湖北省荆州市荆州中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附答案）

这是一份湖北省荆州市荆州中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附答案），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.(3-2i)(1+2i)=( )
A. 7-4iB. 7+4iC. -1+4iD. -1-4i
2.已知集合A={x|x-2>0}，B={x|x2-x+m=0}，若A∩B≠⌀，则m的取值范围为( )
A. (-∞,-2)B. (-∞,2]C. (-∞,2)D. (-∞,-2]
3.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，且PD=3DC，则BD在AC方向上的
投影向量为( )
A. -34ACB. -23ACC. 23ACD. 34AC
4.抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A=“两枚骰子的点数之和为偶数”，事件B=“恰有一枚骰子的点数为偶数”，则( )
A. P(A)>P(B)B. P(A)C. A与B互为对立事件D. A与B互为互斥但不对立事件
5.在△ABC中，AB=1，BC= 5，csA=56，则AC=( )
A. 2B. 52C. 73D. 3
6.若A(2,2,1)，B(0,0,1)，C(2,0,0)，则点A到直线BC的距离为( )
A. 2 55B. 305C. 2 305D. 55
7.定义在R上的奇函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减，且f(6)=0，则不等式xf(x-4)<0的解集为( )
A. (-∞,-2)∪(0,4)∪(10,+∞)B. (-2,0)∪(0,4)∪(10,+∞)
C. (-∞,-2)∪(10,+∞)D. (-2,0)∪(4,10)
选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
8.已知实数x，y满足2x-y+2=0，则 (x-9)2+y2+ x2+y2-4x-4y+8的最小值为( )
A. 10+ 13B. 3 13C. 108D. 117
9.已知一组数据x，x+2，3x-3，2x+1，9的平均数为6，则( )
A. x=3B. x=2
C. 这组数据的第70百分位数为7D. 这组数据的第70百分位数为6.5
10.已知点A(1,4)，B(3,2)，C(2,-1)，若直线l经过点C，且A，B到l的距离相等，则l的方程可能是( )
A. x+y-1=0B. x-y-3=0C. y+1=0D. x-2=0
11.已知直线l:( 3m+1)x-(m- 3)y-4=0与圆O:x2+y2=16相交于A，B两点，则△OAB的面积可能为( )
A. 2 3B. 4C. 4 3D. 8
12.苏州博物馆(图一)是地方历史艺术性博物馆，建筑物的顶端可抽象为如图二所示的上、下两层等高的几何体，其中上层EFGH-NPQM是正四棱柱，下层底面ABCD是边长为4的正方形，E，F，G，H在底面ABCD的投影分别为AD，AB，BC，CD的中点，若AF= 5，则下列结论正确的有( )
A. 该几何体的表面积为32+8 2+4 6
B. 将该几何体放置在一个球体内，则该球体体积的最小值为36π
C. 直线CP与平面ABF所成角的正弦值为 63
D. 点M到平面BFG的距离为 63
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.过点M( 3,0)作圆C:x2+(y-1)2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为__________.
14.若直线l1:ax+4y+7=0与l2:2x-3y-1=0垂直，则a=__________.
15.已知函数f(x)= 3sin(ωx+π3)+sin(ωx-π6)(ω>0)，若函数g(x)=f(x)-1在(0,π)上恰有两个零点，则ω的取值范围为__________.
16.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AM=2MB，N为DD1的中点，记平面CMN与平面ADD1A1的交线为l，则直线l与直线AC1所成角的余弦值为__________.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知直线l1:x+ay-a+2=0与l2:2ax+(a+3)y+a-5=0.
(1)当a=1时，求直线l1与l2的交点坐标;
(2)若l1//l2，求a的值.
18.如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB的长为16米，最大高度CD的长为4米，以C为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立直角坐标系.
(1)求该圆弧所在圆的方程;
(2)若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车?
