2023-2024学年内蒙古自治区通辽市高三上学期第二次月考数学（文）模拟试题（含解析）

这是一份2023-2024学年内蒙古自治区通辽市高三上学期第二次月考数学（文）模拟试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（共12题，每题5分，共60分）
1．已知全集，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．复数，则对应点在第几象限（ ）
A．四B．三C．二D．一
3．设平面向量，，且，则=（ ）
A．1B．14C． D．
4．在中，角所对的边长分别为.若，则（ ）
A．B．C．或D．或
5．已知向量，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
6．在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人分十七，要作第八数来言”．题意是把996斤绵分给8个儿子做盘缠．按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多分17斤绵．则年龄最小的儿子分到的绵是（ ）
A．65斤B．82斤C．184斤D．201斤
7．为了得到函数的图象，只需将函数的图象上各点（ ）．
A．横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变
C．纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变
8．下列函数既是奇函数，又在上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
9．已知椭圆的离心率为，是的两个焦点，为上一点，若的周长为，则椭圆的焦距为（ ）
A．B．C．D．
10．已知椭圆C过点，且离心率为，则椭圆C的标准方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
11．已知的三内角、、所对的边分别是、、，设向量，，若，且满足，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形B．等边三角形
C．钝角三角形D．直角非等腰三角形
12．在等比数列中，，是方程的两根，则（ ）
A．B．C．或D．
二、填空题（共4题，共20分）
13．已知，且与垂直，与的夹角为，则| .
14．已知椭圆的焦点在轴上，若椭圆的焦距为4，则的值为 ．
15．在等差数列中，若，则 .
16．等比数列的公比，前n项和为，，，则 ．
三、解答题（共6题，第17-21题每题12分，第22题10分,共70分）
17．已知是等差数列的前项和，且.
(1)求数列的通项公式与前项和；
(2)若，求数列的前项和.
18．在中，已知角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)若的面积为，且，求的周长.
19．已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，，且过点
(1)求双曲线的方程；
(2)求的面积.
20．等比数列的各项均为正数，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
21．已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求的单调区间与极值．
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)将曲线化为普通方程，将曲线化为参数方程；
(2)设曲线与曲线交于两点，求．
1．B
【分析】由集合的运算求解即可.
【详解】因为，
所以.
故选：B
2．D
【分析】利用复数运算求出复数，再根据共轭复数及几何意义即可判断选择.
【详解】因为，
则，
则对应的点，位于第一象限.
故选：D.
3．B
【分析】根据，求出把两边平方，可求得，把所求展开即可求解.
【详解】因为，所以又，
则
所以，
则
，
故选：
4．D
【分析】直接利用正弦定理即可得解.
【详解】因为，则，所以，
由正弦定理得，
所以，
所以或.
故选：D.
5．C
【分析】直接利用投影向量的公式，即可求得本题答案.
【详解】因为，，所以，
所以，
因为与方向相同的单位向量为，
所以在上的投影向量为．
故选：C
6．C
【分析】首先根据题意设个儿子按年龄从小到大依次分绵斤，斤，斤，…，斤，从而得到数列为公差为的等差数列，再根据求解即可.
【详解】设个儿子按年龄从小到大依次分绵斤，斤，斤，…，斤，
则数列为公差为的等差数列.
因为绵的总数为斤，
所以，解得.
故选：C.
7．D
【分析】由对图象的影响可得.
【详解】先将函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，
横坐标不变，得到函数的图象，
再将函数的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，
横坐标不变，得到函数的图象，
即将函数的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，
横坐标不变，得到函数的图象，
故选：D.
8．D
【分析】利用定义法分别判断各选项的奇偶性，并利用导数判断单调性.
【详解】A选项：，则，为偶函数，A选项错误；
B选项：，则，为偶函数，B选项错误；
C选项：，，为奇函数，又，令，解得，所以函数在和单调递增，在上单调递减，C选项错误；
D选项：，，为奇函数，又恒成立，所以函数在上单调递增，D选项正确；
故选：D.
