数学九年级上册1 菱形的性质与判定同步测试题

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知识精讲
知识点01 菱形的定义
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
注意：菱形的定义的两个要素
①是平行四边形。
②有一组邻边相等。二者缺一不可。
即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.。
知识点02 菱形的性质
1．菱形的性质
（1）具有平行四边形的一切性质；
（2）菱形的四条边都相等；
（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
（4）菱形是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心。
注意：
①菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分。
②菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题。
2．菱形的面积计算
（1）平行四边形的面积公式：底×高
（2）两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.
注意：
任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半
知识点03 菱形的判定
菱形的判定方法：
1.菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）。
3.四条边都相等的四边形是菱形。
注意：
前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等。
能力拓展
考法01 菱形的性质
【典例1】如图，在菱形ABCD中，∠D＝110°，则∠1的度数是（ ）
A．35°B．45°C．50°D．55°
【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥AB，
∴∠BAD=180°-∠D=180°-110°=70°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC平分∠BAD，
∴∠1= ∠BAD=35°.
故答案为：A.
【即学即练】如图，在菱形 中， ，对角线 、 相交于点O，E为 中点，则 的度数为（ ）
A．70°B．65°C．55°D．35°
【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴ ，点O是AC的中点， ，
∴∠BAD=180°-∠ABC=110°，
∴∠BAC=55°，
∵E是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴ ，
∴∠COE=∠BAC=55°，
故答案为：C．
【典例2】如图，四边形 A．BCD是菱形，顶点 A．，C的坐标分别是 ， ，点D在x轴上，则顶点B的坐标是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】解：如图，过点C作CE⊥x轴，垂足为E，连接AC、BD，交于点F，
∵顶点A.，C的坐标分别是 ， ，四边形ABCD是菱形，
∴AC∥x轴， AD=DC，FB=FD，AC⊥BD，AO=CE=2，
∴BD⊥ x轴，△AOD≌△CED，
∴DO=DE=4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DF=FB=2，
∴DB=4，
∴点B的坐标为(4，4)，
故答案为：C．
【即学即练】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C在x轴的正半轴上．若点A的坐标是(3,4)，则点B的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：点A的坐标是，
，
四边形为菱形，
，
则点B的坐标为．
故答案为：B．
【典例3】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知AO=2，OB=，则菱形ABCD的面积是（ ）
A．B．C．4D．9
【答案】A
【解析】解：∵在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AO=2，OB=，
∴AC=4，BD=2，
∴菱形ABCD的面积为×4×2=4.
故答案为：A.
【即学即练】如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＋BD＝14，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．12B．20C．24D．48
【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形
∴
∵
∴
设BO=x，则AO=7-x，
在Rt中，
∴
∴
解得，
∴或
∴菱形ABCD的面积=
故答案为：C.
考法02 菱形的判定
【典例4】已知四边形ABCD对角线互相平分，添加以下哪个条件可以使它成为菱形（ ）
A．一组对边相等B．对角线相等
C．对角线垂直D．一个内角为
【答案】C
【解析】解：∵四边形对角线互相平分，
∴ 四边形为平行四边形，
若对角线互相垂直，
∴平行四边形为菱形.
故答案为：C.
【即学即练】如图，四边形 的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：需要添加的条件是 ；
理由如下：
四边形ABCD的对角线互相平分，
四边形ABCD是平行四边形，
，
平行四边形ABCD 是菱形 （一组邻边相等的平行四边形是菱形） ；
故答案为：D.
