九年级数学上册同步精品讲义 第17讲 反比例函数的图象与性质九年级数学上册同步 (原卷版+解析版)

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第17讲 反比例函数的图象与性质目标导航知识精讲知识点01 反比例函数的概念及表达式注意：（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点.（2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.（3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式.知识点02 确定反比例函数的关系式1．用待定系数法确定反比例函数表达式在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.2．用待定系数法求反比例函数表达式的一般步骤（1）设：设出含有待定系数的反比例函数的表达式。（2）列：把已知条件（自变量和函数的对应值）代入表达式，得到关于待定系数的方程。（3）解：解方程求出待定系数。（4）写：将求得的待定系数的值代入所设的反比例函数的表达式中，即可得到反比例函数的表达式。知识点03 反比例函数的图象和性质1．反比例函数的图象特点反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴.注意：（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；（2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴．2．画反比例函数的图象的基本步骤（1）列表：自变量的取值应以O为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；（4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 3．反比例函数的性质（1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小；（2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大；注意：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号.知识点04 反比例函数表达式中的比例系数的几何意义（1）过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.（2）过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.注意：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.能力拓展考法01 反比例函数的定义【典例1】下列函数中，是反比例函数的是（        ）A．y=x B．y=-2x+3 C．y=- D．y=-【答案】C【解析】解：A．y=x是正比例函数，故此选项不符合题意；B．y=-2x+3是一次函数，故此选项不符合题意；C．y=-是反比例函数，故此选项符合题意；D．y=-不是反比例函数，故此选项不符合题意；故选：C．【即学即练】下列函数中，变量y是x的反比例函数的是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：A、是正比例函数，则此项不符题意；B、叫做是的反比例函数，则此项不符题意；C、叫做是的反比例函数，则此项符合题意；D、是正比例函数，则此项不符题意；故选：C．【典例2】下列说法正确的是(     )A．面积一定的平行四边形的一边和这边上的高成正比例B．面积一定的平行四边形的一边和这边上的高成反比例C．周长一定的等腰三角形的腰长与它底边的长成正比例D．周长一定的等腰三角形的腰长与它底边的长成反比例【答案】B【解析】解：面积一定的平行四边形的一边和这边上的高成反比例，故A错误，B正确；周长一定的等腰三角形的腰长与它底边的长成一次函数，故C、D错误．故选：B．【即学即练】已知经过闭合电路的电流（单位：）与电路的电阻（单位：）是反比例函数关系．根据下表判断和的大小关系为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵电流与电路的电阻是反比例函数关系由表格：；∴在第一象限内，I随R的增大而减小∵∴故选：A考法02 确定反比例函数的解析式【典例3】若点P（1，3）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，则k的值是（        ）A． B．3 C．- D．