2023-2024学年上海市黄浦区高二上学期期中数学模拟试题（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市黄浦区高二上学期期中数学模拟试题（含解析），共18页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）
1．已知一个球的半径为3，则这个球的表面积为 .
2．若平面，直线，直线，则点与的位置关系为 ．
3．若向量与向量共线，则 .
4．在正方体中，异面直线与所成角的大小是 .
5．如图所示，是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，过作轴，则的长为 ．
6．已知一个圆柱的轴截面为正方形，且它的侧面积为，则该圆柱的体积为 .
7．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PA＝1，则侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小是 ．

8．如图，在正三棱柱中，，为的中点，为线段上的点.则的最小值为

9．已知向量，,则向量在向量方向上投影向量的坐标为 ．
10．正方体的棱长为是棱的中点，则平面截该正方体所得的截面面积为 .
11．如图所示，在平行六面体中，底面为菱形，且，则侧棱与底面所成的角为 ．
12．如图,在正方体中,点在线段上运动,有下列判断:①平面平面;②平面;③异面直线与所成角的取值范围是;④三棱锥的体积不变.其中,正确的是 (把所有正确判断的序号都填上).
二、单选题（本大题共4题，每题4分，满分16分）
13．若球的表面积扩大到原来的倍，那么该球的体积扩大到原来的（ ）
A．B．C．D．
14．如图，在直三棱柱中，，，，点为棱的中点，点是棱上的一点，且，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
15．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为；过点且一个方向向量为的直线的方程为.利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
16．已知正方体的棱长为，分别为棱，上的动点，则四面体的体积最大值为（ ）

A．B．C．D．
三、解答题（本大题共5题，满分48分）
17．已知空间中的三点，，.
(1)求的面积；
(2)当与的夹角为钝角时，求k的范围．
18．已知是底面边长为1的正四棱柱，高．求：
⑴异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数表示）；
⑵四面体的体积．
19．如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD与平面CBD所成二面角为直角，平面ABD，且.
(1)求证：直线EC与平面ABD平行；
(2)求点C到平面BED的距离.
20．如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，．
(1)证明：；
(2)线段上是否存在一点，使得直线垂直平面，若存在，求出线段的长，若不存在，说明理由．
21．如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，垂直于圆所在的平面，且．
（Ⅰ）若为线段的中点，求证平面；
（Ⅱ）求三棱锥体积的最大值；
（Ⅲ）若，点在线段上，求的最小值．
1．
【分析】根据球的表面积公式求出答案.
【详解】设，则，故这个球的表面积为.
故
2．
【分析】根据基本事实3（公理2）求解即可.
【详解】因为，
所以直线，直线，
因为直线，直线，
所以平面，平面，
又平面，
所以.
故答案为.
3．##
【分析】根据向量共线基本定理，可设，列出方程组，即可求得和的值，进而求出的值.
【详解】由向量与向量平行，
可设，
则，解得，
所以.
故答案为.
4．
【分析】根据异面直线所成角定义，平移直线到使其与相交，解三角形即可．
【详解】如图，

在正方体中，
因为，所以为异面直线为与所成角，
又因为是以为直角的等腰直角三角形，所以，
即异面直线与所成角为．
故．
5．
【分析】结合已知条件利用直观图与原图之间的面积关系得到的面积，进而得到.
【详解】因为，，
所以，即.
故答案为.
6．
【分析】设圆柱底面的半径为，高为，根据题意，由求解.
【详解】解：设圆柱底面的半径为，高为，
则，解得，
所以圆柱的体积.
故选：
7．45°
【分析】由题意可证得CD⊥平面PAD，从而∠PDA为侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的平面角，求解即可.
【详解】因为底面ABCD是边长为1的正方形，所以AD⊥CD，
又因为PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，所以PA⊥CD，
因为PA∩AD＝A，PA、AD在面PAD内，所以CD⊥平面PAD，
又因为PD⊂平面PAD，所以CD⊥PD，
于是∠PDA为侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的平面角，
因为PA⊥底面ABCD，AD⊂底面ABCD，PA⊥AD，
又因为PA＝1，AD＝1，所以∠PDA＝45°，
于是侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小为45°．
故45°．
8．
【分析】将侧面沿展开，使得侧面与侧面在同一平面内，根据平面上两点间线段最短可求得答案.
【详解】
解：将侧面沿展开，使得侧面与侧面在同一平面内，
如图，连接交于，则的最小值为此时的，
，
的最小值为.
故答案为.
9．
【分析】根据投影向量的定义即可求解.
【详解】向量在向量方向上投影向量为，
故
10．
【分析】利用平面的性质作出截面，然后求解面积即可.
【详解】如图所示，