【典例5】如图，在中，添加下列条件仍不能判定是菱形的是（ ）
A．ACBDB．AB=BCC．AC=BDD．
【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴A．当AC⊥BD时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得是菱形；
B．当AB=BC时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得是菱形；
C．当AC=BD时，有对角线相等的平行四边形是矩形，故本项不能证明是菱形；
D．当∠DAC=∠BAC，AC平分∠ABD时，易证得AD=DC，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得是菱形；
故答案为：C．
【即学即练】四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE=AD，连结EB，EC，DB.添加一个条件，不能使四边形 DBCE成为矩形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：因为平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵AD=DE，
∴DE∥BC，且DE=BC，
∴四边形BCED为平行四边形，
A、∵AB=BE，AD=DE，
∴BD⊥AE，
∴∠EDB=90°，
∴平行四边形BCED为矩形，A选项不符合题意；
B、∵BE⊥DC，
∴平行四边形BCED为菱形，B选项符合题意；
C、∵∠ADB=90°，
∴∠EDB=90°，
∴平行四边形BCED为矩形，C选项不符合题意；
D、∵CE⊥DE，
∴∠CED=90°，
∴平行四边形BCED为矩形，D选项不符合题意.
故答案为：B.
【典例6】如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且 ， ，要使得四边形ABCD是菱形，应添加的条件是 （只填写一个条件）.
【答案】AB=BC（答案不唯一）
【解析】解：应添加的条件是：AB=BC，理由如下：
∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形.
故答案为：AB=BC（答案不唯一）.
【即学即练】如图，请你添加一个适当的条件 ，使平行四边形ABCD成为菱形．
【答案】
【解析】解：由对角线互相垂直的平行四边形是菱形得，应添加条件：，
故答案为： ．
考法03 菱形的应用
【典例7】如图3，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，若PC=4，则PD等于（ ）
A．1B．3C．4D．2
【答案】D
【解析】解：如图：过点P做PM∥CO交AO于M，PM∥CO
∴∠CPO=∠POD，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA
∴四边形COMP为菱形，PM=4
PM∥CO
∴∠PMD=∠AOP+∠BOP=30°，
又∵PD⊥OA
∴PD= PC=2.
故答案为：D.
【即学即练】如图，要拧开一个边长为a＝6 mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为( )
A．6 mmB．12mmC．6 mmD．4 mm
【答案】C
【解析】设正多边形的中心是O，其一边是AB，
∴∠AOB=∠BOC=60°，
∴OA=OB=AB=OC=BC，
∴四边形ABCO是菱形，
∵AB=6mm，∠AOB=60°，
∴cs∠BAC= ，
∴AM=6× = (mm)，
∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，
∴AM=MC= AC，
∴AC=2AM= (mm).
故答案为：C.
【典例8】如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形 ，若测得 之间的距离为 ，点 之间的距离为 ，则线段 的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：如图，连接AC、BD，交于点O，过点B作 于点E，过点D作 于点F，
则 ，
由题意得： ，
四边形ABCD是平行四边形，
在 和 中， ，
，
，
平行四边形ABCD是菱形，
，
则在 中， ，
故答案为：A.
【即学即练】两张全等的矩形纸片 ABCD，AECF 按如图方式交叉叠放在一起，AB=AF，AE=BC.若 AB=1，BC=3，则图中重叠（阴影）部分的面积为（ ）.
A．2B．C．D．
【答案】C
【解析】设BC交AE于G，AD交CF于H，如图所示：
∵四边形ABCD、四边形AECF是全等的矩形，
∴AB=CE，∠B=∠E=90°，AD∥BC，AE∥CF，
∴四边形AGCH是平行四边形，
在△ABG和△CEG中，
，
∴△ABG≌△CEG（AAS），
∴AG=CG，
∴四边形AGCH是菱形，
设AG=CG=x，则BG=BC-CG=3-x，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：12+(3-x)2=x2，
解得：x= ，
∴CG= ，
∴菱形AGCH的面积=CG AB= ，
即图中重叠（阴影）部分的面积为 .
故答案为：C.
【典例9】如图，雨伞不论张开还是收紧，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC.当伞收紧时，点D与点M重合，且点A，E（F），D在同一条直线上.已知伞骨的部分长度如下（单位：cm）：DE=DF=AE=AF=40.
（1）求AM的长.
