初中数学北师大版九年级上册3 正方形的性质与判定巩固练习

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知识精讲
知识点01 正方形的概念
定义：四条边都 ，四个角都是 的四边形叫做正方形。
注意：
（1）判定一个四边形是正方形必须同时满足三个条件：①四边形是平行四边形；②有一组领边相等。③有一个角是直角。
（2）正方形既是矩形，又是菱形。
知识点02 正方形的性质
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
1．正方形的性质定理
（1）定理1：正方形的四个角都是 ，四条边都 。
（2）定理2：正方形的对角线 。
归纳：矩形的角、边、对角线的性质
（1）角：四个角都是直角。
（2）边：四边相等、邻边垂直、对边平行。
（3）对角线：①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角。
2．正方形的对称性
（1）正方形是轴对称图形，共有 对称轴，其中两条是对角线所在的直线，另两条是过每一组对边中点的直线。
（2）正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的 。
知识点03 平行四边形、矩形、菱形、正方形的区别与联系
1．矩形、菱形、正方形之间的关系
矩形、菱形、正方形都是平行四边形，且是 的平行四边形，特殊之处在于：矩形是有一个角为直角的平行四边形；菱形是有一组领边相等的平行四边形；而正方形既是矩形，又是菱形。
2．平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的区别和联系
或者可表示为：
知识点04 正方形的判定
（1）定理1：有一组 的 是正方形。
（2）定理2： 的 是正方形。
（3）定理3：有 的 是正方形。
（4）定理4： 的 是正方形。
知识点05 中点四边形
1．中点四边形的概念
顺次连接任意四边形 所组成的四边形叫做中点四边形。
2．常见的中点四边形
（1）顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形。
（2）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形。
（3）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形。
（4）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形。
（5）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形。
注意：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成
（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形。
（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形。
（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形。
能力拓展
考法01 正方形的性质
【典例1】如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE=CE，则∠CDF的度数为( )
A．45°B．60°C．67.5°D．77.5°
【即学即练】如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC'，连接CC'，DC'，若∠CC'D = 90°，BC'=，则线段C'D的长度为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC和CD上的两点，若AB＝1，△AEF为等边三角形，则CE＝（ ）
A．B．C．D．
【即学即练】如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B′恰好落在AD边上，则BE的长度为（ ）
A．1B．C．D．2
考法02 正方形的判定
【典例3】如图，在平行四边形 中， ， ， ， 是对角线 上的动点，且 ， ， 分别是边 ，边 上的动点．下列四种说法：
①存在无数个平行四边形 ；
②存在无数个矩形 ；
③存在无数个菱形 ；
④存在无数个正方形 ．其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【即学即练】如图，在四边形ABCD中，，，AC，BD交于点O．关于四边形ABCD的形状，甲、乙、丙三人的说法如下：
甲：若添加“”，则四边形ABCD是菱形；
乙：若添加“”，则四边形ABCD是矩形；
丙：若添加“”，则四边形ABCD是正方形．
则说法正确的是（ ）
A．甲、乙B．甲、丙C．乙、丙D．甲、乙、丙
【典例4】如图，正方形 的对角线 、 相交于点O，过点B作 的平行线，过点C作 的平行线，它们相交于点E.求证：四边形 是正方形.
【即学即练】如图，在矩形 ABCD 中，AE 平分∠BAD，交 BC 于 E，过 E 做 EF⊥AD 于 F，连接BF交AE于P，连接PD．
（1）求证：四边形ABEF 是正方形；
（2）如果AB=6，AD=8，求tan∠ADP的值．
考法03 正方形综合应用
【典例5】如图，在四边形 中， ， ， ， . 为 上一点，且 .若 ，则 的长为（ ）
A．B．C．1D．
【即学即练】如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm.现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（ ）
A．6cmB．4cmC．3cmD．2cm
【典例6】在 ABCD中，对角线AC与 DB相交于点O.要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件，下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且 OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD.其中正确的序号是 .
