河南省新乡市辉县市2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（含解析）

这是一份河南省新乡市辉县市2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了本试卷分试题卷和答题卡两部分，下列命题中是真命题的是，如图等内容，欢迎下载使用。

1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．试题卷共4页，三个大题，满分120分．
2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效．
3．答题前，考生务必将本人所在学校、姓名、考场、座号、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上．
一、选择题（每小题3分，共30分）．
1．81的平方根是（ ）．
A．9B．C．3D．
2．在下列数中，无理数的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列各式计算正确的是（ ）
A．(a＋1)2＝a2＋1B．a2＋a3＝a5C．a8÷a2＝a6D．3a2－2a2＝1
4．下列命题中是真命题的是（ ）
A．实数包括正实数和负实数B．数轴上的点与有理数一一对应
C．两边及其中一边对角对应相等的两个三角形全等D．若两个三角形全等，则对应边所对的角是对应角
5．若（3x+2）（3x+a）的化简结果中不含x的一次项，则常数a的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．2
6．如图，已知，添加下列条件还不能判定的是（ ）

A．B．C．D．
7．已知一个长方形的长为，宽为，它的面积为6，周长为12，则的值为（ ）
A．30B．24C．25D．13
8．如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和BE的交点，BD=6，CD＝4，则线段AF的长度为（ ）
A．1B．2C．4D．6
9．如图：为等边三角形，平分，是等边三角形，下列结论中：①②③④中正确的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
10．如图，在中，，D是AB上的点，过点D作 交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，，则下列结论正确的有（ ）
①∠DCB=∠B；②CD=AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E=30°，则DE=EF+CF．
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．写出一个大于且小于的整数 ．
12．若，则的值为 ．
13．关于的二次三项式是一个完全平方式，则 ．
14．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，那么判定与全等的依据是 ．
15．如图，的面积为，垂直的平分线于点，则的面积为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．计算下列各题
(1)
(2)
17．因式分解
(1)
(2)
18．先化简，再求值；，其中，．
19．如图，点B，F，C，E在同一条直线上，，求证：．
20．探究
如图①，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式___________，（用含，的等式表示）
应用
请应用这个公式完成下列各题：
(1)已知，，则的值为___________．
(2)计算：．
拓展
(3)计算：．
21．如图，在等腰中，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，交线段于点.
（1）若，证明：；
（2）在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数；若不可以，请说明理由.
22．在学习完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2后，我们对公式的运用进一步探讨．
（1）若ab=30，a+b=10，则a2+b2的值为________．
（2）“若y满足（40﹣y）（y﹣20）=50，求（40﹣y）2+（y﹣20）2的值”．
阅读以下解法，并解决相应问题．
解：设40﹣y=a，y﹣20=b
则a+b=（40﹣y）+（y﹣20）=20
ab=（40﹣y）（y﹣20）=50
这样就可以利用（1）的方法进行求值了．
若x满足（40﹣x）（x﹣20）=﹣10，求（40﹣x）2+（x﹣20）2的值．
（3）若x满足（30+x）（20+x）=10，求（30+x）2+（20+x）2的值．
23．八年级(1)班同学上数学活动课,利用角尺平分一个角(如图).设计了如下方案:
(Ⅰ)∠AOB是一个任意角,将角尺的直角顶点P介于射线OA,OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M,N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
(Ⅱ)∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,将角尺的直角顶点P介于射线OA,OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M,N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
(1)方案(Ⅰ)、方案(Ⅱ)是否可行?若可行,请证明;若不可行,请说明理由.
(2)在方案(Ⅰ)PM=PN的情况下,继续移动角尺,同时使PM⊥OA,PN⊥OB.此方案是否可行?请说明理由.