（2）当伞撑开时，量得∠BAC=110°，求AD的长.（结果精确到1cm）
参考数据：.
【答案】（1）解：由题意得， AM=AE+DE=80cm
（2）解：如图，过点E作EH⊥AD于点H，
由题意，在△AED中，EA=ED，则AD=2AH，
DE=DF=AE=AF=40cm，则AEDF是菱形，
∴=55°
在 Rt△AEH中，
∴AH=40 cs 55°，
AD=2AH ≈2×0.5736×40≈46cm
【即学即练】如图所示，是一种长0.3，宽0.2的矩形瓷砖，E、F、G、H分别为矩形四边BC、CD、DA、AB的中点，阴影部分为淡黄色花纹，中间部分为白色，现有一面长4.2 ，宽2.8的墙壁准备贴如图所示规格的瓷砖．试问：
(1)这面墙最少要贴这种瓷砖多少块?
(2)全部贴满后，这面墙壁会出现多少个面积相同的菱形?
【答案】解：墙壁长4.2，宽2.8，矩形瓷砖长0.3，宽0.2，4.2÷0.3＝14，2.8÷0.2＝14，则可知矩形瓷砖横排14块，竖排14块可毫无空隙地贴满墙面．
(1)则至少需要这种瓷砖14×14＝196(块)．
(2)每块瓷砖中间有一个白色菱形，则共有196个白色的菱形，它的面积等于瓷砖面积的一半．另外在同一个顶点处的瓷砖能够拼成一个淡黄色花纹的菱形，它的面积也等于瓷砖面积的一半，有花纹的菱形横排有13个，竖排也有13个，则一共有淡黄色花纹菱形13×13＝169个，面积相等的菱形一共有196＋169＝365(个)．
分层提分
题组A 基础过关练
1．关于菱形的性质，以下说法错误的是（ ）
A．四条边相等B．对角线相等
C．对角线互相垂直D．是轴对称图形
【答案】B
【解析】解：A、菱形的四条边都相等，A不符合题意；
B、菱形的对角线不一定相等，B符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直，C不符合题意；
D、菱形是轴对称图形，D不符合题意；
故答案为：B．
2．绿丝带是颜色丝带的一种，被用来象征许多事物，例如环境保护、大麻和解放农业等，同时绿丝带也代表健康，使人对健康的人生与生命的活力充满无限希望．某班同学在“做环保护航者”的主题班会课上制作象征“健康快乐”的绿丝带（丝带的对边平行且宽度相同），如图所示，丝带重叠部分形成的图形是（ ）
A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形
【答案】B
【解析】解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
因为两条彩带宽度相同，
所以AB∥CD，AD∥BC，AE=AF．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF．又AE=AF．
∴BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形．
故答案为：B
3．如图，下列条件中，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：A、▱ABCD中，本来就有AB=CD，故本选项错误；
B、▱ABCD中本来就有AD=BC，故本选项错误；
C、▱ABCD中，AB=BC，可利用邻边相等的平行四边形是菱形判定▱ABCD是菱形，故本选项正确；
D、▱ABCD中，AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD是矩形，而不能判定▱ABCD是菱形，故本选项错误.
故答案为：C.
4．若一个菱形的两条对角线的长为3和4，则菱形的面积为 .
【答案】6
【解析】解：菱形的面积.
故答案为：6.
5．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且 ， ，要使得四边形ABCD是菱形，应添加的条件是 （只填写一个条件）.
【答案】AB=BC（答案不唯一）
【解析】解：应添加的条件是：AB=BC，理由如下：
∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形.
故答案为：AB=BC（答案不唯一）.
6．如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为（2，3），则点C的坐标为 .
【答案】（2，﹣3）
【解析】解：∵四边形OABC是菱形，
∴A、C关于直线OB对称，
∵A（2，3），
∴C（2，﹣3），
故答案为：（2，﹣3）.