(将汽车看作长方体)
19.甲、乙准备进行一局羽毛球比赛，比赛规定：一回合中赢球的一方作为下一回合的发球方.若甲发球，则本回合甲赢的概率为34，若乙发球，则本回合甲赢的概率为14，每回合比赛的结果相互独立.经抽签决定，第1回合由甲发球.
(1)求第3回合由乙发球的概率;
(2)求前3个回合中甲赢的回合数不低于乙的概率.
20.如图，在正四棱锥P-ABCD中，E，F分别为PA，PC的中点，DG=2GP.
(1)证明：B，E，G，F四点共面.
(2)记四棱锥P-BEGF的体积为V1，四棱锥P-ABCD的体积为V2，求V1V2的值.
21.已知O为坐标原点，A(0,4)，P是平面内一动点，且PA⋅PO=0，记动点P的轨迹为C.
(1)求C的方程.
(2)已知不经过原点且斜率存在的直线l与C相交于M，N两点，且kOM⋅kON=-3，试问l是否经过定点?若经过，求出该定点坐标;若不经过，说明理由.
22.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，M，Q分别为AC，A1B1的中点，且MQ⊥AB.
(1)证明：MC1⊥AB.
(2)若BB1=4，MQ= 15，求平面MB1C1与平面MC1Q夹角的余弦值.
湖北省荆州中学2023-2024学年第一学期期中考试试题
高二数学参考答案
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查复数的运算，考查数学运算的核心素养，属于基础题.
【解答】
解：(3-2i)(1+2i)=3+6i-2i-4i2=7+4i.
故选B.
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程根的分布的问题、含参数的交集运算问题，属基础题.
【解答】
解：因为A={x|x>2}，A∩B≠⌀，所以B≠⌀，
则当Δ=(-1)2-4m=0，即m=14时，B={12}，则A∩B=⌀，不合题意；
当Δ=(-1)2-4m>0，即m<14时，方程x2-x+m=0有两个不等实根，
又二次函数y=x2-x+m的对称轴为x=12<2，
则要使A∩B≠⌀，只要22-2+m<0，解得m<-2.
综上可知，m的取值范围为(-∞,-2).
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查空间向量的投影向量，考查直观想象的核心素养.属于基础题.
【解答】
解：由题
BD⋅AC=(CD-CB)⋅AC=14CP⋅AC-(AB-AC)⋅AC，
=14AP⋅AC-14AC2-AB⋅AC+|AC|2=34|AC|2，
BD在AC方向上的投影向量为BD⋅AC|AC|2⋅AC=34AC.
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查随机事件的关系，考查数学运算、逻辑推理，属于基础题.
【解答】
解：由题可知，A与B互为对立事件，且P(A)=P(B)=12.
故选：C.
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查利用余弦定理解三角形，属基础题.
【解答】
解：由余弦定理知，csA=AB2+AC2-BC22AB⋅AC，则3AC2-5AC-12=0，解得AC=3或AC=-43(舍去).
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查空间中点到直线的距离，考查数学运算的核心素养.
【解答】
解：由题BA=(2,2,0)，BC=(2,0,-1)，
则BA在BC上的投影向量的模为|BA⋅BC||BC|=4 5，
则点A到直线BC的距离为 BA2-|BA⋅BC||BC|2=2 305.
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性和单调性，考查直观想象、逻辑推理的核心素养，属于中档题.
【解答】
解：因为定义在R上的奇函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减，且f(6)=0，所以f(x)的图象大致如图所示.
由xf(x-4)<0，得x>0,f(x-4)<0或x<0,f(x-4)>0,
解得010或x<-2.
故选：A.
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了点关于直线的对称问题，属中档题.
【解答】
解：因为x2+y2-4x-4y+8=(x-2)2+(y-2)2，
所以 (x-9)2+y2+ x2+y2-4x-4y+8表示直线l:2x-y+2=0上一点到P(9,0)，Q(2,2)两点距离之和的最小值.
易知P，Q两点在l的同一侧，设点P关于l对称的点P'(x0,y0)，
则y0-0x0-9=-12,2×x0+92-y0+02+2=0,解得x0=-7,y0=8,即P'(-7,8)，
故 (x-9)2+y2+ x2+y2-4x-4y+8≥|P'Q|= (-7-2)2+(8-2)2=3 13.
9.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查统计，考查数学运算的核心素养.
