河南省南阳市方城县2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（含解析）

这是一份河南省南阳市方城县2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请将其序号填写在答题卡上．每小题3分，共30分．）
1．9的平方根是（ ）
A．3B．81C．D．
2．下列实数中，是无理数的是（ ）
A．B．C．D．3.14
3．下列计算正确的是( )
A． B． C．D．
4．对假命题“若”举一个反例，符合要求的反例是（ ）
A．B． C． D．
5．如图，已知，，且，证明所用的判定方法为（ ）
A．SSSB．HLC．AASD．SAS
6．下列各数，在与之间的是（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．下列因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，已知网格图由4个相同的正方形组成，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，．若，，则的长为（ ）

A．B．C．2D．1
10．如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠PAH的度数（ ）
A．随着θ的增大而增大
B．随着θ的增大而减小
C．不变
D．随着θ的增大，先增大后减小
二、填空题（每小题3分，共15分．）
11．计算： ．
12．命题全等三角形的对应角相等改写成如果…那么…的形式是 ．
13．如图，点A、B、D、E在同一条直线上，，，要使，请添加一个条件： （只需填一个即可）．
14．填上合适的式子，使等式成立：( )
15．如图，已知，，作第一个等边三角形，使点在射线上，使在射线上，顺次作第二个等边三角形，则第个等边三角形的边长是 ．
三、解答题（本题含8个小题，共75分．）
16．计算：
(1)；
(2)．
17．如图，在中，为的中点，过点分别作于点于点，且．
(1)求证：；
(2)若，求证：是等边三角形．
18．给出下列三个多项式，请你把其中任意两个多项式进行加法运算（写出所有可能的结果），并把每个结果因式分解．
①；②；③．
19．求证：全等三角形对应角的平分线相等．
我们在证明文字命题时，通常应遵循这样的步骤：（按要求填空，写出证明过程）
(1)要弄清命题的条件和结论，那么这个命题的
条件是：_________________________________，
结论是：_________________________________．
(2)结合命题的条件和结论，画出符合题意的图形，如图所示；
(3)结合所画图形和这个命题的条件和结论写出已知和求证，并进行证明．
已知：如图，①____________，线段分别是和的角平分线．
求证：②______．
证明：（要求：证明时写清每一步推理的依据．）
20．先化简，再求值：，其中．
21．如图，在中，，为延长线上一点，且交于点．