【即学即练】在△ABC中，点D，E，F分别在BC，AB，CA上，且DE//CA，DF//BA，有下列说法：①如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形;②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形;③如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形;④如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是正方形，其中正确的有 .(填序号)
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列说法正确的有几个（ ）
①对角线互相平分的四边形是平行四边形②对角线相等的四边形是矩形③对角线互相垂直的四边形是菱形④对角线相等的平行四边形是矩形⑤对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
A．1个B．2个C．3个D．5个
2．如图，在正方形ABCD中，点O是的内心，连接BO并延长交CD于F点，则的度数是（ ）
A．45°B．60°C．67.5°D．75°
3．若一个正方形的面积是28，则它的边长为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在正方形ABCD中，AB=6，点Q是AB边上的一个动点（点Q不与点B重合），点M，N分别是DQ，BQ的中点，则线段MN=（ ）
A．B．C．3D．6
5．已知正方形ABCD的对角线AC的长为3，则正方形ABCD的边长为 ．
6．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠AEB= 度。
7．如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为BA延长线上一点，且CE=AF．连接DE、DF．求证：DE=DF．
8．如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由
题组B 能力提升练
1．如图，在边长为2的等边三角形的外侧作正方形，过点作，垂足为，则的长为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，E、F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，BD=10，DE=BF=2，则四边形AECF的周长等于（ ）
A．20B．C．30D．
3．如图，将边长为9的正方形ABCD沿MN折叠，使点B落在CD边上的处，点A对应点为，且，则AM的长是（ ）
A．2B．3C．D．
4．如图，在正方形ABCD中，已知边长AB＝5，点E是BC边上一动点（点E不与B、C重合），连接AE，作点B关于直线AE的对称点F，则线段CF的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，正方形ABCD中，E在BC延长线上，AE，BD交于点F，连结FC，若 ，那么 的度数是 ．
6．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，且∠B＋∠C＝90°，分别以AB、AD、DC为边向形外作正方形ABEF、正方形ADHG、正方形DCJI，且其面积依次记为S1、S2、S3，若S1＋S3＝4S2，则 ＝ ．
7．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形BEDF为正方形.
（1）求证；
（2）已知平行四边形ABCD的面积为，.求的长.
8．如图①，四边形是正方形，点E是上一点，连接，以为一边作正方形，连接．
（1）求证：；
（2）如图②，连接交于点H，连接，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，点H恰为中点，求的面积．
题组C 培优拔尖练
1．将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G.若 ， ，则 （ ）
A．3B．4C．D．
2．如图，P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，点E是AB的中点，则PA+PE最小值是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“勾股定理”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块(可重复选取)按图示的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是( )
A．1，4，5B．2，3，5C．3，4，5D．2，2，4
4．如图所示，正方形ABCD的边长为4，点E为线段BC上一动点，连结AE，将AE绕点E顺时针旋转90°至EF，连结BF，取BF的中点M，若点E从点B运动至点C，则点M经过的路径长为（ ）
A．2B．C．D．4
5．如图，已知正方形ABCD的边长为2，延长BC至E点，使CE=BC，连结AE交CD于点F，连结BF并延长与线段DE交于点G，则FG的长是 .
6．如图，在四边形中，，，，连接，，则以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 .（填序号）
7．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点（），连接BE，DE．
（1）求证：；
（2）过点E作交BC于点F，延长BC至点G，使得，连接DG．
①依题意补全图形；
②用等式表示BE与DG的数量关系，并证明．
8．已知正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N，AH⊥MN于点H．
（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系： ；
（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；
（3）如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，AH＝6，求NH的长．（可利用（2）得到的结论）
课程标准
1.理解正方形的概念，知道它与菱形、矩形、平行四边形之间的关系；
2.掌握正方形的性质和判定定理；
3.能够用综合法证明正方形的性质定理和判定定理以及其他相关结论。
类型
平行四边形
矩形
菱形
正方形
边
共性
对边平行且相等
特性
四条边都相等
角
共性
对角相等且邻角互补
特性
四个角都是直角
四个角都是直角
对角线
共性
对角线互相平分
特性
对角线相等
对角线互相垂直
对角线相等且互相垂直
对称性
共性
中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点
特性
不一定是轴对称图形
轴对称图形
有2条对称轴，它们分别是过两组对边中点的直线
有2条对称轴，它们分别是两条对角线所在的直线
有4条对称轴，其中2条是过两组对边中点的直线，另外2条是两条对角线所在的直线