河南省濮阳市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析）

这是一份河南省濮阳市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知一个函数图象经过（1，﹣4），（2，﹣2）两点，在自变量x的某个取值范围内，都有函数值y随x的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（ ）
A．正比例函数 B．一次函数
C．反比例函数 D．二次函数
2．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）
A．84B．336C．510D．1326
3．“爱玛电动车”商场出售甲、乙、丙三种型号的电动车，已知甲型车在第一季度的销售额占这三种车总销售额的，第二季度乙、丙两种型号车的销售额比第一季度减少了，但该商场电动车的总销售额比第一季度增加了，且甲型车的销售额比第一季度增加了，则a的值为（ ）
A．8B．6C．3D．2
4．若实数满足方程，那么的值为（ ）
A．或4B．4C．D．2或
5．如图，正方形的顶点在直线上，将直线向上平移线段的长得到直线，直线分别交，于点，．若求的周长，则只需知道( )
A．的长B．的长C．的长D．DF的长
6．已知矩形中，，，将绕点A顺时针旋转得到，且与交于点E，当点落在线段上时，则的值为（ ）
A．B．1C．D．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
7．对x，y定义一种新运算▲，规定：（其中a，b均为非零常数），例如：．已知，．则a，b的值分别是 ．
8．直线y=x+b与抛物线交于A，B两点，为坐标原点，若，则b的值是 ．
9．魏朝时期，刘徽利用下图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理．若图中，则的长为 ．

10．北京冬奥会推出的吉祥物“冰墩墩”“雪容融”深受人们的喜爱，销售火爆．某经销商以60元/个的价格购进了一批“冰墩墩”摆件，打算采取线下和线上两种方式销售，调查发现线下每周销售量y（个）与售价x（元/个）满足一次函数关系：
线下销售，每个摆件的利润不得高于进价的80%；线上售价为100元/个，供不应求．若该经销商共购进“冰墩墩”1000个，一周内全部销售完．合理分配线下和线上的销量，可使全部售完后获得的利润最大，最大利润是 元（不计其它成本）．
11．已知关于x、y的方程组的解是正数，则a的取值范围是 ．
12．在△ABC中，AH⊥BC于点H，点P从B点出发沿BC向C点运动，设线段AP的长为y，线段BP的长为x（如图1），而y关于x的函数图象如图2所示．是函数图象上的最低点．当△ABP为锐角三角形时x的取值范围为 ．
三、解答题（共4小题，13题10分，14题14分，15题14分，16题14分．满分52分）
13．一个三位正整数，将它的个位数字与百位数字交换位置，所得的新数恰好与原数相同，我们把这样的三位正整数称为“对称数”，如555，323，191都是“对称数”.
(1)请你写出2个“对称数”；
(2)嘉琪说：“任意一个‘对称数’减去其各位数字之和，所得的结果都是9的倍数.”他的说法是否正确，请说明理由.
14．某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略．部分内容如下．
每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为0.800要求清洗后的清洁度为0.990
方案一：采用一次清洗的方式．
结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为0.990．
方案二：采用两次清洗的方式．
记第一次用水量为个单位质量，第二次用水量为个单位质量，总用水量为个单位质量，两次清洗后测得的清洁度为C．记录的部分实验数据如下：
对以上实验数据进行分析，补充完成以下内容．
（Ⅰ）选出C是0.990的所有数据组，并划“√”；
（Ⅱ）通过分析（Ⅰ）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量和总用水量之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象；

结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为______个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小．
根据以上实验数据和结果，解决下列问题：
（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水约______个单位质量（结果保留小数点后一位）；
（2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度C______0.990（填“>”“=”或“<”）．
15．矩形中，E是边上的一个动点，连接，将四边形沿直线折叠后，使点A落在F处，点B落在G处．
(1)如图1，连接．求证：;
(2)如图2，连接，若，当的面积最小时，求的长；
(3)如图3，四边形是正方形，，当是直角三角形时，请你直接写出的长．
16．阅读高中课本，解答下列问题：
阅读理解本课内容后，请你完成课本后面的3个练习题（提示：练习第1题，只完成其中的（2）（5）（6））．
答案与解析
1．D
【详解】解：根据题意，可设这个函数为y=kx+b，代入（1，﹣4），（2，﹣2）
可得，解得，
由k＞0，可知y随x的增大而增大，故A、B错误；
设反比例函数y=，代入其中一点，可得k=-4＜0，
∴在每个象限，y随x的增大而增大，故C错误；
当抛物线开口向上，x＞1，y随x的增大而减小.
故选D.
2．C
【详解】解：由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为：1×73+3×72+2×7+6=510，
故选：C．
3．D
【分析】把第一季度的销售额看作单位1，根据题意可得关于a的方程式，求解可得答案．
【详解】解：把第一季度的销售额看作单位1；
则有，
解可得：；
故选：D．
【点睛】这里注意要把第一季度的销售额看作整体1．根据两种不同的表示方法表示第二季度的销售额列方程求解．
4．B
【分析】设x2＋2x＝y，则原方程化为y（y−2）−8＝0，求出y，即可得出选项．
【详解】解：设x2＋2x＝y，则原方程化为y（y−2）−8＝0，
解得：y＝4或−2，
当y＝4时，x2＋2x＝4，此时方程有解，
当y＝−2时，x2＋2x＝−2，此时方程无解，舍去，
所以x2＋2x＝4．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了运用换元法解一元二次方程，解方程时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
5．A
【分析】过作于，连接，，然后利用已知条件可以证明)，)，接着利用全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：过作于，连接，，
直线向上平移线段的长得到直线，
，
而，，
)，
，
同理)，
，
的周长为：．
求的周长，则只需知道的长．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平移的性质和全等三角形的性质和判定，同时也利用了三角形周长的定义，掌握平移的性质以及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
6．C
【分析】过作于 先求解， 再求解 可得 再求解，证明 再利用相似三角形的性质建立方程求解即可.
【详解】解：过作于
由旋转可得： 而
由题可得：，
矩形，




