平罗中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份平罗中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2、已知直线与相交,则他们的交点是( )
A.B.C.D.
3、已知,,三点,则的值为( )
A.B.C.3D.2
4、在正方体中,底面ABCD的对角线交于点O,且,,则等于( )
A.B.C.D.
5、过点且与直线垂直的直线方程为( )
A.B.C.D.
6、在空间直角坐标系中,为直线l的一个方向向量,为平面的一个法向量,且,则( )
A.3B.1C.D.
7、直线()的图形可能是( )
A.B.
C.D.
8、已知四棱锥,底面是边长为2的正方形,是以AD为斜边的等腰直角三角形,平面PAD,点是线段PD上的动点(不含端点),若线AB段上存在点F(不含端点),使得异面直线PA与成的角,则线段PE长的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、设向量,,则( )
A.B.C.与的夹角为D.
10、若两条平行直线与之间的距离是,则的可能值为( )
A.3B.C.D.17
11、已知等腰直角三角形ABC的直角顶点为,点A的坐标为,则点B的坐标可能为( )
A.B.C.D.
12、如图所示,正方体的棱长为1,线段上有两个动点E,F且,则下列结论中正确的是( )
A.
B.平面ABCD
C.三棱锥的体积为定值
D.异面直线AE,BF所成的角为定值
三、填空题
13、如图,以长方体的顶点D为坐标原点,过D的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,若的坐标为,则的坐标为________
14、不论m取何实数,直线恒过定点________.
15、已知点,平面a经过原点O,且垂直于向量,则点A到平面a的距离为______.
16、中BC边上的高所在直线方程为,平分线方程为,顶点B的坐标为,则的面积为_______
四、解答题
17、已知,,,,,求:
（1）,,;
（2）与所成角的余弦值.
18、已知直线l经过点,且斜率为.
（1）求直线l的方程;
（2）若直线m与直线l平行,且点P到直线m的距离为3,求直线m的方程.
19、如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,,,,,M为CE的中点.
（1）求证:平面ADEF;
（2）求证:平面BDE.
20、在锐角中,A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
（1）求角C的大小;
（2）若,且,求的周长.
21、已知点.
（1）求过P点且与原点距离为2的直线l的方程;
（2）求过P点且与原点距离最大的直线l的方程,最大距离是多少?
22、如图,三棱锥中,,,,E为BC的中点.
（1）证明:;
（2）点F满足,求二面角的正弦值.
参考答案
1、答案：D
解析:由,得,故斜率为,因,所以倾斜角.
故选:D.
2、答案：B
解析:联立直线方程:,解得:,
即直线的交点坐标为.
本题选择B选项.
3、答案：D
解析:,,,
,,
,故选D.
4、答案：A
解析:如下图所示:
.
故选:A.
5、答案：C
解析:设该直线方程为
由点在该直线上,则,即
即该直线方程为
故选:C
6、答案：C
解析:因为,所以与垂直,
故,解得.
故选:C
7、答案：B
解析:直线()的斜率是a,在y轴上的截距是,
当时,直线在y轴上的截距,此时直线过第一,二,三象限;
当时,直线在y轴上的截距,此时直线过第二,三,四象限,
只有选项B符合.
故选:B.
8、答案：B
解析:由是以AD为斜边的等腰直角三角形,平面PAD,取AD中点G,建立如图空间直角坐标系,
依题意,,,,,设,设,,故,
又,异面直线PA与EF成的角,故,
即,即,,故,又,故.
故选:B
9、答案：BC
解析:,,所以,故A选项错误,B选项正确;
,,则与的夹角为,故C选项正确;
,,,故D选项错误.
故选:BC.
10、答案：AB
解析:由题意,,,所以,所以,即,
由两平行直线间的距离公式得,解得或,
所以或.
故选:AB
11、答案：AC
解析:设,由题意可得
,可化为,
解得:或,即或.