答案与解析
1．B
【分析】根据平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，那么这个数x叫做a的平方根，据此判断即可．
【详解】解：∵，
∴的平方根是：，
故选：B．
【点睛】本题考查了求一个数的平方根，熟知定义是解题的关键．
2．B
【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无理数的定义进行判断．根据无理数是无限不循环小数，逐一验证即可．
【详解】解：A.、是分数，故本选项不符合题意；
B、是无理数，故本选项符合题意；
C、是有理数，故本选项不符合题意；
D、是有理数，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．C
【分析】根据完全平方公式，合并同类项，同底数幂的除法运算法则逐一计算作出判断即可．
【详解】解：A、(a＋1)2＝a2＋2a＋1，故本选项错误，不符合题意；
B、a2＋a3≠a5，故本选项错误，不符合题意；
C、a8÷a2＝a6，故本选项正确，符合题意；
D、3a2-2a2＝a2，故本选项错误，不符合题意．
故选C．
4．D
【分析】本题考查的知识点是判断命题的真假、实数的定义、数轴上的点与实数的关系、全等三角形的性质与判定，解题关键是能够根据实数的定义、数轴上的点与实数的关系、全等三角形的性质与判定判断命题真假．根据实数的定义可得A选项错误，根据数轴上的点与实数的关系可得B选项错误，根据全等三角形的判定可得C选项错误，根据全等三角形的性质可得D选项正确．
【详解】A选项，实数包括正实数、零和负实数，故原命题错误，是假命题，不符合题意，A选项错误；
B选项，数轴上的点与实数一一对应，实数包括有理数和无理数，故原命题错误，是假命题，不符合题意，B选项错误；
C选项，两边及其中一边对角对应相等的两个三角形不一定全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意，C选项错误；
D选项，若两个三角形全等，则对应边所对的角是对应角，故原命题正确，是真命题，符合题意，D选项正确．
故选：D．
5．A
【分析】先用多项式乘以多项式的法则展开，然后合并同类项，不含x的一次项，就让x的一次项的系数等于0．
【详解】解：（3x+2）（3x+a）
＝9x2+3ax+6x+2a
＝9x2+（3a+6）x+2a，
∵不含x的一次项，
∴3a+6＝0，
∴a＝﹣2，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘积中不含某一项，就是该项的系数等于0是解题的关键．
6．A
【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即得答案．
【详解】解：，，，条件为边边角，不能证明，故A符合题意；
，，，条件为边角边，能证明，故B不符合题意；
，，，条件为角角边，能证明，故C不符合题意；
，，，条件为边角边，能证明，故D不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7．B
【分析】由长方形的周长及面积可得出，，代入中即可求出结论．
【详解】解：根据题意得：，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景、长方形的周长以及长方形的面积，利用长方形的周长及面积公式找出，是解题的关键．
8．B
【分析】先证明AD=BD，再证明∠C＝∠BFD，从而利用AAS证明△BDF≌△ADC，利用全等三角形对应边相等就可得到答案
【详解】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABD＝∠DAB，
∴BD＝AD，
∵∠CAD+∠AFE＝90°，∠CAD+∠C＝90°，∠AFE＝∠BFD，
∴∠AFE＝∠C，
∵∠AFE＝∠BFD
∴∠C＝∠BFD
在△BDF和△ADC中，
，
∴△BDF≌△ADC（AAS），
∴DF＝CD＝4，
AF=6-4=2
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定及全等三角形对应边相等的性质，解题关键在于正确寻找全等三角形．
9．A
【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三边相等、三个角都相等、三线合一．对等边三角形性质的考查，题中为的平分线，因为为等边三角形，所以同时也是垂线和中线，然后利用等边三角形的性质及角之间的关系即可判断．
【详解】解：为等边三角形，平分，
，，
①正确，
，是等边三角形，
，，
②正确，
由②得，
，
③也正确，
在中，
④也正确，
①②③④都正确，
故选A．
10．B
【分析】由在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AB，根据等角的余角相等，可得①∠DCB=∠B正确；由①可证得AD=BD=CD，即可得②CD=AB正确；易得③△ADC是等腰三角形，但不能证△ADC是等边三角形；由若∠E=30°，易求得∠FDC=∠FCD=30°，则可证得DF=CF，继而证得DE=EF+CF．
【详解】解：在△ABC中，∵∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴∠ADE=∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，∠ACD+∠DCB=90°．
∵∠DCA=∠DAC，
∴AD=CD，∠DCB=∠B；故①正确；
∴CD=BD．
∵AD=BD，
∴CD=AB；故②正确；
∠DCA=∠DAC，
∴AD=CD，但不能判定△ADC是等边三角形；故③错误；
∵∠E=30°，
∴∠A=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC=30°．
∵∠ADE=∠ACB=90°，
∴∠EDC=∠BCD=∠B=30°，
∴CF=DF，
∴DE=EF+DF=EF+CF．故④正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定以及直角三角形的性质．注意证得D是AB的中点是解答此题的关键．
11．、0、1（填其中一个即可）
【分析】首先确定和的整数部分，然后在取值范围内确定整数即可．
【详解】解：设所求整数为x
∵，
∴，
∵，
∴所求的整数的范围是，
即整数可以是、0、1．
故答案为：、0、1（填其中一个即可）．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
12．
【分析】根据已知得出，根据幂的乘方以及同底数幂的乘法进行计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了幂的乘方以及同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方以及同底数幂的乘法的运算法是解题的关键．
13．
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定的值．
【详解】解：，