【解答】
解：因为x，x+2，3x-3，2x+1，9的平均数为6，
所以x+x+2+3x-3+2x+1+9=30，解得x=3，
则这组数据为3，5，6，7，9.由5×0.7=3.5，
得这组数据的第70百分位数为7.
10.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查直线的位置，考查直观想象的核心素养，属于中档题.
【解答】
解：若A，B在l的同侧，则l//AB，因为kAB=2-43-1=-1，所以l的方程为x+y-1=0.若A，B
在l的两侧，则l经过线段AB的中点M(2,3)，此时l的方程为x-2=0.
故答案选：AD.
11.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题主要考查了直线与圆的位置关系及圆中三角形的面积，属中档题.
【解答】
解：将直线l的方程转化为( 3x-y)m+x+ 3y-4=0，
令 3x-y=0,x+ 3y-4=0,解得x=1,y= 3,
即直线l经过定点P(1, 3)，则圆心O到直线l的距离d≤|OP|=2，
设∠AOB=θ，则csθ2=d4≤12，故60∘≤θ2<90∘，即120∘≤θ<180∘.
则△OAB的面积S=12×42×sin2θ∈(0,4 3].
12.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查立体几何中直线与平面所成角的正弦值，考查直观想象的核心素养.
【解答】
解：因为F在平面ABCD的投影为AB的中点，且AF= 5，AB=4，所以F到平面ABCD的距离为1，FG=2 2，P到平面ABCD的距离为2，则点B到FG的距离为 12+( 2)2= 3，
则△ABF的面积为12×4×1=2，△BFG的面积为12×2 2× 3= 6.根据对称性可知，该几何体的表面积为4×4+4×2+4× 6+4×2 2×1+2 2×2 2=32+8 2+4 6，A正确.
将该几何体放置在一个球体内，要使该球体体积最小，则球心在该几何体上下底面中心所连直线上，且A，B，C，D，N，P，Q，M均在球面上，设球心到下底面ABCD的距离为x，则(2 2)2+x2=22+(2-x)2，解得x=0，则该球体的半径为2 2，体积为4π3×(2 2)3=64 2π3，B不正确.
以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则C(4,4,0)，P(2,0,2)，B(4,0,0)，F(2,0,1)，G(4,2,1)，M(2,4,2)，CP=(-2,-4,2)，BF=(-2,0,1)，BG=(0,2,1)，BM=(-2,4,2)，平面ABF的一个法向量为m=(0,1,0)，则cs=-42 6=- 63，故直线CP与平面ABF所成角的正弦值为 63，c正确.
设平面BFG的法向量为n=(x1,y1,z1)，则-2x1+z1=0,2y1+z1=0,令x1=1，得n=(1,-1,2)，则点M到平面BFG的距离为|n⋅BM||n|=|-2×1+4×(-1)+2×2| 12+(-1)2+22= 63，D正确.
13.【答案】 3x-y=0
【解析】【分析】
本题考查圆的切线，考查直观想象的核心泰养，属于基础题.
【解答】
解：由图可知，
其中一条切线为x轴，切点为坐标原点.
因为kCM=1-00- 3=- 33，
则kAB= 3，直线AB的方程为 3x-y=0.
14.【答案】6
【解析】【分析】
本题考查了两条直线垂直的应用，属基础题.
【解答】
解：因为l1⊥l2，所以2a-12=0，解得a=6.
15.【答案】(2,83]
【解析】【分析】
本题考查三角函数的图象与性质，考查逻辑推理的核心泰养.
【解答】
解：f(x)= 3sin(ωx+π3)+sin(ωx-π6)= 3sin(ωx+π3)-cs(ωx+π3)=2sin(ωx+π6)，
由g(x)=0，
得sin(ωx+π6)=12.
由0得π6<ωx+π6<ωπ+π6，
则13π6<ωπ+π6≤17π6，
解得2<ω≤83.
16.【答案】7 111111
【解析】【分析】
本题考查直线与直线的夹角，考查直观想象、数学运算的核心泰养，属于较难题.
【解答】
解：设l∩AA1=P，连接NP，MP(图略)，则直线NP即直线l.易证得MP//CN，由AM=2MB，N为DD1的中点，得AP=13AA1.
以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
不妨令AB=6，则N(0,0,3)，P(6,0,2)，A(6,0,0)，C1(0,6,6)，
NP=(6,0,-1)，AC1=(-6,6,6)，
cs=NP⋅AC1|NP||AC1|=-42 37×6 3=-7 111111，
故直线l与直线AC1所成角的余弦值为7 111111.
17.【答案】解：(1)因为a=1，所以l1:x+y+1=0，l2:x+2y-2=0.
联立方程组x+y+1=0,x+2y-2=0,
解得x=-4,y=3,
故直线l1与l2的交点坐标为(-4,3).
(2)因为l1//l2，所以2a2-a-3=0，解得a=-1或a=32.
当a=-1时，l1与l2重合，不符合题意
当a=32时，l1与l2不重合，符合题意.
故a=32.