设为的中点，连接，设为的中点，连接，
由且，得是平行四边形，则且，
又且，得且，则共面，
故平面截该正方体所得的截面为.
又正方体的棱长为，
所以，
故的面积为.
故
11．
【分析】运用平行六面体的性质和三余弦定理即可求得.
【详解】
如图，连接作平面于点,于点，于点,
连接则易得：平面平面故有，,
又由可得：从而有因底面为菱形，
故可得：故点必在直线上,且侧棱与底面所成的角为
在中，在中，在中，
故可得：而解得
故得：
故
12．①②④
根据线面关系,逐项判断,即可求得答案.
【详解】对于①,在正方体中,平面,平面,
平面平面,故①正确;
对于②,连接,如图:
容易证明平面//平面,
又平面,
∥平面,故②正确;
对于③,∥,
异面直线与所成的角就是直线与所成的角,
在中,易知所求角的范围是,故③错误;
对于④,
点到平面的距离不变,且的面积不变,
三棱锥的体积不变,故④正确.
综上所述,正确的是①②④.
故答案为:①②④.
本题主要考查线线、线面、面面的平行与垂直关系,异面直线所成的角,三棱锥的体积等知识,解题关键是掌握正方体的特征和数形结合,考查了分析能力和空间想象能力,属于中档题.
13．D
【分析】由球的表面积和体积公式可知，球的表面积之比为半径比的平方，体积比为半径比的立方.
【详解】设扩大前后球半径分别为，
由表面积之比为，得，
则体积之比为.
故选：D.
14．D
【分析】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与所成角的余弦值.
【详解】由，，，得，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
所以，，，，
所以，，
所以，即直线与所成角的余弦值为.
故选：D.
15．A
【分析】利用给定信息，求出平面的法向量，再利用线面角的向量求法求解即得.
【详解】因为平面的方程为，则平面的法向量可取，
而直线的方向向量为，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
故选：A
16．A
【分析】作平行辅助线，借助线面平行关系，将所求几何体体积转化为，再利用等体积法转化为即可运算求解.
【详解】过点作交于，连接，
又
，又平面，且平面，
平面，
则，
设，，则，
，
故四面体PQAD的体积
，
当时，其最大值为.
故选：A.

17．(1)；
(2).
【分析】（1）应用向量坐标表示有，，由向量夹角的坐标运算可得，再求其正弦值，应用三角形面积公式求面积；
（2）向量坐标表示得，，它们的夹角为钝角，即，即可求参数范围，注意排除向量反向共线的情况.
【详解】（1）由题设，，则，
所以，故在中，
故的面积为.
（2）由（1）知：，，且它们夹角为钝角，
所以，即，
所以，可得，
当它们反向共线，即且时，有，无解，
综上，.
18．（1）
（2）
【详解】解：⑴连，∵ ，
∴异面直线与所成角为，记，
∴ 异面直线与所成角为．
⑵连，则所求四面体的体积
．
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连接、，证明平面即可得解；
（2）在三棱锥中，利用等体积法即可求出点到平面的距离.
【详解】（1）证明：取的中点，连接、，如图，
依题意，在中，，则，
而平面与平面所成二面角为直角，即平面平面，
又平面平面，平面，于是得平面，且，
因平面，且，则有，且，
从而得四边形为平行四边形，，
又平面，平面，
则平面；
（2）解：由（1）可得平面，
于是得平面，，
则等腰底边上的高，，
而，设点C到平面BED的距离为d，
由得，
即，解得，
所以点C到平面BED的距离为1 .
20．(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）由线面垂直得线线垂直，再由底面上的，可得平面，从而证得线线垂直；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法表示线面垂直，求得，得其长度．
【详解】（1）证明：∵在四棱锥中，面，面，面，∴，.
在直角梯形中，，.
又面面，,∴平面，又面，∴；
（2）由题意及（1）得，存在一点，使得直线垂直平面.
在四棱锥中，，，
以为轴建立空间直角坐标系如图所示：
根据题意可得：，
∴.
根据点在线段上，∴.
设，则，
由得，得，∴，
∴.
21．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．
【详解】（Ⅰ）在中，因为，为的中点，
所以．又垂直于圆所在的平面，所以．
因为，所以平面．
（Ⅱ）因为点在圆上，
所以当时，到的距离最大，且最大值为．
又，所以面积的最大值为．
又因为三棱锥的高，故三棱锥体积的最大值为．
（Ⅲ）在中，，，所以．
同理，所以．
在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图所示．
当，，共线时，取得最小值．
又因为，，所以垂直平分，
即为中点．从而，
亦即的最小值为．
考点：1、直线和平面垂直的判定；2、三棱锥体积．