2023-2024年人教A版2019选修第一册 专题练习专题3-5 圆锥曲线定值问题 (学生版+教师版)

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圆锥曲线定值问题1 定值问题 在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中，不受相关变元的制约而恒定不变，则称该变量具有定值特征.Eg① 一个球在水平面上无论怎么滚动，球心到水平面的距离都是半径长；② 椭圆上一动点P到两焦点F1、F2的距离之和PF1+PF2为一定值2a；2 解决此类问题的基本策略定值问题往往涉及到一连串的“运动变化”，要确定某几何量的定值，我们要先理解题意，明确“变化的源头”，再找到源头与含定值特征的几何量之间的代数或几何关系，来确定解题的突破口.① 参数法把相关几何量用曲线里的参变量表示，再证明结论与求参数无关；解题步骤 引进参数--列出关系式--化简消参，求出定值.② 由特殊到一般法把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无关.③ 几何法根据几何关系确定相关几何量的不变.【方法一】参数法【典题1】 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F1(－1 , 0)，长轴长与短轴长的比是2:3．(1)求椭圆的方程；(2)过F1作两直线m , n交椭圆于A , B , C , D四点，若m⊥n，求证：1|AB|+1|CD|为定值．【典题2】 椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为35，P(m , 0)为C的长轴上的一个动点，过P点斜率为45的直线l交C于A、B两点．当m=0时，PA⋅PB=-412.(1)求C的方程；(2)求证：PA2+PB2为定值． 【典题3】 已知A、B是椭圆x22+y2=1上的两点，且AF=λFB，其中F为椭圆的右焦点．(1)求实数λ的取值范围；(2)在x轴上是否存在一个定点M，使得MA∙MB为定值？若存在，求出定值和定点坐标；若不存在，说明理由． 【典题4】 一束光线从点F1(－1 , 0)出发，经直线l：2x－y+3=0上一点P反射后，恰好穿过点F2(1 , 0)．(1)求点P的坐标；(2)求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆C的方程；(3)设点Q是椭圆C上除长轴两端点外的任意一点，试问在x轴上是否存在两定点A、B，使得直线QA、QB的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点A、B的坐标；若不存在，请说明理由．【典题5】 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，以椭圆C左顶点T为圆心作圆T:x+22+y2=r2(r>0)，设圆T与椭圆C交于点M与点N．(1)求椭圆C的方程；(2)求TM∙TN的最小值，并求此时圆T的方程；(3)设点P是椭圆C上异于M ,N的任意一点，且直线MP ,NP分别与x轴交于点R ,S ,O为坐标原点，求证：|OR|∙OS为定值．【方法二】“由特殊到一般”法 【典题1】 已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0 , b>0)，F1、F2分别是它的左、右焦点，A(－1 , 0)是其左顶点，且双曲线的离心率为e=2．设过右焦点F2的直线l与双曲线C的右支交于P、Q两点，其中点P位于第一象限内．(1)求双曲线的方程；(2)若直线AP、AQ分别与直线x=12交于M、N两点，证明MF2∙NF2为定值；(3)是否存在常数λ，使得∠PF2A=λ∠PAF2恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．【方法三】几何法【典题1】 已知抛物线C:y2=2px(p>0)经过点(2 , -22)．(1)求抛物线C的方程及其相应准线方程；(2)过点E(2 , 0)作斜率为k1 , k2的两条直线分别交抛物线于M , N和P , Q四点，其中k1+k2=1．设线段MN和PQ的中点分别为A , B，过点E作ED⊥AB，垂足为D．证明：存在定点T，使得线段TD长度为定值． 【典题2】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c , 0), F2(c , 0)．已知(1 , e)和(e，32)都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程；(2)设A , B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P．(i)若AF1－BF2=62，求直线AF1的斜率；(ii)求证：PF1+PF2是定值．巩固练习1 (★★★) 如图，已知椭圆C1：x24+y2=1，过抛物线C2：x2=4y焦点F的直线交抛物线于M ,N两点，连接NO，MO并延长分别交C1于A，B两点，连接AB，△OMN与△OAB的面积分别记为S△OMN，S△OAB．则在下列命题中，正确的是(　　)A．若记直线NO，MO的斜率分别为k1，k2，则k1k2的大小是定值为-14 B．△OAB的面积S△OAB是定值1C．线段OA，OB长度的平方和OA2+OB2是定值5D．设λ=S△OMNS△OAB，则λ≥22(★★) 在平面直角坐标系xoy中，已知焦点为F的抛物线x2=4y上有两个动点A、B，且满足AF=λFB，过A、B两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M．(1)求：OA∙OB的值；(2)证明FM∙AB为定值． 3(★★) 已知，椭圆C过点A(1 , 32)，两个焦点为(－1 , 0) , (1 , 0)．(1)求椭圆C的方程；(2)E , F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．4 (★★★) 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4，上顶点为A，左、右焦点分别为F1 , F2，且∠F1AF2=60°，O为坐标原点．(1)求椭圆C的方程；(2)设点M、N为椭圆C上的两个动点，若OM∙ON=0，问：点O到直线MN的距离d是否为定值？若是，求出d的值；若不是，请说明理由．5(★★★) 已知离心率为223的椭圆x2a2+y2=1(a>1)，与直线l交于P , Q两点，记直线OP的斜率为k1，直线OQ的斜率为k2．(1)求椭圆方程；(2)若k1⋅k2=-19，则三角形OPQ的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．6(★★★) 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)和圆O：x2+y2=b2 , 过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A , B．(1)①若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e；②若椭圆上存在点P，使得∠APB=90°，求椭圆离心率e的取值范围；(2)设直线AB与x轴、y轴分别交于点M , N，求证：a2|ON|2+b2|OM|2为定值． 7(★★★) 已知点M(－2 , 0) , N(2 , 0)，点P满足：直线PM的斜率为k1，直线PN的斜率为k2，且k1⋅k2=-34．(1)求点P(x , y)的轨迹C的方程；(2)过点F(1 , 0)的直线l交曲线C于A , B两点，问在x轴上是否存在点Q，使得QA∙QB为定值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．8 (★★★) 已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上动点P ,Q ,O为原点：(1)若OP2+OQ2=a2+b2，求证：|kOP∙kOQ|为定值；(2)点B(0 ,b)，若BP⊥BQ，求证：直线PQ过定点；(3)若OP⊥OQ，求证：直线PQ为定圆的切线．9(★★★★) 已知P是圆M：x2+y2+4x+4－4m2=0(m>2)上任意一点，点N的坐标为(2 , 0)，线段NP的垂直平分线交直线MP于点Q，当点P在圆M上运动时，点Q的轨迹为C．(1)求出轨迹C的方程，并讨论曲线C的形状；(2)当m=5时，在x轴上是否存在一定点E，使得对曲线C的任意一条过E的弦AB，1|EA|2+1|EB|2为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由．