-3【答案】B【解析】∵点P(1,3)在反比例函数（k≠0）的图象上，∴，即k=3．故选：B．【即学即练】已知函数是关于的反比例函数，则的值为（       ）A．1 B．－1 C． D．【答案】B【解析】解：∵函数是反比例函数，∴，解得：；故选：B【典例4】如果反比例函数的图象经过点，则k的值是（       ）A．1 B． C． D．3【答案】C【解析】解：∵反比例函数的图象经过点，∴．解得．故选：C．【即学即练】已知函数是关于x的反比例函数，则该函数图象位于（       ）A．第一、第三象限 B．第二、第四象限 C．第一、第二象限 D．第三、第四象限【答案】A【解析】解：∵函数是关于x的反比例函数，∴m2-5=-1且m+2≠0，解得m=2，∴m+2＞0，∴图象在第一、第三象限内，故选：A．考法03 反比例函数的图象和性质【典例5】反比例函数的图像如图所示，则这个反比例函数的表达式可能是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：观察函数图象可知：3×（-1）＜k＜（-2）×1，即-3＜k＜-2．故选：D．【即学即练】反比例函数（k为正整数）在第一象限的图象如图所示，已知图中点A的坐标为，则k的值是（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】假设点A在该反比例函数图象上，∴，∵点A实际在该反比例函数图象上方，∴．选项中只有A选项的值小于2．故选A．【典例6】反比例函数y=，关于其函数图象下列说法错误的是（        ）A．位于第二、四象限 B．图象过点（-1,3） C．关于原点成中心对称 D．y随x的增大而增大【答案】D【解析】解：A、反比例函数中的，则该函数图象经过第二、四象限，正确，故本选项不符合题意；B、反比例函数，当时，正确，故本选项不符合题意；C、反比例函数的图象关于原点对称，正确，故本选项不符合题意；D、反比例函数中的，则在每个象限内，随的增大而增大，错误，故本选项符合题意．故选：D．【即学即练】已知函数的图象如图，以下结论：①m＜0；②在每个分支上y随x的增大而增大；③若点A（﹣1，a），点B（2，b）在图象上，则a＜b；④若点P（x，y）在图象上，则点P1（﹣x，﹣y）也在图象上．其中正确的个数是（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】解：①根据反比例函数的图象的两个分支分别位于一、三象限，可得m＞0，故错误，不符合题意；②在每个分支上y随x的增大而减小，故错误，不符合题意；③若点A（﹣1，a）、点B（2，b）在图象上，则a＜b，正确，符合题意；④若点P（x，y）在图象上，则点P1（﹣x，﹣y）也在图象上，正确，符合题意，故选：B．考法04 反比例函数综合【典例7】在反比例函数的图象的每一个分支上，y都随x的减小而增大，则k的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：∵反比例函数的图象的每一个分支上，y都随x的减小而增大，∴k+1＞0，∴k＞-1，故选：C．【即学即练】已知反比例函数y，下列结论中，不正确的是(     )A．图象必经过点（1，2） B．y的值随x值的增大而减小C．图象在第一、三象限内 D．若x＞1，则0＜y＜2【答案】B【解析】解：A、反比例函数y，所过的点的横纵坐标之积=2，故此选项不符合题意；B、反比例函数y，在每一象限内y随x的增大而减小，故此选项符合题意；C、反比例函数y，图象在第一、三象限内，故此选项不合题意；D、反比例函数y，当x＞1时图象在第一象限，y随x的增大而减小，故x＞1时0＜y＜2；故选：B．【典例8】如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A在反比例函数上，顶点B在反比例函数上，点C在x轴的正半轴上，则▱OABC的面积是 (            )．A．5 B．4 C．2 D．不确定【答案】B【解析】解：如图，作轴于点，延长交轴于点，▱OABC为平行四边形，，，轴，，，根据反比例函数系数k的几何意义，，，▱OABC的面积，故选：B．【即学即练】如图，在函数的图像上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数的图像于点B，连接OA，OB，则的面积是（       ）A．3 B．5 C．6 D．10【答案】B【解析】解：如图，作AD⊥x轴，BC⊥x轴，∵，∴∵∴故选：B．分层提分题组A 基础过关练1．已知点A(-2，a)，B(-1，b)，C(3，c)都在函数的图象上，则a、b、c的大小关系是（       ）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【答案】C【解析】解：∵点A(-2，a)，B(-1，b)，C(3，c)都在函数的图象上，∴，，，∴c＜a＜b故选：C．