(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，，为中点，求的长．
22．现有甲、乙、丙三种卡片各若干张，其中甲、丙为正方形卡片，乙为长方形卡片，卡片的边长如图1所示（）．某同学分别用6张卡片拼出了两个长方形（不重叠无缝隙），如图2和图3，其面积分别为．
(1)①请用含的式子分别表示，即______，______；
②当时，求的值；
(2)比较与的大小，并说明理由．
23．八年级上册学习了全等三角形及等腰三角形的判定和性质之后，为证明线段相等和角相等提供了有效的方法，下面是王老师在数学课上设计的问题，请你解答：
【原题呈现】
（1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接．求证：．
【变式应用】
（2）如图1，是的中线，若，，设，利用三角形的三边关系求得的取值范围是______．（直接写出结论，不说明理由）
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中，然后再考虑三角形的相关知识．
【类比探究】
（3）如图2，在中，为中线，为上一点，交于点，且．求证：．
答案与解析
1．C
【分析】根据称x是a的平方根，且计算即可．
【详解】∵，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了平方根的计算，熟练掌握平方根的计算方法是解题的关键．
2．A
【分析】无限不循环小数是无理数，根据定义判断．
【详解】解：，，3.14都是有理数，是无理数，
故选：A．
【点睛】此题考查了无理数的定义，正确理解无理数的定义是解题的关键．
3．C
【分析】直接利用幂的乘方、积的乘方运算法则，同底数幂的乘法运算法则、合并同类项法则分别判断得出答案．
【详解】解：A、，本选项不符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．
4．A
【分析】“若”举一个反例，则该反例该为：若．据此即可求解．
【详解】解：A：若，则；此时，符合题意．
B：若，则；此时，不符合题意．
C：若，则；此时，不符合题意．
D：若，则；此时，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查真假命题，正确理解反例的内容是解题关键．
5．B
【分析】由图形可知，根据可得出．
【详解】，，
，，
在和中，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法．熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
6．B
【分析】根据无理数的估算得到，问题得解．
【详解】∵，，
∴，，
∴，
∴在与之间的是2，
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数的估算，得出，是解答本题的关键．
7．C
【分析】本题考查因式分解，根据提公因式法与公式法因式分解，即可求解．
【详解】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C．
8．B
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余，证明得到即可求解．
【详解】解：如图，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
9．D
【分析】由已知条件判定，得到，的等腰三角形，进而得到，由等角对等边判定，则易求．
【详解】解：∵平分，，
，，
在与中，
，
，
，
是等腰三角形，
，
又，
是等腰三角形，
，
，
∵，，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键．
10．C
【分析】由旋转的性质可得BC＝BP＝BA，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，由外角的性质可求∠PAH＝135°﹣90°＝45°，即可求解．
【详解】解：∵将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，
∴BC＝BP＝BA，
∴∠BCP＝∠BPC，∠BPA＝∠BAP，
∵∠CBP+∠BCP+∠BPC＝180°，∠ABP+∠BAP+∠BPA＝180°，∠ABP+∠CBP＝90°，
∴∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，
∵∠CPA＝∠AHC+∠PAH＝135°，
∴∠PAH＝135°﹣90°＝45°，
∴∠PAH的度数是定值，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
11．
【分析】根据立方根的定义进行计算，即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的性质是解题关键．
12．如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等．
【分析】根据如果的后面是条件，那么的后面是结论，即可求解．
【详解】∵原命题的条件是：两个三角形是全等三角形，结论是：对应角相等，
∴命题“全等三角形的对应角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等．
故答案为：如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等．
【点睛】本题主要考查了命题的“如果…那么…”形式，解题的关键是熟练掌握如果的后面是条件，那么的后面是结论．
13．（或或等，答案不唯一）
【分析】本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质，根据平行线的性质得，再根据全等三角形的判定及可求解，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
【详解】解：①若添加，
，
，，
，
②，
，
若添加，
，
，
③，
，
若添加，
，
，
，
故答案为：，（或或等，答案不唯一）．
14．
【分析】本题考查了整式的乘法运算，计算即可求解．
【详解】解：∵
故答案为：
15．
【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形的外角性质和等腰三角形的判定等知识，根据等边三角形的性质和三角形的外角性质可得出，得到，进而得到第一个等边三角形的边长是，，，同理得到第二个等边三角形的边长是，第三个等边三角形的边长是 ，进而求解，熟练掌握相关图形的性质定理、得出规律是解题的关键．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴第一个等边三角形的边长是，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴第二个等边三角形的边长是，
∴，
同理可得第三个等边三角形的边长是，
以此照推，第七个等边三角形的边长是，
故答案为：．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，掌握立方根，绝对值，算术平方根，平方差公式，单项式乘以多项式法则是解答本题的关键．
（1）先算立方根，绝对值，算术平方根，然后根据有理数的加减运算，得到答案．
（2）先利用平方差公式，单项式乘以多项式法则，将括号展开，然后合并同类项，得到答案．
【详解】（1）解：
（2）
17．(1)证明详见解析；
(2)证明详见解析．
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握证明三角形全等是解本题的关键；
（1）先证明，再利用证明即可；
（2）由全等三角形的性质可得，可得，再证明，即可得到结论．
【详解】（1）证明：为的中点
，
，
，
和都是直角三角形，
在和中，
；
（2）由（1）知，
，
，
在中，
，
，
是等边三角形．
18．详见解析．
【分析】本题主要考查了整式加减，因式分解，先合并同类项，再提取公因式或利用公式法分解即可．
【详解】解：①+②，得；
；
①+③，得；
；
②+③，得．
．
19．(1)条件是：两条线段是全等三角形的对应角的平分线，结论是：这两条线段相等；
(2)图形详见解析；
(3)①，；②．证明详见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据命题写出条件和结论即可；
（2）根据题意画出两个全等三角形，并画出一组对应角的角平分线即可；
（3）结合图形写出已知、求证，根据全等三角形对应边相等、对应角相等，，又是和的平分线，所以，根据角边角判定定理可得，所以．
【详解】（1）解：条件是：两条线段是全等三角形的对应角的平分线，
结论是：这两条线段相等；
故答案是：两条线段是全等三角形的对应角的平分线；这两条线段相等；
（2）解：如图所示；
；
（3）解：已知：如图，①，线段分别是和的角平分线．
求证：②．
证明：（已知）
（全等三角形的对应边相等）
（全等三角形的对应角相等）
分别是的和的的平分线（已知）
，
（角平分线的定义）
（等量代换）
在和中，，
（全等三角形的对应边相等）
①；；②．（证明详见解析）
20．；．
【分析】本题考查的是整式的混合运算，乘法公式的应用，熟记乘法公式与多项式除以单项式的运算法则是解本题的关键；本题先去括号，再合并同类项，最后计算多项式的除法运算，再把代入化简后的代数式计算即可．
【详解】解：
；
当时，
原式．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可求得，结合，，可求得，结合，即可证得结论．
（2）过点作的垂线，交于点，可证得，据此即可求得答案．
【详解】（1）∵，
∴．
∵，
∴．
∴，．
∴．
又，
∴．
∴是等腰三角形．
（2）如图所示，过点作的垂线，交于点．

∵是等腰三角形，，
∴．
∵为的中点，
∴．
在和中
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及判定、全等三角形的性质及判定，牢记等腰三角形的性质及判定方法、全等三角形的性质及判定方法是解题的关键．
22．(1)①，；②；
(2)，理由详见解析．
【分析】本题考查多项式乘多项式与图形面积问题．
（1）①根据已知图形，确定长方形的长和宽，利用面积公式列式计算即可；②求出，将代入计算即可；
（2）作差法比较与的大小即可．
解题的关键是正确的识图，列出代数式．
【详解】（1）解：①，，
②当时，；
（2），
理由：，
，
，
，
，
．
23．（1）证明详见解析；（2）；（3）证明详见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形的三边关系、等腰三角形的判定及性质、平行线的判定及性质：
（1）利用中线的性质及可证，进而可得，进而可求证结论；
（2）由（1）知，则，利用三角形的三边关系即可求解；
（3）延长至点，使，利用证得，进而可得，，再利用等腰三角形的判定及性质即可求解；
熟练掌握相关判定及性质是解题的关键．
【详解】解：（1）证明：是的中线，
，
在和中，
，
，
，
．
（2）由（1）知，则，在中，，，根据三角形的三边关系可得：，解得，
的取值范围是：．
（3）证明：延长至点，使，如图：
是的中线，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，即，
又，
，
，
，
．