山东省青岛第五十八中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份山东省青岛第五十八中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、设集合,,则( )
A.B.C.D.
2、下列各组函数表示同一函数的是( )
A.B.
C.D.
3、“成立”是“成立”的( )
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.非充分非必要条件
4、水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面的容器中,则此容器里水的高度与时间的函数关系图象是( )
A.B. C.D.
5、已知函数,则( )
A.1B.2C.4D.5
6、已知实数,则下列不等式一定成立的是( )
A.B.C.D.
7、已知函数的最大值为M,最小值为m,则的值等于( )
A.2B.4C.6D.8
8、函数在区间上的值域为,则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、下列说法中正确的有( )
A.命题,则命题p的否定是,
B.“”是“”的必要条件
C.命题“,”的是真命题
D.“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件
10、若函数同时满足：（1）对于定义域内的任意x,有;（2）对于定义域内的任意,,当时,有,则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数是“理想函数”的是( )
A.B.
C.D.
11、已知正数a,b满足,则( )
A.ab的最大值为B.的最小值为
C.的最小值为4D.的最小值为2
12、已知函数是定义在R上的奇函数,当时,,则下列结论正确的有( )
A.
B.的单调递增区间为,
C.当时,
D.的解集为
三、填空题
13、若幂函数的图像经过点,则___________.
14、___________.
15、已知函数,若在R上是增函数,则实数a的取值范围是_____________.
16、若,,,则的最小值为_____________.
四、解答题
17、已知集合,.
(1)若,求;
(2)设命题,命题,若p是q成立的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
18、已知函数,.
(1)若的解集为,求a的值;
(2)若,求不等式的解集.
19、设矩形ABCD（）的周长为24cm,把沿AC向折叠,AB折过去后交DC于点P,设,.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)求的最大面积及相应x的值.
20、已知函数是定义在R上的偶函数,当时,有.
(1)求函数在上的解析式,并用定义证明在上的单调性;
(2)解关于x的不等.
21、已知某企业原有员工2000人,每人每年可为企业创利3.5万元.为应对国际金融危机给企业带来的不利影响,该企业实施“优化重组,分流增效”的策略,分流出一部分员工待岗.为维护生产稳定,该企业决定待岗人数不超过原有员工的5%,并且每年给每位待岗员工发放生活补贴0.5万元.据评估,当待岗员工人数不超过原有员工1%时,留岗员工每人每年可为企业多创利万元;当待岗员工人数超过原有员工1%时,留岗员工每人每年可为企业多创利0.9万元.为使企业年利润最大,应安排多少员工待岗?
22、对于函数,若存在,使成立,则称为的不动点.已知函数.
(1)当,时,求函数的不动点;
(2)若对任意实数n,函数恒有两个相异的不动点,求实数m的取值范围;
(3)若的两个不动点为,且,当时,求实数n的取值范围.
参考答案
1、答案：B
解析：因为,又,
所以.
故选：B.
2、答案：C
解析：对于A,,定义域和对应法则不一样,故不为同一函数;
对于B,,定义域不同,故不为同一函数;
对于C,,定义域和对应法则均相同,故为同一函数：
对于D,,定义域不同,故不为同一函数.
故选：C.
3、答案：A
解析：解不等式得或,解不等式得或,
由于集合是集合的真子集,
所以成立”是“成立”的充分非必要条件.
故选：A.
4、答案：C
解析：此容器从下往上口径先由大变小,再由小变大,故等速注入液体其高度增加变化先递增较快,然后比较缓慢,A、B选项中：函数图象是单调递增的,与题干不符,故排除;
C、当注水开始时,函数图象往下凸,可得出下方圆台容器下粗上细,符合题意;
D、当注水时间从0到t时,函数图象往上凸,可得出下方圆台容器下细上粗,与题干不符,故排除.
故选：C.
5、答案：B
解析：因为,
所以.
故选：B.
6、答案：C
解析：对于A,取,满足,但,A不成立;
对于B,当时,,B不成立;
对于C,由,可得,故,则一定成立,C正确;
对于D,取,满足,但,故D不成立,
故选：C.
7、答案：B
解析：,设,函数定义域为R,
,函数为奇函数,,
,,故.
故选：B.
8、答案：B
解析：函数的图像抛物线开口向上,对称轴方程为,
,,
函数在区间上的值域为,则有.
故选：B.
