河北省秦皇岛市青龙县部分学校2023-2024学年高三上学期11月期中联考数学试题（Word版附解析）

这是一份河北省秦皇岛市青龙县部分学校2023-2024学年高三上学期11月期中联考数学试题（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共22题．全卷满分150分.考试用时120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合0，1，，，则
A. B. C. 0，D. 1，
【答案】B
【解析】
【分析】化简集合N，再求即可．
【详解】集合0，1，，
，
．
故选B．
【点睛】本题考查了集合的化简与简单运算问题，是基础题目．
2. 平面直角坐标系中，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，向量，以下说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可知，根据向量垂直和向量共线的坐标表示可判断BD，根据向量模的运算可判断A，根据数量积运算可判断C.
【详解】由题意不妨设，
则，，
据此逐一考查所给的选项：
，，则，选项A错误；
，则，选项B正确；
，则，选项C错误；
不存在实数满足，则不成立，选项D错误；
故选：B
3. “”是“函数与函数为同一函数”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
利用诱导公式，结合充分条件与必要条件定义，论证充分性与必要性是否成立即可.
【详解】若，则，即函数与函数为同一函数，充分性成立；
若函数与函数为同一函数，的值可以为，即两个函数数为同一函数不能推出，必要性不成立，
所以，“”是“函数与函数为同一函数”的充分而不必要条件，
故选：A
【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，以及充分条件与必要条件的定义，属于基础题.
4. 等比数列的前项和为，若，则（ ）
A. 2B. -2C. 1D. -1
【答案】A
【解析】
【分析】根据等比数列前项和公式的结构求得.
【详解】设等比数列的公比为q，当时，，不合题意；
当时，等比数列前项和公式，
依题意.
故选：A
5. 将一个长方体沿从同一个顶点出发的三条棱截去一个棱锥，棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据棱柱和棱锥的体积公式计算
【详解】设长方体同一顶点引出的三条棱长分别是、、，
则截去的棱锥的体积，
原长方体的体积，剩下的几何体的体积为，
∴
故选：D
6. 已知均为单位向量，若，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意均为单位向量，若，两边平方，解得即，代入夹角公式，根据夹角取值范围，即可求得夹角.
【详解】解：依题意，，，
所以，即，
所以，
，
所以.
故选：C.
【点睛】本题主要考查平面向量的概念及运算等基础知识，向量夹角的范围，以及已知三角函数值求角的方法，属于基础题.
7. 已知，若则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分段函数的定义域，对中的分为和讨论，代入相应的解析式，并分别结合指数函数、对数函数的单调性解不等式，即可求出的范围．
【详解】当时，由得，所以，又，故，
当时，由得，所以，又，故，
综上，的取值范围是．
故选：D.
【点睛】本题主要考查分段函数的不等式解法及指数、对数不等式的解法，同时考查分类讨论的思想，属于基础题．
8. 已知的一段图象如图所示，则（ ）
A.
B. 的图象的一个对称中心为
C. 的单调递增区间是
D. 函数的图象向左平移个单位后得到的是一个奇函数的图象
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据函数图像求出函数解析式，即可判断A，再根据正弦函数的性质一一判断即可；
【详解】解：由图可知，，所以，解得，所以，又函数过点，即，所以，解得，因为，所以，所以，故A错误；
因为，所以函数关于对称，故B错误；
令，解得，故函数的单调递增区间为，故C正确；
将函数的图象向左平移个单位得为偶函数，故D错误；
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列叙述中正确的是（ ）
A. “”是“是反比例函数”的既不充分也不必要条件
B. “”是“”的充分不必要条件
C. “”是“有实数解”的充要条件
D. “”是“方程有一个正根和一个负根”的充要条件
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合选项即可求解.
【详解】对于选项A，当时，不是反比例函数，当是反比例函数时，，所以“”是“是反比例函数”的既不充分也不必要条件，故A正确；
对于选项B，“”时，，当时，或，所以不能得出，故“”是“”的充分不必要条件，故B正确；
对于选项C，“有实数解，等价于，故“”是“有实数解”的充分不必要条件，故C错误；
对于选项D，“方程有一个正根和一个负根”等价于，
解得，所以，“”是“方程有一个正根和一个负根”的充要条件，故选项D正确.
故选：ABD.
10. 如图，为圆锥的底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（ ）
A. 圆锥的侧面积为
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 的取值范围是
D. 若，为线段上的动点，则的最小值为
【答案】BD
【解析】
【分析】先求出圆锥母线长，利用圆锥的侧面积公式判断A；当时，的面积最大，计算体积最大值判断B；先用取极限的思想求出的范围，再利用求范围判断C；将以为轴旋转到与共面，得到，求出判断D作答.