2．下面四个关系式中，是的反比例函数的是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：A、y=3x是一次函数，故此选项不符合题意；B、y=2x2是二次函数，故此选项不符合题意；C、，符合反比例函数的形式，是反比例函数，故此选项符合题意．D、不符合反比例函数的定义，故此选项不符合题意；故选：C．3．已知反比例函数，下列各点中，在此函数图象上的点的是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：由反比例函数可知：，选项中只有D选项横坐标与纵坐标之积为-2；故选D．4．已知反比例函数y＝﹣，下列结论不正确的是（　　）A．图象必经过点(﹣1，2) B．y随x的增大而减小C．图象在第二、四象限内 D．若x＞1，则﹣2＜y＜0【答案】B【解析】解： A、把点代入反比例函数，得成立，故说法正确，不符合题意；B、∵，函数位于二、四象限，在每一象限y随x的增大而增大，故说法错误，符合题意； C、∵，∴它的图象在第二、四象限，故说法正确，不符合题意； D、当时，，故当时，，故说法正确，不符合题意；故选：B．5．如图，在平面直角坐标系中有，，，四个点，其中恰有三点在反比例函数的图象上．根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数的图象上的点是（       ）A．点 B．点 C．点 D．点【答案】C【解析】解：在第一象限内随的增大而减小，用平滑的曲线连接发现点不在函数的图象上故选C6．下列说法正确的是（       ）①反比例函数中自变量x的取值范围是x≠0﹔②点P（3，－2）在反比例函数的图象上；③反比例函数的图象，在每一个象限内，y随x的增大而增大．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【解析】解：①反比例函数中自变量x的取值范围是x≠0，故说法正确；②∵对于反比例函数，当x＝3时，y＝＝﹣2，∴点P（3，－2）在反比例函数的图象上；故说法正确；③∵k＝3＞0，∴反比例函数的图象分别位于第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小，故说法错误；综上，正确说法是①②，故选：A．7．已知y与x-2成反比例，且比例系数为k≠0，若x=3时，y=4，则k=_____．【答案】4【解析】解：由题意知k=y（x-2）∵x=3时，y=4，∴k=4×（3-2）=4．故答案为：48．如图所示，矩形顶点、在轴上，顶点在第一象限，轴为该矩形的一条对称轴，且矩形的面积为6．若反比例函数的图象经过点，则的值为_________．【答案】3【解析】解：轴为该矩形的一条对称轴，且矩形的面积为6，，，故答案为3．9．下列哪些式子表示y是x的反比例函数？为什么？（1）；          （2）；（3）；          （4）（a为常数，）．【答案】（1）（3）（4）是表示y是x的反比例函数，理由见解析【解析】解：（1）可以写成，是反比例函数；（2）不满足反比例函数的定义，不是反比例函数；（3）可以写成，是反比例函数；（4）(a为常数，a≠0)，是反比例函数；综上，（1）（3）（4）是表示y是x的反比例函数，10．在反比例函数图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小．（1）函数经过哪些象限？（2）求的取值范围．【答案】（1）第一、三象限；（2）【解析】解：（1）∵反比例函数的图象上，y随x的增大而减小∴函数经过第一、三象限，（2）∵函数经过第一、三象限，∴5-﹥0，即﹤5题组B 能力提升练1．如果双曲线经过点，那么此双曲线也一定经过（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：双曲线经过点，∴2×(-3)=-6，又∵(-3)×2=-6，∴双曲线也经过点（-3，2）．故选：D．2．若一次函数与反比例次函数有两个交点，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，可得，即有两个不相等的实数根，，，又，且，故选：B．3．如图，是等边三角形，且与x轴重合，反比例函数的图象经过点B，则的面积为（       ）A． B．12 C． D．【答案】C【解析】解：设点B横坐标为x，因为点B在，所以，∵是等边三角形，∴．∴三角形的面积为．故选C．4．关于函数，下列说法中正确的是（       ）A．图像位于第一、三象限 B．图像与坐标轴没有交点C．图像是一条直线 D．y的值随x的值增大而减小【答案】B【解析】解：在y=-中，k=-2＜0，∴图象位于第二、四象限，图象是双曲线，在每一象限内，y随着x增大而增大，故A，C，D选项不符合题意，∵x≠0，y≠0，∴函数图象与坐标轴没有交点，故B选项符合题意，故选：B．