故选:AC
12、答案：ABC
解析:因为,,,
平面,平面,所以平面,
又因为平面,所以,故A项正确;
易知,所以,且平面ABCD,平面ABCD,
所以平面ABCD,故B项正确;
如图1,连结BD交AC于G点.
图1
因为平面,平面,所以,
所以
因为,,,平面,平面,,所以平面.
所以A到平面的距离为,
所以为定值,故C项正确;
D.当,,取F为,如下图2所示:
图2
因为,所以异面直线AE,BF所成角为,,
且;
当,,取E为,如下图3所示:
图3
易知,,所以四边形是平行四边形,所以.
因为,G是AC的中点,所以.
又,,,
所以异面直线AE,BF所成角为,且,
由此可知:异面直线AE,BF所成角不是定值,故错误.
故选:ABC.
13、答案：
解析:如图所示,以长方体的顶点D为坐标原点,
过的三条棱所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,
因为的坐标为,所以,,
所以.
14、答案：
解析:由直线变形为,
令,解得,该直线过定点.
故答案为:.
15、答案：
解析:由题意,,,
,
所以点A到平面a的距离为.
故答案为:.
16、答案：12
解析:由方程组,解得顶点的坐标为,
又AB的斜率为,且x轴是的平分线,故直线AC的斜率为,
AC所在的直线为,即,
已知BC边上的高所在的直线方程为,故BC的斜率为,
BC所在直线的方程为,即,
联立方程组,解得顶点C的坐标为,
所以,点A到直线BC的距离,
所以的面积为.
故答案为:12.
17、答案：（1）,,
（2）
解析:（1）因为,故,解得,,故,.
由可得,解得,故.
（2）,,
故与所成角的余弦值.
18、答案：（1）
（2）或
解析:（1）由直线的点斜式方程得,
整理得直线l的方程为.
（2）直线m与l平行,可设直线m的方程为,
,
即.
或.
故所求直线m的方程为或.
19、答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析:（1）根据题意可知平面平面ABCD,
平面平面,
又ADEF是正方形,所以,平面ADEF,
所以平面ABCD,
即,,两两垂直;
以D为原点,分别以,,分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
则,,,,,,
又M为CE的中点,所以,
则,,,
所以,故,,共面.
又平面ADEF,
所以平面ADEF;
（2）,,
易知,所以;
又,可得;
又,DB,平面BDE,
所以平面BDE.
20、答案：（1）
（2）
解析:（1）由及正弦定理得
因为,故.
又为锐角三角形,所以.
（2）由余弦定理,
,得
解得:或
的周长为.
21、答案：（1）或;
（2）
解析:第一步首先考虑直线的斜率不存在的情况,然后可设直线方程的点斜式,根据原点到直线的距离为2,列方程求出斜率,得出直线方程;第二步过P点且与原点距离最大的直线就是过P点与OP垂直的直线,P点与原点距离就是原点到直线距离的最大值,OP长即为所求.
试题解析:
（1）①当l的斜率k不存在时显然满足要求,
的方程为;
②当l的斜率k存在时,设l的方程为,
即.
由点到直线距离公式得,
,的方程为.
故所求l的方程为或.
（2）易知过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线,由得,所以.
由直线方程的点斜式得,
即.
即直线是过P点且与原点O距离最大的直线,
最大距离为.
22、答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析:（1）连接AE,DE,因为E为BC中点,,所以①,
因为,,所以与均为等边三角形,
,从而②,由①②,,AE,平面ADE,
所以,平面ADE,而平面ADE,所以.
（2）不妨设,,,.
,,又,,DE,平面BCD,平面BCD.
以点E为原点,ED,EB,EA所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示:
设,,,,
设平面DAB与平面ABF的一个法向量分别为,,
二面角平面角为,而,
因为,所以,即有,
,取,所以;
,取,所以,
所以,,从而.
所以二面角的正弦值为.