7．如图，在菱形ABCD中，分别延长AB、AD到E、F，使得BE＝DF，连结EC、FC．
求证：EC＝FC．
【答案】证明：∵ 四边形ABCD是菱形∴ BC＝DC ，∠ABC＝∠ADC∴ 180°－∠ABC＝180°－∠ADC，∴ ∠EBC＝∠FDC∴ △EBC≌△FDC∴ EC＝FC
【解析】根据菱形的性质得出 BC＝DC ，∠ABC＝∠ADC ，根据等角的补角相等得出∠EBC＝∠FDC ，然后利用SAS判断出 △EBC≌△FDC ，根据全等三角形的对应边相等即可得出 EC＝FC。
8．如图，点E，F分别是锐角∠A两边上的点，分别以点E，F为圆心，以AF，AE的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接DE，DF.
（1）请你判断所画四边形的形状，并说明理由；
（2）若AE＝AF，请判断此四边形的形状，并说明理由.
【答案】（1）解：根据题意可得：ED＝AF，AE＝DF
∴四边形AEDF是平行四边形；
（2）解：由（1）得：ED＝AF，AE＝DF
∵AE＝AF
∴AE＝AF＝ED＝DF
∴四边形AEDF是菱形.
【解析】（1）根据题意得出ED＝AF，AE＝DF，进而利用平行四边形的判定解答即可；
（2）由AE＝AF＝ED＝DF，根据四条边都相等的四边形是菱形，即可证得四边形AEDF是菱形.
题组B 能力提升练
1．如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），菱形的对角线的交于点D；若将菱形OABC绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，从如图所示位置起，经过60秒时，菱形的对角线的交点D的坐标为（ ）
A．（1，1）B．（﹣1，﹣1）
C．（-1，1）D．（1，﹣1）
【答案】B
【解析】解：∵四边形OABC是菱形，∴点D是OB的中点，
∵O（0，0），B（2，2）
∴根据中点坐标公式，得点D（ ），即（1，1），
由题意知菱形OABC绕点O逆时针旋转度数为： ，
∴菱形OABC绕点O逆时针旋转 周，
∴点D绕点O逆时针旋转 周，
∵ ，
∴旋转60秒时点D的坐标为 .
故答案为：B.
2．在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为（ ）
A．22B．24C．48D．44
【答案】B
【解析】解： 菱形ABCD，
在Rt△BCO中， 即可得BD=8，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC=DE=6，
BE=BC+CE=10，
∴△BDE是直角三角形，
∴S△BDE=DE•BD=24．
故答案为：B．
3．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC=10，BD=24，则FG的长为（ ）
A．B．8C．D．
【答案】A
【解析】解：连接OE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=5，OB=OD=12，AC⊥BD，
在Rt△AOD中，AD= =13，
又∵E是边AD的中点，
∴OE= AD= ×13=6.5，
∵EF⊥BD，EG⊥AC，AC⊥BD，
∴∠EFO=90°，∠EGO=90°，∠GOF=90°，
∴四边形EFOG为矩形，
∴FG=OE=6.5.
故答案为：A.
4．已知菱形的两条对角线的长分别是10㎝和24㎝，那么菱形的每条边长是 .
【答案】13cm
【解析】解：如下图所示，菱形ABCD中，BD=10cm，AC=24cm
∴BO= BD=5cm，AO= AC=12cm，BD⊥AC
根据勾股定理可得AB= cm
即菱形的每条边长是13cm
故答案为：13cm.
