2023-2024学年陕西省安康市高二上学期期中数学模拟试题（含解析）

这是一份2023-2024学年陕西省安康市高二上学期期中数学模拟试题（含解析），共19页。试卷主要包含了关于圆，有下列四个命题等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知i为虚数单位，复数在复平面内对应点的坐标为，则（ ）
A．1B．2
C．D．
3．方程x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0表示圆的一个充分不必要条件是（ ）
A．k∈(﹣∞，﹣2)∪(2，+∞)B．k∈(2，+∞)
C．k∈(﹣2，2)D．k∈(0，1]
4．在正方体中，M为的中点，N为的中点，则异面直线与的夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．前三个答案都不对
5．在矩形ABCD中，，，平面ABCD，，则PC与平面ABCD所成的角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．120°
6．如图，四边形是边长为1的正方形，平面，若，则平面与平面的夹角为（ ）

A．B．C．D．
7．已知函数.关于的性质，有以下四个推断：
①的定义域是；
②是奇函数；
③在区间上单调递增；
④的值域是.
其中推断正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．关于圆，有下列四个命题：甲：圆的半径；乙：直线与圆相切；丙：圆经过点；丁：直线平分圆，如果只有一个命题是假命题，则该命题是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
二、多项选择题：本题共4小题、每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知是直线l的一个方向向量，是平面的一个法向量，则下列说法正确的是（ ）．
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．已知函数的值域为，则的定义域可以是（ ）
A．B．C．D．
11．已知直线，其中，下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线与直线垂直
B．若直线与直线平行，则
C．直线过定点
D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等
12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为圆，下列结论正确的是（ ）
A．圆的方程是
B．过点向圆引切线，两条切线的夹角为
C．过点作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为2，该直线斜率为
D．在直线上存在异于，的两点，，使得
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，若，则 ．
14．直线过点，同时满足在两坐标轴上的截距相等且不为零，则这样的直线方程为 .
15．如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，则点C到平面的距离等于 .
16．直线与曲线有且只有一个公共点，则b的取值范围是 .
四、解答题：本题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问名职工，根据这名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：
，，…，，．
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）从评分在的受访职工中，随机抽取人，求此人的评分都在的概率．
18．在平行六面体中，，.M为的中点，若.
(1)用基底表示向量；
(2)求向量的长度.
19．已知函数，
(I)求最小正周期；
(II)求在区间上的最大值和最小值.
20．如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面，且，，是的中点．
(1)求证：平而平面；
(2)求与的夹角的余弦值；
(3)求平面与平面的夹角的余弦值．
21．已知圆与轴相切，圆心点在直线上，且直线被圆所截得的线段长为.
（1）求圆的方程；
（2）若圆与轴正半轴相切，从点发出的光线经过直线反射，反射光线刚好通过圆的圆心，求反射光线所在直线的方程.
22．设椭圆过点，离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点且斜率为的直线l交椭圆C于A、B两点，求弦的长度．
1．D
【分析】利用交集的定义可求得集合.
【详解】因为集合，，则.
故选：D.
2．B
【分析】由题可得，然后利用复数的乘法运算即得.
【详解】由题可得，
∴.
故选：B.
3．D
【分析】化x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0为，
由0求得k的范围，然后逐一核对四个选项得答案.
【详解】由x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0，得，
若方程x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0表示圆，则0，即﹣2＜k＜2.
∴A，B为方程x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0表示圆的既不充分也不必要条件，C为充要条件，
而（0，1]⊂（﹣2，2），则D为充分不必要条件.
故选：D.
本题主要考查了圆的一般方程，充分条件，必要条件，属于中档题.
4．B
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量的夹角的余弦公式可求异面直线所成的角的余弦值.
【详解】如图，建立空间直角坐标系．

设．则，
因此，
于是所求夹角的余弦值为．
故选：B.
5．A
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角；
【详解】解：以点A为坐标原点，AD，AB，AP所在的直线分别为x轴,y轴、z轴，
建立空间直角坐标系，
则，，，
平面ABCD的一个法向量为，
所以．
又因为，所以，
所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在的直线所成的角为60°，
所以斜线PC与平面ABCD所成的角为30°．
故选：A
6．A
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】因为平面，且为正方形，
如图建立空间直角坐标系，则、、，
所以，，
设平面的法向量为，则，取，
又平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，则，
又，所以.
故选：A