，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了完全平方式，解题的关键是根据平方项确定出这两个数，熟记完全平方公式对解题非常重要．
14．
【分析】根据判断出．
【详解】解：∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
在和中，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题．
15．
【分析】延长交于，根据垂直的平分线于，即可求出，又知和等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形的面积．
【详解】解：延长交于，
∵垂直的平分线于，
∴，
又知，，
∴，
∴，，
∴和等底同高，
∴，
∴，
故答案为
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，面积及等积变换的知识点．证明出三角形PBC的面积和原三角形的面积之间的数量关系是解题的难点．
16．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了实数混合运算，整式混合运算；
（1）根据立方根定义，算术平方根定义和绝对值意义进行解答即可；
（2）根据单项式乘单项式和单项式除以单项式运算法则进行计算即可；解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查多项式的分解因式，掌握因式分解的方法：提公因式法、平方差公式、完全平方公式，根据多项式的特点选用恰当的因式分解的方法是解题的关键．
（1）先提公因式，再利用平方差公式分解；
（2）先提取公因式，再根据完全平方公式分解因式．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．，
【分析】此题考查了整式的混合运算及求值，熟练掌握平方差公式与完全平方公式，同类项与多项式除以单项式运算法则是解本题的关键．先利用平方差公式及完全平方公式中括号内化简，合并同类项后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，然后把x与y的值代入计算求值即可．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
19．见解析
【分析】已知可得，再由两直线平行内错角相等得，证得，即可得出结论．
【详解】证明：
，即，
，
，
在和中，
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，找出对应边角证全等是解题的关键．
20．(1)；
(2)
(3)
【分析】根据题意，两个图形的面积相等，得到；
（1）根据平方差公式进行计算即可求解．
（2）根据平方差公式进行计算即可求解；
（3）根据平方差公式进行计算，然后根据有理数的混合运算进行计算即可求解．
【详解】（1）根据题意得到，
由得，，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）
；
（3）
．
【点睛】本题考查了平方差公式与几何图形，根据平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键．
21．（1）见解析；（2）或
【分析】（1）由条件可得∠EDC=∠DAB，∠B=∠C，DC=AB，根据ASA即可证明结论；
（2）若△ADE是等腰三角形，分为三种情况：①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=36°，根据∠AED>∠C，得出此时不符合；②当DA=DE时，求出∠DAE=∠DEA=72°，求出∠BAC的度数，根据三角形的内角和定理求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠BDA即可；③当EA=ED时，求出∠DAC，求出∠BAD的度数，根据三角形的内角和定理求出∠BDA的度数．
【详解】解：（1）证明：∵，
，
∴，
，
∵，
∴.
在和中，
，
∴（ASA）.
（2）∠BDA=72° 或∠BDA=108°.
∵，
①当AD=AE时,∠ADE=∠AED=36°，
∵∠AED>∠C，
∴此时不符合；
②当DA=DE时,即∠DAE=∠DEA= (180°−36°)=72°，
∵∠BAC=180°−36°−36°=108°，
∴∠BAD=100°−72°=28°；
∴∠BDA=180°−28°−36°=116°；
③当EA=ED时,∠ADE=∠DAE=36°，
∴∠BAD=100°−36°=64°，
∴∠BDA=180°−64°−36°=80°；
∴当∠BDA=116°或80°时，△ADE是等腰三角形.
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解题关键在于掌握各判定定理.
22．（1）40；（2）420；（3）120
【分析】（1）先将等式a+b=10两边平方，再将ab=30代入即可；
（2）设40-y=a，y-20=b，可得：a+b=20，ab=50，再根据完全平方公式即可求解；
（3）设30+x=a，20+x=b，则 ab=10，a-b=10，再根据完全平方公式即可求解．
【详解】解：（1）∵a+b=10，
∴（a+b）2=100，
即a2+2ab+b2=100，
将ab=30，代入得：a2+b2+2×30=100，
∴a2+b2=100-60=40，
故答案为40．
（2）设40-x=a，x-20=b，
则 （40-x）（x-20）=ab=-10，
∵a+b=（40-x）+（x-20）=20，
∴（40-x）2+（x-20）2
=a2+b2
=（a+b）2-2ab
=202-2×（-10）
=420．
（3）设30+x=a，20+x=b，
则 （30+x）（20+x）=ab=10，
∵a-b=（30+x）-（20+x）=10，
∴（30+x）2+（20+x）2
=a2+b2
=（a-b）2+2ab
=102+2×10
=120．
【点睛】本题考查了完全平方公式，涉及到整体思想，解决本题的关键是熟记完全平方公式，进行转化应用．
23．(1)方案(Ⅰ)不可行.缺少证明三角形全等的条件；当∠AOB是直角时,此方案可行.
【分析】（1）方案(Ⅰ)中判定并不能判断就是的角平分线，关键是缺少的条件，只有“边边”的条件；
（2）可行.此时和都是直角三角形，可以利用证明它们全等，然后利用全等三角形的性质即可证明为的角平分线.
【详解】(1)方案(Ⅰ)不可行.缺少证明三角形全等的条件.
∵只有OP=OP,PM=PN不能判断△OPM≌△OPN;
∴就不能判定OP就是∠AOB的平分线.
方案(Ⅱ)可行.证明:在△OPM和△OPN中,
∴△OPM≌△OPN(SSS),∴∠AOP=∠BOP.
(2)当∠AOB是直角时,此方案可行.
∵PM⊥OA,PN⊥OB,
∴∠OMP=∠ONP=90°.
∵∠MPN=90°,
∴∠AOB=360°―∠OMP―∠ONP―∠MPN=90°.
∵PM⊥OA,PN⊥OB,且PM=PN,
∴OP为∠AOB的平分线(到角两边距离相等的点在这个角的平分线上).
当∠AOB不为直角时,此方案不可行.
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，是一个开放性试题，可以提高学生解决实际的能力.