2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市高一上学期期中数学质量检测模拟试题（含解析）

这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市高一上学期期中数学质量检测模拟试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（共60分）
一、单选题（共8小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题意）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．将化为对数式正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．函数（，且）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数，则在区间上（ ）
A．恒成立B．有最小值
C．单调递增D．单调递减
5．已知函数为R上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为（ ）
A．B．C．D．以上都不对
6．已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．在上定义新运算，若存在实数，使得成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，设，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（共4小题，每小题有多个选项符合题意，全部选对得5分，部分选对得2分，有错误选项得0分）
9．已知，则的取值可以为（ ）
A．1B．C．3D．4
10．下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“，”的否定是“，”
C．若，则
D．若关于点中心对称，则
11．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ）
A．B．的定义城为
C．，D．为偶函数
12．已知函数的定义域为D，若存在区间[m，n]⊆D使得：
（1）在上是单调函数；
（2）在上的值域是，则称区间为函数的“倍值区间”．
下列函数中存在“倍值区间”的有（ ）
A．B．
C．D．
第Ⅱ卷（共90分）
三、填空题（共4小题，每小题5分）
13．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为 .
14．已知函数，且该函数的值域为，则的值为 .
15．设函数，则 ．
16．哈尔滨某商场举办优惠酬宾赠券活动，购买百元以上单件商品可以使用优惠券一张，并且每天购物只能用一张优惠券.一名顾客得到三张优惠券，三张优惠券的具体优惠方式如下：
优惠券1：若标价超过100元，则付款时减免标价的10%；
优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元；
优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%.
如果顾客购买商品后，使用优惠券1比使用优惠券2、优惠券3减免的都多，那么你建议他购买的商品的标价可以是 元.
四、解答题（共6小题，总计70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知集合，集合；
(1)若，求与；
(2)若是的充分不必要条件，求的取值范围.
18．已知函数且，.
(1)求的解析式；
(2)证明在上单调递增.
19．已知定义在上的函数满足、，；，.
(1)求的值；
(2)证明是上的增函数；
(3)若，求的取值范围.
20．设函数，.
(1)解关于x的不等式；
(2)已知时，恒成立，求a的取值范围.
21．为减少空气污染，某市鼓励居民用电（减少粉尘），并采用分段计费的方法计算电费．当每个家庭月用电量不超过100千瓦时时，按每千瓦时0.57元计算；当月用电量超过100千瓦时时，其中的100千瓦时仍按原标准收费，超过的部分按每千瓦时0.5元计算．
（1）设月用电x千瓦时时，应交电费y元，写出y关于x的函数关系式；
（2）若某家庭一月份用电120千瓦时，则应交电费多少元？
（3）若某家庭第一季度缴纳电费的情况如下表：
则这个家庭第一季度共用电多少千瓦时？
22．已知指数函数在区间上的最大值与最小值之和为6；
(1)求的值；
(2)求在上的最大值，井将结果表示成一个关于的分段函数；
(3)设，求的值.
月份
1月
2月
3月
合计
交费金额（元）
76
63
45.6
184.6
1．C
【分析】利用交集的定义可求得集合.
【详解】因为集合，，则.
故选：C.
2．B
【分析】根据对数的定义判断．
【详解】化为对数式为，
故选：B．
3．D
【分析】分别讨论或时，图象与y轴的交点的纵坐标，即可得出答案.
【详解】A，B选项中，，于是，所以图象与y轴的交点的纵坐标应在之间，
显然A，B的图象均不正确；
C，D选项中，，于是，图象与y轴的交点的纵坐标应在小于，所以D项符合.
故选：D
4．D
【分析】在区间上，，根据二次函数的性质分析即得解.
【详解】在区间上，，
故在区间上，，没有最小值，单调递减．
故选：D．
5．A
【分析】利用奇函数的性质求时的函数解析式即可.
【详解】设，则，又.
故选：A
6．C
【分析】求出幂函数 f(x) 的解析式，再通过导数求出函数 g(x) 的单调性，从而求得最值.
【详解】
设，∵幂函数的图象过点，∴∴，∴，
∴，
当且仅当“”时取等号，
∴函数·在区间上的最小值为5．
故选：C．
7．A
【分析】由已知可得存在实数，使得，则，求出函数在区间上的最大值，即可得出实数的取值范围，即可得解.
【详解】由已知，存在实数，使得，则，
因为二次函数在区间上单调递减，则，
所以，，故实数的最大值为.
故选：A.
8．A
【分析】根据函数的奇偶性及单调性判断.
【详解】∵函数是定义域为的偶函数，∴，
，，，
∵函数在上单调递减，，
∴，即.
故选：A.
9．BC
【分析】由不等式的性质求解即可.
【详解】因为，两式相加可得，所以，
故选：BC．
10．BCD
【分析】利用充分条件、必要条件的定义结合特殊值法可判断A选项；利用存在量词命题的否定可判断B选项；利用作差法可判断C选项；利用函数对称性的定义可判断D选项.