5．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DEAC，CEBD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为 ．
【答案】10
【解析】解：∵DEAC，CEBD，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8，
∴∠DOC＝90，CD＝＝＝10，
∴平行四边形OCED为矩形，
∴OE＝CD＝10，
故答案为：10．
6．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为DC的中点，若，则菱形的周长为 ．
【答案】16
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，且对角线相交于点O
∴点O是AC的中点
∵E为DC的中点
∴OE为△CAD的中位线
∴AD=2OE=2×2=4
∴菱形的周长为：4×4=16
故答案为：16
7．如图，在中，，是的中线，点E是的中点，过点C作CF∥AB交的延长线于点F，连接．请判断四边形的形状，并加以证明．
【答案】证明：四边形BFCD是菱形，理由如下：
在中，∵，是的中线，
∴ ，
∵点是的中点，
∴AE=EF，
∵CF∥AB，
∴∠AFC=∠DAE，∠FCE=∠ADE，
∴△ADE≌△FCE，
∴CF=AD，
∴CF=BD=CD，
∵CF∥AB，
∴四边形BFCD是平行四边形，
∵CF=CD，
∴四边形BFCD是菱形．
【解析】先利用三角形全等的性质得出△ADE≌△FCE，再根据菱形的判定定理即可证出结论。
8．如图，四边形 是平行四边形， ，且分别交对角线 于点 ， ，连接 .若 ，求证：四边形 是菱形.
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AD∥CB，
∴∠DAE=∠BCF，
∵DE∥BF，
∴∠DEF=∠BFE，
∴∠AED=∠CFB，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴DE=BF，
又∵DE∥BF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵BE=DE，
∴四边形EBFD为菱形.
【解析】利用平行四边形的性质可得到AD=CB，AD∥CB， 再利用平行线的性质可推出∠DAE=∠BCF，∠AED=∠CFB，利用AAS证明△ADE≌△CBF，利用全等三角形的性质可推出DE=DF；然后根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知四边形EBFD是平行四边形，由一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证得结论.
题组C 培优拔尖练
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，顺次连结各边中点得到菱形，再顺次连结菱形各边中点，得到矩形，再顺次连结矩形各边中点，得到菱形，…，这样继续下去.则四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：根据题意得：
，
，
故规律为： ，
∴ ，
故答案为：B.
2．如图，在平行四边形 中， ，以点A为圆心， 为半径画弧与 交于点F，然后以大于 为半径，分别以B，F为圆心画弧交于点G，连接 交 于点E，若 ， ，则 的长为（ ）
A．B．C．5D．10
【答案】B
【解析】解：设 交于点H，连接 ，
由作图可知， ， ，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
∴AB=BE，
，
四边形 是平行四边形，
又 ，
四边形 是菱形，
, ， ，
，
，
在 中， ，
，
．
故答案为：B．
3．如图，在菱形ABCD中，E是AD边的中点，连接BE交AC于点F，连接DF，下列四个结论：①△AEF∽△CBF，②CF＝2AF，③DF＝DC，④2S四边形CDEF＝5S△ABF，其中正确正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴ ，
∵E是AD边的中点，
∴AE＝ AD＝ BC，
∴ ，
∴CF＝2AF，故①，②符合题意；
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠DAC=∠DCA
∵∠DFC=∠DAC+∠ADF
∴∠DFC ≠∠DCA
∴△CDF不是等腰三角形
∴DF≠DC，故③不符合题意；
∵△AEF∽△CBF，
∴ ，
∴S△AEF＝ S△ABF，
∵E是AD边的中点，
∴S△ABE＝ S四边形ABCD，
∴S△ABF＝ S△ABE= × S四边形ABCD= S四边形ABCD，
∴S△AEF＝ S四边形ABCD，
又∵S四边形CDEF＝S△ACD−S△AEF＝ S四边形ABCD− S四边形ABCD＝ S四边形ABCD，
∴2S四边形CDEF＝5 S△ABF，故④符合题意；
故答案为：B．
4．如图，已知点A的坐标是，，点B的坐标是，，菱形的对角线交于坐标原点O，则点D的坐标是 ．
【答案】
【解析】解：∵四边形 是菱形，对角线相交于坐标原点O
∴根据平行四边形对角线互相平分的性质，A和C； B和D均关于原点O对称
根据直角坐标系上一点 关于原点对称的点为可得
已知点B的坐标是 ，则点D的坐标是 .
故答案为：.
5．如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AB的中点，F是AC上一个动点，则EF+BF的最小值是 .