【详解】在中，，则圆锥的母线长，半径，
对于A，圆锥的侧面积为：，A错误；
对于B，当时，的面积最大，此时，
则三棱锥体积的最大值为：，B正确；
对于C，是等腰三角形，，又因为，则，
依题意，，而，因此，C错误；
对于D，由，，得，有为等边三角形，
将以为轴旋转到与共面的位置，得到，则为等边三角形，，如图，
于是，因为，
，
所以，D正确.
故选：BD
11. 已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A. 是的极大值点
B. 使得
C. 若方程为参数，有两个不等实数根，则的取值范围是
D. 方程有且只有两个实根．
【答案】AB
【解析】
【分析】根据题意，求导得到函数的单调区间以及极值，画出函数的大致图像，结合图像对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】
当时，，则，
当，时，，单调递增，
当时，，单调递减，且，；
当时，，则，
当时，，则单调递减，
当时，，单调递增，且，，故恒成立，
画出的大致图像如图所示.
∴是的极大值点，故A正确．
结合图像可知，B正确．
方程等价于或，
由图知有一个实数根，
要使原方程有两个实数根等价于只有一解．
由图可得：或，故C错；

分别画出与的图像，由图可得两函数图像有三个交点，故D错误．
故选：AB
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用导数，分别研究与的图象，从而数形结合即可得解.
12. 某社区开展“防疫知识竞赛”，甲､乙两人荣获一等奖的概率分别为p和q，两人是否获得一等奖相互独立，则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】令且A、B相互独立，从正反两个角度，利用事件的关系及含义表示出两人中至少有一人获得一等奖，进而求出其概率即可.
【详解】记A“甲获得一等奖”，B为“乙获得一等奖”，则且A、B相互独立.
从正面考虑，甲､乙两人中至少有一人获得一等奖为，为三个互斥事件，
所以；
从反面考虑，事件“甲､乙两人中至少有一人获得一等奖”的对立事件是“甲､乙两人都没获得一等奖”，即事件，易得，
所以“这两人中至少有一人获得一等奖”的概率为，
综上，A、D正确.
故选：AD
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. ，，则的值__________．
【答案】54
【解析】
【详解】由，得：，则，故答案为54.
14. 的展开式中的系数为___________
【答案】80
【解析】
【分析】写出二项展开式的通项，求出指定项即可得解.
【详解】展开式的通项，
含的项中，，解得，
所以展开式中的系数为.
故答案为：80
15. 在中，角所对的边分别为，若，，，则_______．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：由正弦定理又所以,所以
考点：正弦定理的应用.
16. 已知函数f (x)＝x(8－2x)(5－2x)在区间［0，3］上的最大值是______．
【答案】18
【解析】
【分析】求出导函数，明确函数的单调性，从而得到函数的最值.
【详解】由题意可得，
∴，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴函数f (x)＝x(8－2x)(5－2x)在区间［0，3］上的最大值是，
故答案为18
【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，考查运算能力，属于基础题.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知数列满足，，且，，构成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据可得，所以数列是以2为公差的等差数列，再根据，，构成等比数列，得，即，解出后利用等差数列通项公式即可求出数列的通项公式．
（2）易知，则利用错位相减求和法即可求出数列的前项和．
【详解】解：（1）由，得，
所以数列是以2为公差的等差数列，
又，，构成等比数列，
得，即，
整理解得，
所以．
（2），
则，
，
两式相减得，
即，
所以．
18. 四棱锥中，，底面为等腰梯形，，，为线段的中点，.
（1）证明：平面；
（2）若，求直线与平面所成角正弦值.
【答案】（1）见解析，（2）
【解析】
【分析】（1）过作于，则由已知可得，从而得，再由∽,可得，由此得，得到，再可证得平面，从而有，然后由线面垂直的判定定理可证得结论；
（2）如图，以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解线面角的正弦值.
【详解】（1）证明：因为，为线段的中点，
所以，
在等腰梯形中，作于，
则由得，
所以，
所以，
因为，所以
所以∽,所以，
所以，
所以，
因为，，
所以平面，
因为在平面内，所以，
因为，在平面内，
所以平面；
（2）解：因为，，所以，,
取的中点，连接，则，
因为平面，所以，又
所以平面，
所以如图，以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，则，
由（1）知平面，则平面的法向量，
设直线与平面所成角为，
则,
所以直线与平面所成角的正弦值为
【点睛】
此题考查了线面垂直的判定和性质的应用，空间直角坐标的应用，考查了运算能力和转换能力，属于中档题.
19. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题.问题：锐角的内角的对边分别为，且______.
（1）求；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）选①，首先通过正弦定理将已知条件中的边转化成角，然后根据恒等变换化简即可求出角；
选②，首先通过正弦定理将已知条件中的边转化成角，然后将代入，最后根据恒等变换化简即可求出角；
选③，首先通过正弦定理将已知条件中的边转化成角，然后根据恒等变换化简求出，即可求出角.
（2）首先将代入，然后利用恒等变换将其化简成正弦型函数，最后根据正弦函数的性质求解取值范围即可.
【小问1详解】
选①
，所以，
所以，
整理得.
因为，所以.因为，所以.
选②
因为，所以，
所以，整理得.
因为，所以，因为，所以.
选③
因为，
所以，
所以，
整理得.
因为，所以.
因为，所以，.
【小问2详解】
因为，
所以.
因为，所以，所以，
所以，所以，故.
20. 卫生纸要求无毒性化学物质、无对皮肤有刺激性的原料、无霉菌病毒性细菌残留．卫生纸的特征是吸水性强、无致病菌、纸质柔软厚薄均匀无孔洞、起皱均匀、色泽一致．卫生纸主要是供人们生活日常卫生之用．是人民群众生活中不可缺少的纸种之一．某品牌卫生纸生产厂家为保证产品质量．现从甲、乙两条生产线生产的产品中随机抽取600件进行品质鉴定．并将统计结果整理如下：
（1）根据表中数据判断是否有的把握认为产品的品质与生产线有关？
（2）用分层抽样的方法，从样本的优等品中抽取8件进行详细检测，再从这8件产品中任选2件，求所选的2件产品中至少有1件来自甲生产线的概率．
附：，其中．
【答案】（1）有的把握认为产品的品质与生产线有关
（2）
【解析】
【分析】（1）由独立性检验公式求，比较与临界值的大小作答结论；
（2）由抽样比得两生产线的抽样数，再由古典概型概率公式可得.
【小问1详解】
补充列联表如下：
零假设产品的品质与生产线无关，
根据列联表中的数据，经计算得到
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为产品的品质与生产线有关，此推断有的把握认为产品的品质与生产线有关.
【小问2详解】
根据分层抽样可知，在抽取的件优等品中，来自甲生产线的有件，记为，
来自乙生产线的有件，记为.
设事件“所选的2件产品中至少有1件来自甲生产线”，
从这件产品中任选件，所有的等可能结果有
，共种；
其中，所选2件产品中至少有1件来自甲生产线的结果有
，共种；
则由古典概型概率公式得.
21. 已知向量满足，函数.
（1）求函数的对称轴方程；
（2）求函数在时的值域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由数量积公式结合辅助角公式得出的解析式，再由正弦函数的性质得出对称轴方程；
（2）由正弦函数的性质得出函数的值域.
【小问1详解】
的对称轴为
该函数的对称轴方程为
【小问2详解】
，
即函数的值域为：
22. 1.已知函数.
（1）若在处取得极值，求的值及函数的单调区间；
（2）请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择.如果多写按第一个计分.
①若恒成立，求的取值范围.
②若仅有两个零点，求的取值范围.
【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）选择①时，；选择②时，
【解析】
【分析】（1）把代入，然后对求定义域，求导，利用求出求的值，观察出是个增函数进而求出函数的单调区间；（2）对进行同构变形，然后构造新函数求的取值范围
【小问1详解】
定义域为，，在处取得极值，则，所以，此时，可以看出是个增函数，且，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增.故的单调递减区间为，单调递增区间为.
【小问2详解】
①选择若恒成立，
若恒成立，即，整理为，即
设函数，则上式为：
因为恒成立，所以单调递增，所以
所以，令，.，当时，，当时，，故在处取得极大值，，故1，解得：
故当时，恒成立.
②选择若仅有两个零点，
即有两个根，整理为，即
设函数，则上式为：
因为恒成立，所以单调递增，所以=
所以只需有两个根，令，.
，当时，，当时，，故在处取得极大值，，
要想有两个根，只需，解得：，所以的取值范围为
【点睛】同构变形是一种处理含有参数的函数常用方法，特别是指对同构，对不能参变分离的函数可以达到化简后可以参变分离的效果，非常的好用
合格品
优等品
甲生产线
160
30
乙生产线
320
90
0.15
0.10
0.05
0.010
2.072
2.706
3.841
6.635
合格品
优等品
总计
甲生产线
160
30
190
乙生产线
320
90
410
总计
480
120
600