2023-2024学年河北省邯郸市高一上学期期中数学质量检测模拟试题（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省邯郸市高一上学期期中数学质量检测模拟试题（含解析），共15页。试卷主要包含了本卷主要考查内容等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：必修第一册第一章一第四章4.2.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若集合 ，，则（ ）
A．B．C．D．
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．若，则=（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数，若，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．已知函数在上的值域为，则在上的值域为（ ）
A．B．C．D．
6．已知关于x的不等式的解集为，函数（且）为指数函数，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．已知是定又在上的偶函数，且在上单调递增，又，则的解集是（ ）
A．B．
C．D．
8．若，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
10．下列各组函数中，两个函数相同的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
11．若函数且的图象过第一、三、四象限，则（ ）
A．B．
C．D．
12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如.若，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，B．
C．函数是增函数D．函数的值域为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知函数，则的单调递减区间为 .
14．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .
15．已知命题：，使得，若是真命题，则的取值范围是 .
16．若函数与对于任意，都有，则称函数与是区间上的“阶依附函数”，已知函数与是区间上的“阶依附函数”，则的取值范围是 .
四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17．已知集合，.
(1)若，求；
(2)若，求a的值.
18．已知幂函数在上单调递增.
(1)求的解析式；
(2)判断的奇偶性，并证明.
19．已知一次函数满足，且.
(1)求的函数关系式；
(2)求关于的不等式的解集.
20．已知函数.
(1)若，求在区间上的最大值和最小值；
(2)若在上恒成立，求a的取值范围.
21．如图，某物业需要在一块矩形空地（记为矩形ABCD）上修建两个绿化带，矩形ABCD的面积为800m2，这两个绿化带是两个形状、大小完全相同的直角梯形，这两个梯形上下对齐，且中心对称放置，梯形与空地的顶部、底部和两边都留有宽度为5m的人行道，且这两个梯形之间也留有5m的人行道.设m.
(1)用x表示绿化带的面积；
(2)求绿化带面积的最大值.
22．已知函数.
(1)若a=0，求的值城；
(2)求的最大值.
1．B
【分析】由题知，对集合M，N进行转化，根据补集的概念求出，结合交集的运算求出.
【详解】由题意知，，
所以.
故选：B.
2．A
【分析】首先分别把、的充要条件找出来，然后按照充分不必要条件的定义判断即可.
【详解】因为，或，
而“”是“或”的充分不必要条件，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3．C
【分析】利用指数幂的运算性质可求得结果.
【详解】.
故选：C.
4．B
【分析】由内向外，先求，则，代入式子即可求得a.
【详解】，，
解得，
故选：B.
5．D
【分析】令，则，，再根据奇函数的性质，即可求解.
【详解】令，则，
因为函数在上的值域为，
所以在上的值域为，
又为奇函数，所以在上的值域为，
又，则在上的值域为.
故选：D
6．A
【分析】由不等式的解集为，可得，再由为指数函数可得，代入运算可得解.
【详解】因为不等式的解集为，所以，即，
又为指数函数，，所以，，且，
.
故选：A.
7．D
【分析】根据函数的奇偶性和单调性，可知和的解，再将转化为，或，求解即可.
【详解】由题意可得当时，有，当或时，有，
所以当时，有或，即或，
当时，有，即，
由，可得，或，所以或，
所以的解集是.
故选：D
8．D
【分析】首先利用条件等式将表达式变形，然后利用基本不等式求最小值，一定要注意取等条件是否成立.
【详解】因为，
所以由题意
，
因为，所以，
所以由基本不等式可得，
当且仅当时等号成立，即当且仅当或时等号成立，
综上所述，的最小值为.
故选：D.
关键点点睛，解决本题的关键是要利用条件等式对已知表达式变形，利用基本不等式后要注意到取等条件的成立与否.
9．BCD
【分析】通过反例可知A错误；利用不等式性质可知BCD正确.
【详解】对于A，当时，，A错误；
对于B，，，又，，B正确；
对于C，，，又，，C正确；
对于D，，，，D正确.
故选：BCD.
10．AD
【分析】根据函数的定义域以及对应关系是否相同，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A. ，的定义域均为，且对应关系相同，故两个函数相同，A正确，
对于B. ，，两个函数的对应关系不相同，故两个函数不相同，B错误，
对于C. 的定义域为，而的定义域为，两个函数的定义域不相同，故不是相同的函数，C错误，
对于D. ，的定义域均为，且对应关系相同，故两个函数相同，D正确，
故选：AD
11．BC
【分析】作出函数大致图象，结合指数函数性质可构造不等式求得结果.
【详解】由题意可知：函数大致图象如下图所示，
结合图象可知：，解得.
故选：BC.
