2023-2024年人教A版2019选修第一册 专题练习专题3-4 圆锥曲线定点问题 (学生版+教师版)

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圆锥曲线定点问题1 定点问题的含义其实我们早已接触过了定点问题① 二次函数fx=x2-a+1x+a过定点(1 , 0)， 理由是：当x=1时，不管a取什么数，都有y=1-a+1+a=0，故其过定点(1 , 0)；② 指数函数f(x)=ax(a>0 , a≠1)过定点(0 , 1)， 理由是：当x=0时，不管a取什么数，都有y=a°=1，故其过定点(0 , 1)；③ 对数函数g(x)=logax(a>0 , a≠1)过定点1 , 0； 理由是：当x=1时，不管a取什么数，都有y=loga1=0，故其过定点1 , 0；④ 直线方程点斜式:斜率为k，过点x0 , y0的直线方程为y=kx-x0+y0； 那直线y=kx-2+3，由于斜率k不确定，它表示的不是一条确定的直线，而是“直线 簇”，但过定点2 , 3，与k的取值无关；⑤ 圆x-a2+y2=a2，由于a的不确定，它表示的不是一个确定的圆，而是“圆簇”，但过 定点(0 , 0)，与a的取值无关.Eg：曲线x2+λy2=4(λ≠0)恒过定点 .解 从数的角度分析，x2+λy2=4⇒y2∙λ+x2-4=0 (*)，即当x , y取什么值时，不管λ取任何值方程(*)均成立，故由y2=0x2-4=0，解得x=2y=0或x=-2y=0，所以曲线x2+λy2=4(λ≠0)恒过定点2 , 0、-2 , 0.2 求定点问题的方法① 方程恒成立法先求出满足特定条件的方程fx , y , m=0 (其中x , y是变量，m是参数) (*)，再证明当x=x0 , y=y0时，不管m取任何值方程(*)恒成立；Eg求证：直线l：2m+1x+m+1y=7m+4恒过某一定点P，并求该定点的坐标.证明：直线l是一条动直线，它会随着m的变化而变化，若直线l恒过一定点，即不管m取任何值，该点都在直线l上，∵2m+1x+m+1y=7m+4⇒2x+y-7m+x+y-4=0；∴不管m取任何值，方程2x+y-7m+x+y-4=0恒成立，∴只有2x+y-7=0，x+y-4=0同时成立才行，解得x=3y=1，故恒过定点P(3 , 1).点拨：利用方程思想，把某曲线过一定点转化为方程恒成立问题；② 特殊值法通过特殊情况确定定点(一个也可能多个)，再证明它们满足特定条件.Eg求证：直线l：2m+1x+m+1y=7m+4恒过某一定点P，并求该定点的坐标.证明：直线l是一条动直线，它会随着m的变化而变化，当m=0时，直线l1：x+y-4=0； 当m=1时，直线l2：3x+2y-11=0；由x+y-4=03x+2y-11=0，解得x=3y=1，即直线l1与直线l2的交点为(3 , 1)，若直线l：2m+1x+m+1y=7m+4恒过某一定点P，则该点只能是(3 , 1)，显然x=3y=1满足直线l方程2m+1x+m+1y=7m+4，即点(3 , 1)在直线l上；故直线2m+1x+m+1y=7m+4恒过定点P(3 , 1).点拨：通过两条特殊直线，求出交点，确定交点只能是定点，再证明交点满足直线l.③ 几何法通过平几知识点，确定某点符合某种运动规律.注：众多定点问题均与极点极线有关，若有所了解，有利于更快找到解题思路.【题型一】求某直线(或曲线)过定点【典题1】 A、B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB，求证：直线AB经过一个定点. 【典题2】 如图，椭圆x2a2+y2b2=1的两焦点F1 , F2与短轴两端点B1 , B2构成∠B2F1B1为120°，面积为23的菱形．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：y=kx+m与椭圆相交于M , N两点(M , N不是左右顶点)，且以MN为直径的圆过椭圆右顶点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．【典题3】 已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，直线l:x+my－1=0过E的右焦点F．当m=1时，椭圆的长轴长是下顶点到直线l的距离的2倍．(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l与椭圆E交于A，B两点，在x轴上是否存在定点P，使得当m变化时，总有∠OPA=∠OPB(O为坐标原点)？若存在，求P点的坐标；若不存在，说明理由．【典题4】如图等边三角形OAB的边长为83，且三个顶点均在抛物线E:x2=2py(p>0)上．(1)求抛物线E的方程；(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=－1相交于点Q．证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．【典题5】 在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆x29+y25=1的左、右顶点为A、B，右焦点为F．设过点T(9 , m)的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(x1 , y1)、N(x2 , y2)，其中m>0，y1>0 , y20的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC必过x轴上的一定点．【题型二】某动点在定直线(或曲线)上【典题1】设椭圆E：x2a2+y21-a2=1的焦点在x轴上，设F1 , F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．巩固练习1(★★) 已知定点M(x0 , y0)在抛物线m:y2=2px(p>0)上，动点A、B∈m且MA∙MB=0，求证：弦AB必过一定点． 2(★★) 已知椭圆x2a2+y2b2=1的右焦点为F1(2,0)，离心率为e．设A,B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M,BF1的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上．证明点A在定圆上.3(★★) 已知抛物线C：y2=2px(p>0)上横坐标为2的一点P到焦点的距离为3．(1)求抛物线C的方程；(2)设直线OA , OB的斜率分别为k1 , k2 , 且k1•k2=－2，证明：直线l经过定点，求出定点的坐标．4(★★★) 过抛物线E：y2=2px(p>0)上一点M(1 , －2)作直线交抛物线E于另一点N．(1)若直线MN的斜率为1，求线段|MN|的长；(2)不过点M的动直线l交抛物线E于A , B两点，且以AB为直径的圆经过点M，问动直线l是否恒过定点．如果有求定点坐标，如果没有请说明理由．5 (★★★) 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点P(1 , 22)，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一正方形．(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的右焦点F的直线l(与x轴不重合)与椭圆C交于M , N两点．是否存在一定点E(t , 0)，使得x轴上的任意一点(异于点E , F)到直线EM , EN的距离相等？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．6(★★★) 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，且经过点(－1,-32)．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点(1,0)作直线l与椭圆相交于A,B两点，试问在x轴上是否存在定点Q，使得两条不同直线QA,QB恰好关于x轴对称，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．7(★★★) 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22，过左焦点F的直线与椭圆交于A,B两点，且线段AB的中点为(-23,13)．(1)求椭圆C的方程；(2)设M为C上一个动点，过点M与椭圆C只有一个公共点的直线为l1，过点F与MF垂直的直线为l2，求证：l1与l2的交点在定直线上，并求出该定直线的方程． 8(★★★) 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为23，点A,B,D,E分别是C的左、右、上、下顶点，且四边形ADBE的面积为65．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知F是C的右焦点，过F的直线交椭圆C于P,Q两点，记直线AP,BQ的交点为T，求证：点T在定直线l上，并求出直线l的方程．9(★★★) 作斜率为13的直线l与椭圆C：x236+y24=1交于A , B两点(如图所示)，且P(32 , 2)在直线l的左上方．证明：△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上；