5．反比例函数的图象如图所示，则这个反比例函数的表达式可能是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：观察函数图象可知：，即．故选：B．6．对于反比例函数的图象，下列说法不一定正确的是（       ）A．图象经过点(1，-2022) B．图象分布在二、四象限C．图象关于原点成中心对称 D．图象上的两点，，若，则【答案】D【解析】解：A．当x=1时，y=-2022，即图象经过点(1，-2022)，故A一定正确，不符合题意；B．∵k=-2022<0，∴图象分布在二、四象限，故B一定正确，不符合题意；C．图象关于原点成中心对称，故C一定正确，不符合题意；D．∵k=-2022<0，∴图象在每一个象限内，y随x的增大而增大，即当或时，．故选D．7．反比例函数的图像过点、，则______．【答案】0【解析】∵ 反比例函数的图像过点、，∴a=，b=，∴a+b=+=0，故答案为：0．8．如图，已知直线与反比例函数的图象交于M，N两点．若点M的坐标是，则点N的坐标是______．【答案】（－1，－2）【解析】解：∵直线与反比例函数的图象交于M，N两点，∴M，N两点关于原点对称，∵点M的坐标是（1，2），∴点N的坐标是（-1，-2）．故答案为：（－1，－2）.9．如图是反比例函数y＝的图象的一支．根据图象解决下列问题：(1)求m的取值范围；(2)若点A（m-3，b1）和点B（m-4，b2）是该反比例函数图象上的两点，请你判断b1与b2的大小关系，并说明理由．【答案】(1)(2)，理由见解析【解析】(1)解：由图象可知，，解得，∴的取值范围为．(2)解：．理由如下：∵，∴，由反比例函数的图象与性质可知，当时，随着的增大而减小，∴．10．已知点A为函数y（x＞0）图象上任意一点，连接OA并延长至点B，使AB＝OA，过点B作BC//x轴交函数图象于点C，连接OC．(1)如图1，若点A的坐标为（4，n），求点C的坐标；(2)如图2，过点A作AD⊥BC，垂足为D，求四边形OCDA的面积．【答案】(1)（2，2）(2)4【解析】(1)解：将点A坐标代入到反比例函数y中得．∴n＝1．∴点A的坐标为（4，1）．∵AB＝OA，O（0，0），∴点B的坐标为（8，2）．∵BC//x轴，∴点C的纵坐标为2．令y＝2，则2．∴x＝2．∴点C的坐标为（2，2）．(2)解：设．∵AB＝OA，∴点B的坐标为．∵BC∥x轴，∴BC⊥y轴．又∵AD⊥BC，∴AD//y轴．∴点D的坐标为．∴，．∴．∵BC//x轴，且点C在函数图象上，∴．∴．∴．∴四边形OCDA的面积为：S△OBC﹣S△ADB＝4．题组C 培优拔尖练1．如图四个都是反比例函数y的图像．其中阴影部分面积为6的个数是（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】解：第一个图形中阴影部分的面积为6，第二个图形中阴影部分面积为3，第三个图形中阴影部分面积为6，第四个图形中阴影部分面积为12．故选：B．2．下面结论正确的有（       ）（1）如果保持圆的半径不变，圆的周长与圆周率成正比例．（2）如果平行四边形的面积一定，它的底和高成反比例关系．（3）小明从家到学校的时间与他行走的速度成反比例．（4）书的总页数一定，已看的页数与未看的页数成正比例关系．A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（2）（4）【答案】B【解析】解：（1）如果保持圆的半径不变，圆的周长也就一定，不存在变量，所以，如果保持圆的半径不变，圆的周长与圆周率不成正比例，故（1）不符合题意；（2）因为平行四边形的面积＝底×高，所以，如果平行四边形的面积一定，它的底和高成反比例关系，故（2）符合题意；（3）因为小明从家到学校的路程等于小明从家到学校的时间与他行走的速度的乘积，所以，小明从家到学校的时间与他行走的速度成反比例，故（3）符合题意；（4）因为书的总页数等于已看的页数与未看的页数的和，所以，书的总页数一定，已看的页数与未看的页数不成正比例关系，故（4）不符合题意；故正确的有（2）（3），故选：B．3．如图直角三角板∠ABO＝30°，直角项点O位于坐标原点，斜边AB垂直于x轴，顶点A在函数的y1＝图象上，顶点B在函数y2＝的图象上，则＝（　　）A． B． C． D．【答案】D【解析】设AB与x轴交点为点C，Rt△AOB中，∠B＝30°，∠AOB＝90°，∴∠OAC＝60°，∵AB⊥OC，∴∠ACO＝90°，∴∠AOC＝30°，设AC＝a，则OA＝2a，OC＝a，∴A（a，a），∵A在函数y1＝的图象上，∴k1＝a×a＝a2，Rt△BOC中，OB＝2OC＝2a，∴BC＝＝3a，∴B（a，﹣3a），∵B在函数y2＝的图象上，∴k2＝﹣3a×a＝﹣3a2，∴＝，故选：D．4．