【详解】对于A选项，若，如取，，则，但，即“”“”，
若，如取，，则，但，即“”“”，
所以，“”是“”的既不充分也不必要条件，A错；
对于B选项，命题“，”的否定是“，”，B对；
对于C选项，若，则，，
则，
所以，，C对；
对于D选项，若关于点中心对称，则，D对.
故选：BCD.
11．BCD
【分析】根据新函数定义，结合各项描述判断正误即可.
【详解】由，故，且的定义城为，A错、B对；
对于，或0，故，C对；
由于正负有理数、无理数在原点两侧对称分布，所以对应关于y轴对称，D对.
故选：BCD
12．ABD
【分析】根据定义分别讨论是否满足“倍值区间”的两个条件，即可得出结论.
【详解】解：根据题意，函数中存在“倍值区间”，则满足f（x）在内是单调函数，其次有或，依次分析选项：
对于A，，在区间上，是增函数，其值域为，则区间是函数的“倍值区间”，
对于B，f（x）＝，在区间上，是减函数，其值域为，则区间是函数的“倍值区间”，
对于C，f（x）＝x+，当x＞0时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
若函数存在倍值区间，则有或，
对于，有，解可得m＝n＝1，不符合题意，
对于，，变形可得且，必有，不符合题意，故不存在倍值区间，C错误.
对于D，f（x）＝，在区间上，有，
则是增函数，且其值域为，
则区间是函数的“倍值区间”，
故选：ABD．
13．
【分析】利用给定的单调区间及单调性，结合二次函数性质求解作答.
【详解】函数的单调递增区间是，依题意得：，
所以实数的取值范围为.
故
14．3
【分析】由题意可得，且在上递减，上递增，然后由可求得答案.
【详解】因为，当且仅当时取等号，
所以若，的值域为，则，
因为的图象是开口向上的抛物线，
所以在上递减，上递增，
因为，
所以，即，解得或（舍去），
故3
15．
【分析】根据分段函数的知识求得正确答案.
【详解】，.
故
16．201.（答案不唯一，在开区间中任取一个实数作为答案即可）
【分析】设购买的商品的标价为元，根据题意列出不等式即可得到答案．
【详解】设购买的商品的标价为元，，
使用优惠券1时减免元；使用优惠券2时减免20元；使用优惠券3时减免元，
由题意，且，解得．
故201.（答案不唯一，在开区间中任取一个实数作为答案即可）
17．(1)，或
(2)
【分析】（1）解不等式得集合，再由交，并，补集的定义即可求解；
（2）若是的充分不必要条件，则，列出不等式求解即可.
【详解】（1），
当时，，
所以；
又因为或，或；
（2）因为是的充分不必要条件，
所以，所以，
解得.
18．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由函数值列方程组求解；
（2）根据单调性的定义证明．
【详解】（1）因为，，
所以，解得，所以
（2），，
*
因为，
所以，所以
又因为，所以，即
所以在上单调递增.
（*：也可写成：，
因为，，所以，即）
19．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）在等式中，令，可求得的值；
（2）、，，可得出，然后利用函数单调性的定义证证明即可；
（3）由（2）中的结论可得出，解之即可.
【详解】（1）解：令，得到，解得.
（2）解：、，，则，所以，，
则
，即，
所以是上的增函数.
（3）解：因为是上的增函数，且，所以，解得.
因此，实数的取值范围是.
20．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）由的解的大小分类讨论可得；
（2）由时，可得，为此利用轴动定区间法分类讨论求最小值．
【详解】（1）令，解得，
①当时，，开口朝上，；
②当时，，开口朝上，不等式无解；
③当时，，开口朝上，；
综上，
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为
（2）在上恒成立，二次函数对称轴是，
1.，解得
2.，解得
3.，无解
综上，
21．（1）；（2）67元；（3）第一季度共用电330千瓦时.
（1）根据“阶梯电价”方法计算电价，可得分段函数；
（2）由代入，可得结论；
（3）分别计算3个月用电，可得结论．
【详解】解：（1）由题意得，当时，；
当时，．
所以关于的函数关系式为．
（2）已知，结合（1）得，即应交电费67元．
（3）1月用电：因为，所以，由得；
2月用电：因为，所以，由得；
3月用电：因为，所以，由得．
所以（千瓦时），即第一季度共用电330千瓦时
本题考查利用数学知识解决实际问题，考查分段函数，确定函数解析式是关键．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）分、两种情况讨论，分析函数在上的单调性，可得出该函数在区间上的最大值和最小值，结合已知条件可求出的值；
（2）令，则，设，对实数的取值进行分类讨论，分析二次函数在区间上的单调性，即可得出的表达式；
（3）计算出的值，即可求得的值.
【详解】（1）解：①当时，在上单调递减，
函数在上的最大值为，最小值为；
②当时，在上单调递增，
函数在上的最大值为，最小值为.
所以，解得（舍去）.
（2）解：求在上的最大值，
令，则，设，
二次函数对称轴为直线.
①当时，即当时，函数在上单调递增，
则；
②当时，即当时，
函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，
此时，；
③当时，即当时，函数在上单调递减，
此时，.
综上所述，.
（3）解：因为，则
，
所以，，…，
所以.