河南省南阳市唐河县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析）

这是一份河南省南阳市唐河县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．在二次根式①，②，③，④中，是同类二次根式的是（ ）
A．①和③B．②和③C．①和④D．③和④
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
4．下列各组线段中，能成比例的是（ ）
A．1cm，3cm，4cm，6cmB．30cm，12cm，0.8cm，0.2cm
C．0.1cm，0.2cm，0.3cm，0.4cmD．12cm，16cm，45cm，60cm
5．方程2x（x﹣3）=5（x﹣3）的根是（ ）
A．x=B．x=3C．x1=，x2=3D．x1=﹣，x2=3
6．用四张一样大小的长方形纸片拼成一个如图所示的正方形，它的面积是75，，图中空白的地方是一个正方形，那么这个小正方形的周长为（ ）
A．B．C．D．
7．数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高．课外活动时他们在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影子是0.9米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处，他们测得落在地面的影长为1.1米，台阶总的高度为1.0米，台阶水平总宽度为1.6米．则树高为（ ）
A．3.0mB．4.0mC．5.0mD．6.0m
8．如图，在四边形中，，，，点，分别是边，上的动点（含端点，但点不与点重合），点，分别是线段，的中点，则线段长度的最大值为（ ）
A．2B．C．1D．
9．菱形周长为20，对角线交于点O，，点E在上，，交于点F，则的长为（ ）
A．3B．C．5D．
10．已知在中，，则下列选项中阴影部分的三角形与原不相似的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若，，则a的值为 ．
12．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简： ．

13．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB＝ 米．
14．如图（1），在宽为，长为的矩形耕地上修建同样宽的三条道路，把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田，若试验田面积为，求道路宽为多少？设宽为，从图（2）的思考方式出发列出的方程是 ．