9．A
【分析】由椭圆的离心率和焦点三角形的周长，列方程组求，可得椭圆的焦距.
【详解】设椭圆方程为，依题意可知，，
解得，所以椭圆的焦距为.
故选：A
10．D
【分析】就焦点的位置分类讨论后结合基本量的关系可求标准方程.
【详解】若焦点在x轴上，则．由，得，所以，
此时椭圆C的标准方程为．
若焦点在y轴上，则．由，得，
此时椭圆C的标准方程为．
综上所述，椭圆C的标准方程为或．
故选：D.
11．B
【分析】利用平面向量平行的条件得，再根据题设条件利用正弦定理的边角互化、和角公式确定两边、的关系以及角的大小，运算即可得解.
【详解】解：由题意，向量，，，
则，可得：，即.
又由，可得，
即，
∵，∴，∴可解得：，
∵，∴，又∵，∴，
∴是等边三角形.
故选：B.
12．A
【分析】首先求得的关系式，由此计算出，从而求得.
【详解】由于，是方程的两根，
所以，
由于，所以为正数，所以.
所以.
故选：A
13．
【分析】根据题意得到，即可得到答案.
【详解】因为与垂直，所以，
解得.
故
14．
【分析】首先将椭圆方程化为标准式，即可得到、，根据焦距求出.
【详解】椭圆即，焦点在轴上，所以，
所以，又椭圆的焦距为4，所以，解得．
故
15．
【分析】根据等差中项的性质可求得的值.
【详解】在等差数列中，，
解得.
故答案为.
16．31
【分析】根据等比数列通项公式基本量计算出公比，进而利用等比数列求和公式计算即可.
【详解】由题意得，解得或，
因为，所以，故.
故31
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，进而根据公式即可求解，
（2）根据当时，，；当时，，，即可分类求解，结合等差数列求和公式即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得.
所以数列的通项公式为，
数列的前项和.
（2）由得，所以当时，，；
由得，所以当时，，.
所以，当时，；
当时，
.
所以，.
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式化简得到，即可得到；
（2）根据三角形面积公式和余弦定理列方程得到，，然后借助完全平方公式得到，即可求三角形周长.
【详解】（1）由，可得，
解得或（舍去），
又，
.
（2），
，
由得，
又由余弦定理得，，
解得，
的周长为.
19．(1)；
(2).
【分析】（1）利用双曲线参数关系及点在双曲线上列方程求，即得方程；
（2）根据所得双曲线方程确定，且到轴距离为，结合三角形面积公式求面积即可.
【详解】（1）由且，则，
又点在双曲线上，则，
综上，，即双曲线的方程为.
（2）由（1）知：，而到轴距离为，
所以的面积为.
20．（1）；（2）.
【分析】（1）根据等比数列的通项公式，结合等比数列的下标性质进行求解即可；
（2）利用错位相减法进行求解即可.
【详解】解：（1）设数列的公比为，
则，由
得：，所以.
由，得到
所以数列的通项公式为.
（2）由条件知，
又
将以上两式相减得
所以.
21．(1)
(2)极小值为，无极大值．
【分析】（1）由导数的几何意义求出斜率，利用点斜式写出直线方程；
（2）求出导数方程的根，再讨论根左右的单调性得出结果.
【详解】（1）依题意，，．
，，
故所求切线方程为，即．
（2）令，解得，
故当时，，当时，，
故的单调递减区间为，单调递增区间为，
则的极小值为，无极大值．
22．(1)化为普通方程为，化为参数方程为（答案不唯一）
(2)
【分析】（1）变形后平方相加即可，利用求出曲线的直角坐标方程，再求出参数方程；
（2）联立曲线的参数方程和曲线的普通方程，利用直线参数方程中的几何意义求出答案.
【详解】（1）变形为，两边平方相加得到；
故化为普通方程为；
，又，故曲线化为直角坐标方程为，
直线的斜率为，倾斜角为，
又在上，不妨取，
此时曲线化为参数方程为，即；
（2）将与联立得，，
设两点分别对应，
则，，
故.