7．D
【分析】对于①因为，所以函数的定义域为，即①正确；根据函数奇偶性定义得到函数为奇函数，故②正确；根据函数单调性的证明方法得到函数为增函数，所以③正确；当时，，再由函数为奇函数得到函数的整体值域为，，故④正确.
【详解】①因为，所以函数的定义域为，即①正确；
②，所以是奇函数，即②正确；
③任取，，且，
则，
因为，，且，所以，，所以，
即在区间上单调递增，所以③正确；
④当时，，
由②知，函数为奇函数，所以当时，，
而当时，，所以的值域是，，即④正确．
故选：D．
8．B
【分析】根据命题为真时，分别解得乙丙丁命题中的参数a的值，结合题意，如果只有一个命题是假命题，即可判断哪个命题为假命题.
【详解】圆的圆心为 ，半径为 ，
甲：圆的半径；
当乙为真命题时，则 ，解得 或 ，
则 或3；
当丙为真命题时，，解得 ，
则圆的半径为1；
当丁为真命题时，直线平分圆，则直线过圆心，
即 ，
则圆的半径为1；
故四个命题中只有一个命题是假命题时，只能是乙，
故选：B
9．AD
【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量的关系逐一判断即可.
【详解】若，则，得，得，A正确，B错误．
若，则，得，得，C错误，D正确．
故选：AD
10．AB
【分析】根据的图象求得正确答案.
【详解】画出的图象如下图所示，由解得，
的图象是函数的图象的一部分，
依题意，的值域为，
由图可知，的定义域可以是、
故选：AB
11．AC
【分析】当时，利用直线的斜率关系可判断A选项；利用两直线平行求出实数的值，可判断B选项；求出直线所过定点的坐标，可判断C选项；利用截距式方程可判断D选项.
【详解】对于A选项，当时，直线的方程为，
直线的斜率为，直线的斜率为，
因为，此时，直线与直线垂直，A对；
对于B选项，若直线与直线平行，则，解得或，B错；
对于C选项，对于直线，由可得，
所以，直线过定点，C对；
对于D选项，当时，直线的方程为，即，
此时，直线在两坐标轴上的截距不相等，D错.
故选：AC.
12．ABD
根据，，点满足，设点，求出其轨迹方程，然后再逐项运算验证.
【详解】因为，，点满足，
设点，则 ，
化简得：，即 ，故A正确；
因为，所以，则 ，解得 ，故B正确；
易知直线的斜率存在，设直线，因为圆上恰有三个点到直线距离为2，则圆心到直线的距离为： ，解得，故C错误；
假设存在异于，的两点，，则，
化简得：，因为点P的轨迹方程为：，所以解得或 （舍去），故存在 ，故D正确；
故选：ABD
关键点点睛：本题关键是根据求出点的轨迹方程，进而再根据直线与圆的位置关系求解.
13．
【分析】求出的值，利用椭圆的定义求出的值，利用余弦定理结合的取值范围可求得的大小.
【详解】在椭圆中，，，则，
由椭圆的定义可得，
在中，由余弦定理可得，
又因为，所以，.
故答案为.
14．
根据题意可设所求直线的方程为，将点的坐标代入所求直线方程，求出实数的值，即可求得所求直线的方程.
【详解】设所求直线的方程为，即，
将点的坐标代入直线的方程得，
因此，所求直线的方程为，即.
故答案为.
本题考查直线的截距式方程的求解，考查计算能力，属于基础题.
15．
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离.
【详解】
如图，建立空间直角坐标系，则，，，，
，，设平面的一个法向量为，
，即，取，又，
所以点到面的距离，
故答案为.
16．
根据图形表示当直线与半圆有一个交点时，求的取值范围.
【详解】曲线化简为 ，
所以曲线表示如图的半圆，直线表示斜率为1的平行线，
当直线与半圆只有一个公共点时，直线与半圆相切时，有一个交点，
此时，解得：，或（舍）
当直线过点时，有两个交点，此时，当直线过点时，有一个交点，此时，
根据图象可知，当直线有一个交点时，的取值范围是.
故
本题考查直线与圆相交问题，重点考查数形结合分析问题，属于基础题型，本题的关键是正确画出对应的图形.
17．（1）；（2）.
【分析】（1）根据频率直方图中各组的频率之和为1，列方程求参数a即可.
（2）由分层抽样确定名职工中、的人数，列出从中随机抽取人的可能组合，及其中人的评分都在的组合，即可求概率.
【详解】（1）由题意，，解得.
（2）由（1）知：名职工中、分别有2人、3人，
若为职工A、B，为职工1、2、3，
∴随机抽取人的可能组合、、、、、、、、、共10种，其中人的评分都在有，即1种，
∴人的评分都在的概率为
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用空间向量的运算求得.
（2）先用基底表示向量，然后利用平方的方法求得向量的长度.
【详解】（1）由题意可得
，
故.
（2）由条件得，
，
故
.
19．（Ⅰ）; （Ⅱ） ,.
【详解】（Ⅰ） 由已知，有
.
所以的最小正周期.
（Ⅱ）因为在区间上是减函数，在区间上是增函数，
，所以在区间上的最大值为，最小值为.
考点：三角恒等变形、三角函数的图象与性质.
20．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，证明出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）利用空间向量法可求得与的夹角的余弦值；
（3）利用空间向量法可求得平面与平面的夹角的余弦值.
【详解】（1）证明：因为，底面，
如图，以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则、、、、、，
则，，，
所以，，，所以，，，
又因为，、平面，所以，平面，
因为平面，因此，平面平面.
（2）解：由（1）可知，，，
所以，，
所以，与的夹角的余弦值为.
（3）解：，，，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，
设平面的法向量为，则，
取，可得，
所以，，
故平面与平面的夹角的余弦值为.
21．（1）圆或；（2）.
【分析】（1）设圆，根据已知条件可构造方程组求得，分别在和两种情况下求得结果；
（2）根据点关于直线对称点的求法可求得点关于的对称点，利用两点连线斜率公式可求得反射光线所在直线斜率，由此可得直线方程.
【详解】（1）设圆，
由题意得：…①，…②，…③，
由①得，则，代入③得：；
当时，，，圆；
当时，，圆；
综上所述：圆或.
（2）圆与轴正半轴相切，圆，
设关于的对称点，
则，解得：，，
反射光线所在直线的斜率，
反射光线所在直线方程为：，即.
方法点睛：求解点关于直线的对称点的基本方法如下：
①与连线与直线垂直，即；
②中点在直线上，即；
③与到直线的距离相等，即；
上述三个等量关系中任选两个构成方程组，即可求得对称点坐标.
22．(1)
(2)
【分析】（1）依题意求出，再由离心率及，求出，即可求出椭圆方程；
（2）首先求出直线的方程，设直线与的交点为，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，再利用弦长公式求出弦长；
【详解】（1）解：将点代入椭圆的方程得，所以．
又由，得，即，所以．
所以椭圆C的方程为．
（2）解：过点且斜率为的直线方程为，
设直线与的交点为，，
联立方程，消去得，
得，．
由弦长公式