9、答案：AD
解析：命题p的否定是,故A正确;
不能推出,例如,但;也不能推出,例如,而;
所以“”是“”的既不充分也不必要条件,故B错误;
当时,,故C错误;
关于x的方程有一正一负根,
所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件,故D正确.
故选：AD.
10、答案：BD
解析：由（1）可知,为奇函数,由（2）可知,在定义域内为单调递减函数,
对于A,定义域为R,又,故为偶函数,故A错误;
对于B,定义域为R,又,故为奇函数,
又在R上单调递减,满足要求,B正确;
对于C,分别在区间和上单调递减,在定义域内不是单调递减,C错误;
对于D：,,
所以是奇函数;
根据二次函数的单调性,易知在和都是减函数,且在处连续,
所以在R上是减函数,所以是“理想函数”,D正确.
故选：BD.
11、答案：AB
解析：a,b为正实数,
,当且仅当时等号成立,又,
,当且仅当,时等号成立,
ab的最大值为,A对,
,时取等号 ,因为,
,其最小值不是2,D错,
由基本不等式可得,当且仅当时等号成立,
又,
,当且仅当,时等号成立,
的最小值为,B对,
,
,当且仅当,时等号成立,
的最小值为8,C错,
故选：AB.
12、答案：BCD
解析：因为函数是定义在R上的奇函数,所以,故A项错误;
因为当时,,所以可得在上单调递增,
又,
所以当时,,当时,,
所以当时,,
所以根据单调性的性质,当时,的单调递增区间为,单调递减区间为,
又因为函数是奇函数,所以设,则,
所以为偶函数,
所以当时,的单调递增区间为,单调递减区间为,
所以的单调递增区间为,,故B项正确;
因为当时,,且是奇函数,
所以当时,,故C项正确;
因为,所以或,
即或,即或,
解得或,即的解集为,故D正确;
故选：BCD.
13、答案：
解析：设,则,所以,
则,所以.
故答案为：.
14、答案：
解析：原式
故答案为：.
15、答案：
解析：因为函数在R上是增函数,则,解得,
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
16、答案：24
解析：
又因为,,
所以,
故有,当且仅当即时等号成立,
则原式
.
当且仅当且即且时等号成立,
故的最小值为24.
故答案为：24.
17、答案：(1)或;
(2).
解析：（1）（1）,
当时,,或,
或;
（2）由题意可得集合B是集合A的真子集,
, 或,解得,
实数a的取值范围是.
18、答案：(1)或
(2)答案见解析
解析：（1）因为的解集为,
所以方程的两根为和,且.
所以,解得或.
（2）因为,所以不等式,即,
当时,,解得,即不等式的解集为;
当时,,解得,即不等式的解集为;
当时,原不等式即,解得,即不等式的解集为.
综上：当时式的解集为,
当时不等式的解集为,
当时不等式的解集为.
19、答案：(1)
(2)最大面积为,
解析：（1）设,则,
,
,解得,
,
由题意可知,,
则,
在中,由勾股定理可得,,
故,
故y与x之间的函数关系式为.
（2）,
当且仅当即时,等号成立,
故当时,的最大面积为.
20、答案：(1)当时,,证明见解析;
(2).
解析：（1）函数是R上的偶函数,当时,
当时,,因此,
证明：,,,
则,
因为,
所以,,
则,即,
所以函数在上单调递减.
（2）由（1）知,函数在上单调递减,
又是R上的偶函数,
所以函数在上单调递增,
故不等式,
整理得,解得或,
所以解集为.
21、答案：16名
解析：设重组后,该企业年利润为y万元.
当待岗人员不超过时,由且,
则;
当待岗人员超过且不超过时,由,得,
则,
综上,且,
当且时,有,
当且仅当,即时取等号,此时y取得最大值,为8840.64;
当且时,函数为减函数.
所以.
综上,当时y有最大值8840.64万元,即要使企业年利润最大,应安排16名员工待岗.
22、答案：(1)-2,4
(2)
(3)
解析：（1）当,时,,
设为不动点,因此,
解得或,
所以-2,4为函数的不动点.
（2）因为恒有两个不动点,
即恒有两个不等实根,
整理为,
所以且恒成立.
即对于任意,恒成立.
令,
则,
解得.
（3）因为,
所以,
设,因为,所以,
由P函数性质得在上单调递增,
所以,
所以,
所以.