15．如图，在矩形中，，，F为中点，P是线段上一点，设，连结并将它绕点P顺时针旋转90°得到线段，连结、，则在点P从点B向点C的运动过程中，有下面四个结论：①当时，；②点E到边的距离为m；③直线一定经过点；④的最小值为．其中结论正确的是 ．（填序号即可）
三、解答题（本大题满分75分）
16．计算
(1)
(2)．
17．解方程
(1)
(2)．
18．华东师大版九年级上册数学课本67页有这样一道练习题：
(1)动手实践：张老师在上课时，发现这道题是个很好的素材，可以帮助同学们回忆基本尺规作图：“过直线外一点作已知直线的垂线”，据此可以作边上的高，于是发动同学们在练习本上进行作图．现在请你利用尺规作图作边上的高（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)独立思考：你发现图中存在________对相似三角形，请写出来________．
(3)习题反思：爱思考的小明利用探究出来的相似三角形，可以写出下列三个结论：
①，②，③．
（Ⅰ）请你按照小明的思路，选择①、②、③中的一个进行证明；
（Ⅱ）小亮研究“小明的发现”时，又惊喜地发现：竟然可以利用“它”来证明“勾股定理”，请你按照小亮的思路完成这个证明．
19．先阅读材料，然后回答问题．
在进行二次根式化同时，我们有时会遇到形如，，的式子，其实我们还可以将其进一步化简：①；②；③．
以上这种化简的方法叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
④
(1)请用不同的方法化简．
(2)化简：．
20．荆州城徽“金凤腾飞”立于古城东门外．如图，某校学生测量其高AB（含底座），先在点C处用测角仪测得其顶端A的仰角为32°，再由点C向城徽走6.6m到E处，测得顶端A的仰角为45°，已知B，E，C三点在同一直线上，测角仪离地面的高度CD＝EF＝1.5m，求城徽的高AB．（参考数据：，，）
21．超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
(1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．
(2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？
22．如图，在平面直角坐标系中，已知厘米，厘米．点P从点B开始沿BA边向终点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点A开始沿AO边向终点O以1厘米/秒的速度移动，一个点到达终点，另外一点随之停止．若P、Q同时出发运动时间为．
(1)t为何值时，与相似？
(2)当t为何值时，的面积为？
23．（1）问题
如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：．
（2）探究
若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．
答案与解析
1．C
【分析】将题中四个数分别化成最简二次根式，再结合同类二次根式的定义解题即可．
【详解】①；②；③；④中，
是同类二次根式的是①④．
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的化简、分母有理化、同类二次根式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
2．D
【分析】根据二次根式混合运算、二次根式的性质逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的乘除法运算，正确的计算是解题的关键．
3．A
【分析】对于，当, 方程有两个不相等的实根，当, 方程有两个相等的实根，, 方程没有实根，根据原理作答即可．
【详解】解：∵，
∴，
所以原方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
4．D
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案
【详解】A、1×6≠3×4，故错误；
B、30×0.2≠12×0.8，故错误；
C、0.1×0.4≠0.2×0.3，故错误；
D、12×60=16×45，故正确．
故选D．
【点睛】比例线段
5．C
【分析】通过因式分解法求解方程即可；
【详解】，
，
，
或，
，．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，准确计算是解题的关键．
6．B
【分析】由正方形的面积为75，解得正方形的边长，即一个小长方形的长与宽的和，减去，得到宽的值，据此解得小长方形的长，再解出小正方形的边长即可解题．
【详解】解：根据题意得，
小正方形的边长为：
这个小正方形的周长为，
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
7．B
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比例列式计算即可．
【详解】根据同一时刻物高与影长成正比例可得，如图，
∴＝．
∴AD＝3．
∴AB＝AD+DB＝3+1＝4．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解，加上DB的长即可．解此题的关键是找到各部分以及与其对应的影长．
8．C
【分析】根据三角形的中位线定理得出，从而可知最大时，最大，因为与重合时最大，此时根据勾股定理求得，从而求得的最大值为1．
【详解】解：∵点，分别是线段，的中点，
∴，，
∴，
∴最大时，最大，
∵与重合时最大，
此时，
∴的最大值为1，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．
9．A
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，先根据菱形的性质和勾股定理求出，则，再证明，进一步证明，利用相似三角形的性质推出，则．
【详解】解：∵菱形周长为20，对角线交于点O，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选A．
10．B
【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．
【详解】解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项A不符合题意；
B、两边对应成比例，而夹角不一定相等，不能证明阴影部分的三角形与原相似，故选项B符合题意；
C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项C不符合题意；
D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
11．4
【分析】设辅助未知数，根据比例的性质求出辅助未知数，进而求出答案．
【详解】解：设，则a=2k，b=3k，c=4k，
∵a+b+c=18，即2k+3k+4k=18，
∴k=2，
∴a=2k=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了比例的性质，设辅助未知数是常用的方法．
12．
【分析】本题考查了数轴和二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先根据数轴的性质可得，，从而可得，，，再根据二次根式的性质化简即可得．
【详解】解：由数轴可知，，，
则，，，
所以
．
故答案为：
13．6
【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似解答．
【详解】解：∵ ，
当王华在CG处时，Rt△DCG∽Rt△DBA，即＝，
当王华在EH处时，Rt△FEH∽Rt△FBA，即，
∴＝，
∵CG＝EH＝1.5米，CD＝1米，CE＝3米，EF＝2米，
设AB＝x，BC＝y，
∴，即，即2（y+1）＝y+5，
解得：y＝3，
则，
解得，x＝6米．
即路灯A的高度AB＝6米．
【点睛】本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组相似三角形中有一组公共边，利用其作为相等关系求出所需要的线段，再求公共边的长度．
14．
【分析】本题主要考查了一元二次方程在几何图形中的应用，根据题意可知小路的面积等于长为，宽为的矩形面积加上长为，宽为的矩形面积，再根据试验田面积为，建立方程即可．
【详解】解；设宽为，
由题意得，，
故答案为：．
15．②③④
【分析】①当在点的右边时，得出即可判断；
②证明出即可判断；
③根据为等腰直角三角形，得出都是等腰直角三角形，得到即可判断；
④当时，有最小值，计算即可．
【详解】解：，
为等腰直角三角形，
，
当在点的左边时，
，
当在点的右边时，
，
故①错误；
过点作，
在和中，
根据旋转的性质得：，
，
，
，
，
故②正确；
由①中得知为等腰直角三角形，
，
也是等腰直角三角形，
过点，
不管P在上怎么运动，
得到都是等腰直角三角形，
，
即直线一定经过点，
故③正确；
是等腰直角三角形，
当时，有最小值，
，
为等腰直角三角形，
，
，
由勾股定理：
，
，
故④正确；
故答案是：②③④．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形，解题的关键是灵活运用这些性质进行推理．
16．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，特殊角三角函数值的混合计算， 熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）先化简二次根式，再分母有理数，进一步根据平方差公式和完全平方公式去括号，最后计算加减法即可；
（2）先求出特殊角三角函数值，再根据二次根式的混合计算法则求解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
17．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）先移项，然后利用因式分解法解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可．
【详解】（1）解：∵
∴，
∴，
∴或，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得．
18．(1)见解析
(2)三，
(3)（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析
【分析】（1）利用基本作图，过点作的垂线即可；；
（2）利用相似三角形的性质即可证明；
（3）利用（1）中结论，可得，推出；
【详解】（1）解：如图所示：即为所求；
（2）∵，，
∴，
∴，且，
∴，
在和中，，，
∴，
同理可得，
∴图中所有相似的三角形有：，，；
故答案为：三，（或、、）
（3）（Ⅰ）若选①进行证明．
证明：∵
∴，
∴．
若选②进行证明．
∵
∴
∴．
若选③进行证明．
∵
∴
∴．
（Ⅱ）证明：∵
∴
∴
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质及尺规作图，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
19．(1)方法见解析，结果为
(2)
【分析】本题主要考查了分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键．
（1）仿照题意进行分母有理化即可；
（2）先根据分母有理化的方法推出，再把所求式子按照上述形式进行裂项，然后合并化简即可．
【详解】（1）解：
；
；
（2）解：
，
∴
．
20．城徽的高AB约为米．
【分析】如图，延长DF交AB于M，由题意可得： 所以四边形BMFE，四边形EFCD，四边形BMDC都为矩形；设再表示 再利用锐角的正切建立方程，解方程即可．
【详解】解：如图，延长DF交AB于M，由题意可得：
所以四边形BMFE，四边形EFCD，四边形BMDC都为矩形；
设 而