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，在△ABC中，AB⊥y轴于点B，点C是x轴上一点，点A在反比例函数的图像上，若△ABC的面积为2，则k＝（       ）A．－4 B．4 C．－2 D．2【答案】A【解析】解：设 A 点为（ a ， ），由题目中的图可知， ，解得，，∵反比例函数的图像在第二象限，∴k ﹤0，∴k =-4，故选：A．5．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象在第一、三象限，则关于的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数的值之和是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限，∴ 解得： ∵关于的一元二次方程有实数根，且 解得：且 综上：且 ∵为整数，∴或或，∴ 故选：D．6．已知点，，在反比例函数的图像上，若，则的取值范围为（       ）A． B． C． D．或【答案】D【解析】解：∵，∴图像在一、三象限，在反比例函数图像的每一支上，y随x的增大而减小，， y1＞y2， ①当点（a，y1）、（a＋2，y2）在同一象限时，∵y1＞y2，当在第一象限时，∴，解得；当在第三象限时，∴，解得；综上所述：或；②当点（a，y1）、（a＋2，y2）不在同一象限时，∵y1＞y2，∴a＞0，a＋2＜0，此不等式组无解，因此，本题的取值范围为或，故选：D．7．如图，点，分别在双曲线和上，轴，作轴于点，交于点．若，则的值是______．【答案】9【解析】解： 点，分别在双曲线和上，轴， 轴， 轴， 而， 解得： 故答案为：98．如图，▭ABCD的对角线在y轴上，原点O为的中点，点D在第一象限内，//轴，当双曲线经过点D时，则▭ABCD的面积为______．【答案】8【解析】解：连接BD，∵四边形ABCD是平行四边形，且O点是AC的中点，∴O点是BD的中点，∵D点在反比例函数的图像上，且//轴，∴S△AOD=，∴S▭ABCD=4S△AOD=8，即▭ABCD的面积为8．故答案为：8．9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数(m≠0)的图象交于点A(3，1)，且过点B(0，-2)．(1)求反比例函数和一次函数的表达式．(2)如果点P是x轴上位于直线AB右侧的一点，且ΔABP的面积是3，求点P的坐标．【答案】（1），y=x-2；（2）点P的坐标为(4，0).【解析】（1）∵反比例函数（m≠0）的图象过点A(3，1)，∴，   ∴ m=3，∴反比例函数的表达式为．∵一次函数y=kx+b的图象过点A(3，1)和B(0，-2)，∴解得 ∴一次函数的表达式y=x-2． (2)如图，设一次函数y=x-2的图象与x轴的交点为C，令y=0，则x-2=0，x=2，∴点C的坐标为(2，0)． ∵∴∴PC=2∵点P是x轴上位于直线AB右侧的一点，∴点P的坐标为(4，0)．10．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，B两点．(1)求k的值及点B的坐标；(2)请直接写出不等式的解集；(3)已知轴，以AB、AD为边作菱形ABCD，求菱形ABCD的面积．【答案】(1)k=-6，B（2，-3）(2)x＞2和-2＜x＜0(3)【解析】(1)解：将A(a，3)代入，得，得a=-2，∴A(-2，3)，将A(-2，3)代入，得，得k=-6，∴k=-6，∵点B是反比例函数与正比例函数的交点，点B在第四象限，∴ 解得： 和（舍去），∴B（2，-3）；(2)∵A(-2，3)，B（2，-3），k=-6，∴＞，∵k＜0，反比例函数在每个象限内，y的值随x的值增大而增大，一次函数，y的值随x的值增大而减小，再结合图形可知，x＞2和-2＜x＜0，∴不等式＞的解集为：x＞2和-2＜x＜0；(3)如下图，作AE⊥BC，∵A(-2，3)，B（2，-3），∴AE=6，BE=4，∴，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CB，∵S菱形=BC×AE= ．课程标准1. 理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式．2. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．3. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．4. 会解决一次函数和反比例函数有关的问题．概念一般地，如果两个变量之间的对应关系可以表示成 (为常数，)的形式，那么称是的反比例函数。反比例函数的自变量不能为零。表达式或或5……………12030405060708090100