【答案】
【解析】解：∵在菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分，
∴点B、D关于AC对称，
连接ED，则ED就是所求的EF+BF的最小值的线段，
∵E为AB的中点，∠DAB=60°，
∴DE⊥AB，
∴ED===3，
∴EF+BF的最小值为3．
6．如图，菱形ABCD中，AB＝12，∠BAD＝60°，E为线段BC的中点.若点P是线段AB上的一动点，Q为线段AD上一动点，则 PQE的周长的最小值是 .
【答案】
【解析】解：分别作点E关于直线AB、AD的对称点M、N，连接PM、NQ、MN，
由对称性质得：PM=PE，QN=QE，
则 PQE的周长=PE+PQ+QE=PM+PQ+QN，
根据两点之间线段最短可知，当M、P、Q、N四点共线时， PQE的周长最小，最小值为MN的长，
连接EM交AB延长线于H，则ME⊥AB于H，
过点N作NG⊥ME交ME延长线于G，连接BD、NE，则NE⊥AD，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=12，
∴AB=BC=CD=12，AD∥BC，AB∥CD，∠C=∠BAD=60°，
∴△BCD是等边三角形，∠EBH=∠DAB=60°，
∵点E为BC在中点，
∴CE=BE= BC=6，DE⊥BC，
∵AD∥BC，
∴DE⊥AD，又 NE⊥AD，
∴点D在线段NE上，
在Rt△CDE中，∠C=60°，
∴ ，∠CDE=90°－∠C=30°，
∴NE=2DE= ，
∵AB∥CD，NG⊥ME，ME⊥AB，
∴NG∥AB∥CD，
∴∠GNE=∠CDE=30°，
∴在Rt△NGE中，GE= NE= ，
∴ ，
在Rt△BHE中，∠BEH=90°－∠EBH=90°－60°=30°，BE=6，
∴BH= BE=3，
∴ ，
∴EM=2EH= ，
∴GM=GE+EM= ，
∴在Rt△MGN中， ，
即 PQE的周长的最小值是 ，
故答案为： .
7．如图， 是等腰三角形，其中 ，将 绕顶点B逆时针旋转 到 的位置， 与 相交于点D， 与 ， 分别相交于点E，F.
（1）求证： ；
（2）当 时，判断四边形 的形状并说明理由.
【答案】（1）证明： ，
，
是由 绕顶点B逆时针旋转而得，
， ， ，
在 和 中， ∠?=∠?1??=?1?∠???=∠?1?? ，
；
（2）解：四边形 是菱形，理由如下：
是等腰三角形， ，
，
又∵ 绕顶点B逆时针旋转 到 的位置，
，
， ，
， .
即四边形 是平行四边形，
又 ，
四边形 是菱形.
【解析】（1）由等腰三角形性质得∠A=∠C，由旋转的性质得∠A=∠A1=∠C ， ∠A1BD=∠CBC1， BC=A1B ，根据ASA证明△BCF≌△BA1D；
（2）四边形A1BCE是菱形，理由：先证明四边形A1BCE是平行四边形，由（1）知BC=A1B ，根据菱形的判定即证.
8．如图，四边形 和四边形 均为菱形，且 ．点 在线段 上，已知 ， ，且 ，连接 ， ，求 的长．
【答案】解：连接 ，交 于点 ，
∵四边形 为菱形，
∴ ， ， 平分 ，
∵四边形 为菱形， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴
在菱形 中，
有 ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中，
有 ，
即 ．
【解析】先求出 ， 再利用锐角三角函数和勾股定理计算求解即可。
课程标准
1.理解菱形的定义、性质以及判定方法。了解菱形与平行四边形之间的关系。
2.会用菱形的性质和判定定理来进行有关的论证和计算，会用菱形的对角线长来计算菱形的面积。
3.通过对菱形与平行四边形关系的研究，进一步加深对“特殊”到“一般”的认识。