由

解得： 经检验符合题意，
所以
答：城徽的高AB约为米．
【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
21．(1)四、五这两个月的月平均增长百分率为
(2)当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元
【分析】（1）设四、五这两个月的月平均增长率为x，利用“五月的销售量=三月的销售量×(1+平均增长率）²”，即可得出关于x的一元二次方程，解出x即可求解．
（2）设商品降价y元，则每件获利元，月销量为件，利用“月销售利润=每件销售利润×月销售量”，即可得出关于y的一元二次方程，解出y即可求解．
【详解】（1）解：设平均增长率为，
由题意得：，
解得：或（舍）；
∴四、五这两个月的月平均增长百分率为；
（2）解：设降价元，
由题意得：，
整理得：，
解得：或（舍）；
∴当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用——平均增长率问题和销售问题 ，解题的关键是熟练掌握起始量、终止量、增长次数、增长率的关系，销售量、利润、进价、售价之间的关系，正确列出一元二次方程．
22．(1)
(2)t=5-时，的面积为
【分析】（1）勾股定理求出AB=10，分两种情况：当PQ⊥AO，△APQ∽△ABO时，当PQ⊥AB，△APQ∽△AOB时，利用相似三角形的性质求出t即可；
（2）过P作PC⊥OA于C，由PC∥BO证得△ACP∽△AOB，得到，列得，求出CP=，根据的面积为，求出t即可．
【详解】（1）解：∵OA=6，OB=8，
∴AB=，
由题意得AQ=BP=t，则AP=10-t，
当PQ⊥AO，△APQ∽△ABO时，
∴，
∴，解得t=；
当PQ⊥AB，△APQ∽△AOB时，
∴，
∴，解得t=>6，舍去，
∴当t=时，与相似；
（2）过P作PC⊥OA于C，则PC∥BO，
∴△ACP∽△AOB，
∴，
∴，解得CP=，
∵的面积为，
∴8，
整理得t2-10t+20=0，
解得t=5+>6（舍去）或t=5-，
故当t=5-时，的面积为．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
23．（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5
【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可．
【详解】解：（1）证明：如图1，
，
，
，
又
，
；
（2）结论仍成立；
理由：如图2，
，
又，
，
，
，
又，
，
；
（3）,
,
,
是等腰直角三角形

是等腰直角三角形
又
即
解得．
【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造角将问题转化为一线三角是解题的关键．
如图，在中，，垂足为，找出图中所有的相似三角形，并说明理由．