【解析】本题考查了两条直线的交点坐标、两条直线垂直的应用，属基础题.
18.【答案】解：(1)由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在y轴上，
设该圆的半径为r米，则r2=82+(r-4)2，解得r=10，
故该圆弧所在圆的方程为x2+(y+6)2=100.
(2)设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米，则(d2)2+(6+1.6)2=102，解得d=2 42.24.
若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度为5×2.5+4×0.5=14.5>2 42.24，故该隧道不能并排通过5辆该种汽车.
若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度为4×2.5+3×0.5=11.5<2 42.24，故该隧道能并排通过4辆该种汽车.
综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车.

【解析】本题考查圆的标准方程，及应用，属于中档题.
19.【答案】解：(1)由题可知，第3回合由乙发球的概率为34×14+14×34=38.
(2)前3个回合中甲赢的回合数不低于乙，则前3个回合中甲赢的回合数为2或3
甲赢的回合数为3的概率为34×34×34=2764，
甲赢的回合数为2的概率为34×34×14+34×14×14+14×14×34=1564，
故前3个回合中甲赢的回合数不低于乙的概率为2764+1564=2132

【解析】本题考查了概率的计算，属于中档题.
20.【答案】(1)证明：设{BA,BC,BP}为空间的一个基底，因为E，F分别为PA，PC的中点，
所以BE=12BA+12BP，BF=12BC+12BP.
又DG=2GP，所以BG=BD+DG=BD+23DP=BD+23(BP-BD)=13BD+23BP
=13BA+13BC+23BP=23(12BA+12BP)+23(12BC+12BP)=23BE+23BF.
由向量共面的充要条件可知，BG、BE、BF共面，
又BG、BE、BF都过同一点B，
故B，E，G，F四点共面.
(2)解：由正四棱锥的对称性知，V1=2VE-PBG，V2=2VA-PBD
设点E到平面PBG的距离为d1，点A到平面PBD的距离为d2，由E是PA的中点得d2=2d1
由DG=2GP，得S△PBD=3S△PBG
则V1V2=VE-PBGVA-PBD=13S△PBG⋅d113S△PBD⋅d2=16.

【解析】本题考查了空间向量共面定理、空间向量的线性运算、棱锥的体积等知识，属中档题.
21.【答案】解：(1)设P(x,y)，则PA=(-x,4-y)，PO=(-x,-y)
由PA⋅PO=0，得x2-y(4-y)=0
整理得x2+(y-2)2=4，
故C的方程为x2+(y-2)2=4.
(2)l经过定点，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
则由(1)可知x12-y1(4-y1)=0，则kOM=y1x1=x14-y1，kON=y2x2.
由kOM⋅kON=-3，得x14-y1⋅y2x2=-3，即x1y2-3x2y1+12x2=0①.
同理可得，x2y1-3x1y2+12x1=0②.
①-②得x1y2-x2y1=3(x1-x2)，则x1y2-x2y1x1-x2=3.
设直线l与y轴交于Q(0,t)，则由M，N，Q三点共线可知y2-y1x2-x1=t-y10-x1，
整理得x1y2-x2y1=t(x1-x2)
则t=x1y2-x2y1x1-x2=3，即l过定点Q(0,3).

【解析】本题考查圆的方程，直线与圆位置关系，属于中档题.
22.【答案】(1)证明：因为△A1B1C1是等边三角形，Q为A1B1的中点，所以C1Q⊥A1B1.
又AB//A1B1，所以C1Q⊥AB.
因为MQ⊥AB，C1Q∩MQ=Q，所以AB⊥平面MC1Q.
又MC1⊂平面C1MQ，所以MC1⊥AB.
(2)解：取AB靠近点A的四等分点N，连接MN，NQ，易证得MN//C1Q，则MN⊥AB，且MN= 32.
由BB1=4，得QN=3 72.因为MQ= 15，所以MQ2+MN2=QN2，即MQ⊥MN，从而MQ⊥平面ABC.
以M为坐标原点，MN所在直线为x轴，MQ所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则M(0,0,0)，B1(0,1, 15)，C1(- 3,0, 15)，
则MB1=(0,1, 15)，MC1=(- 3,0, 15)
设平面MB1C1的法向量为m=(x,y,z)，则y+ 15z=0,- 3x+ 15z=0,
z=1，得m=( 5,- 15,1).
由图可知，n=(0,1,0)是平面MC1Q的一个法向量.
设平面MB1C1与平面MC1Q的夹角为θ，则csθ=|m⋅n||m||n|= 357.

【解析】本题考查了面面角角的向量求法，线线垂直，属于中档题.