则，



设，
所以，
解得，经检验：不合题意，舍去，

故选C.
【点睛】本题考查的是矩形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程的解法，熟练的利用相似三角形与锐角三角函数解题是解本题的关键.
7．2，
【分析】本题考查二元一次方程组的解法，理解新运算的定义是解题关键．
【详解】解：∵，，
∴，解得，
故答案为：2，．
8．2
【分析】联立直线和抛物线方程，化为关于x的一元二次方程后利用根与系数关系求出两个交点的横纵坐标的积，由相似三角形的判定和性质转化为线段的关系，代入坐标的乘积后求解b的值．
【详解】解：设A（x1，y1）B（x2，y2）
联立方程可得
，
即x22x2b=0有两个不同于原点的解，
∴x1+x2=2，x1x2=，△=4+8b＞0，
∴；
如图：作AC⊥x轴，BD⊥x轴，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴△AOC∽△OBD，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
∴x1x2+y1y2=0，
∴x1x2+（x1+b）（x2+b）=0，
整理可得2x1x2+b（x1+x2）+b2=0，
∴b22b=0，
∴b=0（舍）或b=2；
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了直线方程与抛物线的位置关系的应用，处理直线与曲线的相交问题一般是联立方程，通过方程的解的情况来讨论直线与曲线的位置情况．
9．
【分析】，可证，从而，求得，运用勾股定理求得．
【详解】解：如图，
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理；求证相似三角形，从而求解线段是解题的关键．
10．
【分析】本题考查了二次函数的应用和待定系数法求函数解析式，关键是设出与的函数表达式为然后用待定系数法求函数解析式即可，然后根据总利润线下销售利润线上销售利润列出函数解析式找最值．
【详解】设与的函数表达式为，
则 ，
解得：，
∴与的函数表达式为 ，
当线下销量为)个时，线上销量为个,
设全部售完后获得的利润为元，根据题意得：

，
∵线下销售，每个摆件的利润不得高于进价的，
，
解得：，
∵，对称轴为，
∴当时，有最大值，最大值为元，
故答案为为：.
11．
【分析】主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，要先用字母a表示出方程组的解，然后根据方程组的解的情况得到关于a的不等式组是解答本题的关键．
【详解】解方程组得：，
∵x、y是正数，
∴，
解得：，
故答案为：．
12．1＜x＜4##4＞x＞1
【分析】根据题意得到BH、AH长度，分类讨论△ABP为直角三角形时的情况即可．
【详解】解：根据题意，AB＝2，点A到BC的距离为，即AH＝，此时P到达点H，BP＝1．
当点C与点H重合时，△ABP为直角三角形．则C在H右侧时，△ABP为锐角三角形．
当∠BAP＝90°时，
∠BAH＋∠CAH＝90°，
∵AH⊥BC，
∴∠AHB＝∠AHC＝90°，
∴∠CAH＋∠C＝90°
∴∠BAH＝∠C
∴△AHB∽△PHA，
∴，
∴AH2＝BH•HP，
∴（）2＝1•HP，
∴HP＝3，
∴BP＝4，
当△ABP为锐角三角形时，1＜x＜4，
故答案为：1＜x＜4．
【点睛】此题为动点函数图象问题，考查了函数图象最小值的实际意义以及直角三角形的分类讨论，解答关键是以△ABP为直角三角形作为临界条件解决问题．
13．(1)616，626（答案不唯一）；
(2)正确，理由见解析
【分析】（1）根据“对称数”的定义写出2个“对称数”即可；
（2）设一个对称数为，用含a，b的代数式表示出该“对称数”减去其各位数字之和，即可判断该说法是否正确．
【详解】（1）解：616，626（答案不唯一）；
（2）解：正确.
理由：设一个对称数为，即百位和个位都是a，十位是b，
由题意可得，
能被9整除，
任意一个“对称数”减去其各位数字之和，所得的结果都是9的倍数．
【点睛】本题考查整式加减的应用，解题的关键是用代数式表示出“对称数”减去其各位数字之和．
14．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析，4；（1）11.3；（2）<
【分析】（Ⅰ）直接在表格中标记即可；
（Ⅱ）根据表格中数据描点连线即可做出函数图象，再结合函数图象找到最低点，可得第一次用水量约为4个单位质量时，总用水量最小；
（1）根据表格可得，用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，计算即可；
（2）根据表格可得当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到0.990，若总用水量为7.5个单位质量，则清洁度达不到0.990．
【详解】（Ⅰ）表格如下：
（Ⅱ）函数图象如下：