12．AD
【分析】对于A，直接由高斯函数定义来验证即可；对于B，注意到，使得，即可运算判断；对于C，由B选项分析即可判断；对于D，由B选项可得的周期，故只需讨论在上的值域即可.
【详解】对于A，当时，，故A正确；
对于B，因为，使得，此时，
从而，故B选项错误；
对于C，由B可知对于，有，故C选项错误；
对于D，由B选项分析可知，函数是以1为周期的周期函数，故只需讨论在上的值域即可，
当时，，即函数的值域为，故D正确.
故选：AD.
关键点点睛：对于A选项的判断比较常规，本题的关键是注意到，使得，从而即可判断BCD三个选项.
13．
【分析】根据复合函数的单调性法则，结合指数函数以及二次函数的单调性即可求解.
【详解】可由复合而成，
由于函数在定义域内单调递增，
而函数在单调递增，在单调递减，
所以的单调递减区间为，
故
14．
【分析】先由的定义域求出的定义域，然后再求出的定义域即可.
【详解】因为的定义域为，
所以的定义域满足，
解得，即的定义域为，
所以函数的定义域满足，
解得或，
所以函数的定义域为.
故答案为.
15．
【分析】分离变量可得，结合能成立的思想和二次函数最值的求法可求得结果.
【详解】由得：；
，使得，；
为开口方向向上，对称轴为的抛物线，
当时，，
的取值范围为.
故答案为.
16．
【分析】采用分离常数法、二次函数性质可求得和在上的值域，结合“阶依附函数”定义可得恒成立，可得，由此可构造不等式求得结果.
【详解】，在上单调递减，
当时，；
令，则当时，，
，当时，，
即当时，；
由“阶依附函数”定义可知：对于任意恒成立，
，恒成立，即，
，即，的取值范围为.
故答案为.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据分式不等式以及一元二次不等式化简集合，即可由并集的运算求解，
（2）根据交集的结果，结合集合，即可判断是方程的一个根，代入即可求解.
【详解】（1）由可得，
当时，，
所以
（2），，
所以是方程的一个根，故，故，
18．(1)
(2)详见解析
【分析】(1)由幂函数的概念可得，再结合幂函数在单调递增可确定a的值，则解析式可求；
(2)首先判断定义域是否关于原点对称，再看与的关系即可判断.
【详解】（1）由幂函数的概念可知，解得或，
又因为幂函数在单调递增，故，即；
（2）为偶函数，
证明如下：定义域为R，，
故为偶函数.
19．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）采用配凑法，结合和一次函数定义可解方程求得结果；
（2）将已知不等式化为，通过讨论一元二次方程两根大小关系可得不等式的解集.
【详解】（1），，
，解得：或，
又为一次函数，，则，.
（2）由（1）知：；
令，解得：或；
当，即时，的解集为；
当，即时，的解集为；
当，即时，的解集为；
综上所述：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为.
20．(1)最大值为3，最小值为2
(2)
【分析】（1）当时，，令，将问题转化为二次函数求最值问题得解；
（2）令，原不等式可化为，对任意的成立，分离参数结合基本不等式可得解.
【详解】（1）当时，，，
令，则，，开口向上，对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当，即时，函数也就是取得最小值，，
当，即时，函数取得最大值，.
（2）在上恒成立，即，令，
原不等式可化为，对任意的成立，
可转化为，对任意的成立，
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以即可，
所以实数的取值范围为.
21．(1)
(2)
【分析】（1）两个形状、大小完全相同的直角梯形可合并成一个小矩形，再结合题干的数据可求绿化带面积；
（2）利用基本不等式求最大值即可.
【详解】（1）因为矩形ABCD的面积为，，所以，
两个形状、大小完全相同的直角梯形可合并成一个小矩形，
则，解得，
则绿化带面积为；
（2）由（1）知
，
当且仅当，即时等号成立，
所以绿化带面积的最大值为.
22．(1)
(2)
【分析】(1) 先求定义域，再令，则，结合定义域可求的值域；
(2)先由题意求出函数定义域，结合(1)将原函数化为，分别讨论，，三种情况，根据二次函数的单调性，即可求出结果.
【详解】（1）当a=0时，由题意可得：，解得，即定义域为；
令，则，因为，所以，
因此，即的值域为.
（2）由题意可得：，解得，即定义域为；
由(1)可知函数可转化为函数，
当时，，函数开口向上，所以在上单调递增，设最大值为，因此；
当时，在上单调递增，此时；
当时，，函数开口向下，若，即时，函数在上单调递减，因此；
若，即时，在上单调递增，在上单调递减，因此；
若，即时，在上单调递增，因此；
综上所述，
故答案为.
本题主要考查求函数的最值问题，熟记二次函数的性质，灵活运用转化与化归的思想，以及分类讨论的思想，即可求解，属于常考题型.