2）【类比应用】：
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
理由如下：
△
，
当时，△有最小值为8，即△，
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；
（3）【迁移应用】：
①设的长度是厘米，的长度是厘米时，
四边形为矩形，
，
，
，
，
与之间的函数关系式为，
矩形面积；
②
，
，
故当的长度是6厘米时，矩形零件的面积最大，最大面积为24平方厘米．
【点睛】本题涉及了相似三角形的应用、一元二次方程根的判别式、配方法的应用，利用矩形的面积公式得到关于的关系式并正确配方是解题关键．