由图象可得，当第一次用水量约为4个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小；
（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，
19-7.7=11.3，
即可节水约11.3个单位质量；
（2）由图可得，当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到0.990，
第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度，
故答案为：<．
【点睛】本题考查了函数图象，根据数据描绘函数图象、从函数图象获取信息是解题的关键．
15．(1)见解析
(2)
(3)当为或时，是直角三角形
【分析】（1）连接，，根据折叠的性质和矩形的性质证明即可解题；
（2）根据三角形的三边之间的关系可得：，可知当G、D、C三点共线时最小，如图，这时，面积最小，计算即可；
（3）分和两种情况分别画图、计算解题即可．
【详解】（1）连接，，
由折叠可知：，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：在中，，
根据三角形的三边之间的关系可得：，即，
且当G、D、C三点共线时，则，最小，如图，这时，面积最小，
则为矩形，
∴，
又∵是矩形，
∴，
∴，
（3）解：如图，当时，延长交于点M，
由折叠可得，，
∴，
又∵是正方形，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴
设，则，
在中，，
即，
解得：，
∴；
当时，则与在一条线上，如图，则D与E重合，
这时；
综上所述，当为或时，是直角三角形．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，翻折的性质，三角形三边之间的关系，掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键．
16．1.（2） （5） （6）
2.（1）（2） （3） （4）
3.（1） （2） （3） （4）
【分析】本题考查同底数指数式与对数式的互化，掌握对数和同底数指数互为逆运算是解题的关键．
（1）运用指数式与对数式的运算法则互化即可；
（2）运用对数式的运算法则计算即可；
（3）利用对数的运算法则解方程即可．
【详解】1.（2）∵，
∴；
（5）∵，
∴；
（6）∵
∴；
2．（1）∵，
∴；
（2）∵，
∴；
（3）∵，
∴；
（4）∵，
；
3.（1）∵，
∴；
（2）∵，
∴，
又∵，
∴；
（3）∵，
∴，
∴；
（4）∵，
∴，
∴，
解得：．
售价x（元/个）
…
80
90
100
…
销量y（个）
…
400
300
200
…
11.0
9.0
9.0
7.0
5.5
4.5
3.5
3.0
3.0
2.0
1.0
0.8
1.0
1.3
1.9
2.6
3.2
4.3
4.0
5.0
7.1
11.5
11.8
10.0
10.3
8.9
8.1
7.7
7.8
7.0
8.0
9.1
12.5
C
0.990
0.989
0.990
0.990
0.990
0.990
0.990
0.988
0.990
0.990
0.990
4.3 对数
在4.2.1的问题1中，通过指数幂运算，我们能从中求出经过x年后B地景区的游客人次为2001年的倍数y．反之，如果要求经过多少年游客人次是2001年的2倍，3倍，4倍，…，那么该如何解决？
4.3.1 对数的概念
上述问题实际上就是从中分别求出x,即已知底数和幂的值，求指数．这是本节要学习的对数．
一般地，如果（，且），那么数x叫做以a为底N的对数（lgarithm）,记作，
其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
“”是拉丁文lgarithm（对数）的缩写．
例如，由于，所以x就是以1.11为底2的对数，记作;再如，由于，所以以4为底16的对数是2，记作．
通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数（cmmn lgarithm），并把记为．另外，在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数（natural lgarithm），并把记为．
通过查询互联网，进一步了解无理数e、常用对数和自然对数．
根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：
当时，．
由指数与对数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论：
负数和0没有对数；
，
请你利用对数与指数间的关系证明这两个结论．
例1 把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）．
解：（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）．
例2 求下列各式中x的值：
（1）； （2）； （3）；
（4）；
解：（1）因为，所以．
（2）因为，所以．又，所以．
（3）因为，所以，
于是．
（4）因为，所以，
于是．
练习
1．把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）．
2．求下列各式的值：
（1）； （2）； （3）； （4）．
3．求下列各式中x的值：
（1）； （2）； （3）；
（4）．
11.0
9.0
9.0
7.0
5.5
4.5
3.5
3.0
3.0
2.0
1.0
0.8
1.0
1.3
1.9
2.6
3.2
4.3
4.0
5.0
7.1
11.5
11.8
10.0
10.3
8.9
8.1
7.7
7.8
7.0
8.0
9.1
12.5
C
0.990
√
0.989
0.990
√
0.990
√
0.990
√
0.990
√
0.990
√
0.988
0.990
√
0.990
√
0.990
√