江西省新余市市直四校2023-2024学年八年级上册第二次月考数学试题（含解析）

这是一份江西省新余市市直四校2023-2024学年八年级上册第二次月考数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每小题3分，共18分）
1．下列图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．在和中，，，若证，还要从下列条件中补选一个，错误的选法是（ ）
A．B．C．D．
4．若中不含的一次项，则的值为（ ）
A．B．C．D．或
5．如图，ABCD为一长条形纸带，ADBC，将ABCD沿EF折叠，C，D两点分别与C'，D'对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（ ）
A．100°B．108°C．120°D．144°
6．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示．若，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
7．在直角坐标系中，点与点关于y轴对称，则m的值为 ．
8．已知是完全平方式，则 ．
9．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，已知一边长是另一边长的2倍，则腰长为 .
10．如图，BD垂直平分线段AC，AE⊥BC，垂足为E，交BD于P点，AE＝7cm，AP＝4cm，则P点到直线AB的距离是 ．
11．若，则的值为 ．
12．如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，下面四个结论：①BP＝CM；②△ABQ≌△CAP；③∠CMQ的度数不变，始终等于60°；④当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．正确的有 ．
三、解答题（每小题6分，共30分）
13．计算：
(1)；
(2)．
14．先化简，再求值：
，其中，．
15．如图，在中，已知，于点D．
(1)如图①，点P为上任意一点，请你用无刻度的直尺在上找出一点，使．
(2)如图②，点P为上任意一点，请你用无刻度的直尺在上找出一点，使．
16．一个正多边形的一个内角减去与它相邻的一个外角的结果为，求这个多边形的边数和内角和度数．
17． 已知：如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF；求证：AD平分∠BAC．

四、解答题（每小题8分，共24分）
18．如图，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)请画出将关于y轴对称后的图形；
(2)请求出的面积；
(3)在x轴上找一点P，使的值最小，作图并根据图像直接写出点P的坐标．
19．如图，在中，，过点作于点，平分交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
20．已知，如图①，在和中，，，
(1)求证：①；②；
(2)如图②，在和中，，，，则与的等量关系为______．的大小为______．（直接写出结果，不需要证明）
五、解答题（每小题9分，共18分）
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内，BD＝BC，∠DBC＝60°，点E在△ABC外，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°．
（1）求∠ADB的度数；
（2）判断△ABE的形状并证明；
（3）连接DE，若DE⊥BD，DE＝6，求AD的长．
22．阅读材料题：
我们知道，所以代数式的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．
例如，求的最小值问题．
解：∵，
又∵，
∴，
∴的最小值为．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)探究：________________；
(2)代数式有最________（填“大”或“小”）值为________；
(3)如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围成的提栏的总长是，楼栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？
六、（本大题共12分）
23．如图1，点A和点B分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且OA=OB，点C和点D分别在第四象限和第一象限，且OC⊥OD，OC=OD，点D的坐标为（m，n），且满足+|n﹣2|=0．
（1）求点D的坐标；（2）求∠AKO的度数；（3）如图2，点P，Q分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且OP=OQ，直线ON⊥BP交AB于点N，MN⊥AQ交BP的延长线于点M，判断ON，MN，BM的数量关系并证明．
参考答案与解析
1．D
【分析】根据轴对称图形的概念，找出对称轴，沿对称轴翻折，两边部分互相重合即可判断．
【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选择：D．
【点睛】本题考查轴对称图的定义与性质，掌握轴对称图的定义与性质，找对称轴的方法是解决问题的关键．
2．D
【分析】本题考查了合并同类项，完全平方公式，根据合并同类项法则以及完全平方公式，进行计算即可求解．
【详解】解：A. 不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. 不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
3．D
【分析】根据全等三角形的判定方法，即“SAS”，“ASA”，“AAS”，“SSS”，根据题目所给的条件选择合适的判定方法即可．
【详解】解：画出和如图所示：
根据题意知：，，
A、符合ASA，故正确，不符合题意；
B、符合SAS，故正确，不符合题意；
C、符合AAS，故正确，不符合题意；
D、若则为“SSA”，不能用来证明三角形全等，故错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，能够熟练掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键．
4．B
【分析】先根据多项式乘以多项式把式子化简，然后根据题意，求出，即可．
【详解】
，
∴含的一次项为：，
∴当不含的一次项时，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查多项式与多项式相乘的乘法法则，计算时注意待定系数法的运用．
5．B
【分析】由题意∠1=2∠2，设∠2=x，易证∠DEF=∠1=∠FE=2x，构建方程即可解决问题．
【详解】解：由翻折的性质可知：∠DEF=∠FE，
∵ADBC，
∴∠DEF=∠1，
∵∠1=2∠2，
∴设∠2=x，则∠DEF=∠1=∠FE=2x，
∵∠2+∠DEF+∠EF=180°，
∴5x=180°，
∴x=36°，
∴∠AEF=∠2+∠EF=x+2x=3x=108°，
故选B．
【点睛】本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
6．C
【分析】设围成的小三角形为，分别用、、表示出的三个内角，再利用三角形的内角和等于列式整理即可得解．
【详解】解：如图，，
，
，
在中，，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、三角形的内角和定理，用、、表示出的三个内角是解题的关键．
7．
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征，可直接得出答案．
【详解】解：点与点关于y轴对称，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查关于y轴对称的点的坐标特征，解题的关键是牢记“关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”．
8．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
9．8
【分析】可设一边长为x，则另一边长为2x，然后分x为腰和底两种情况，表示出周长解出x，再利用三角形三边关系进行验证即可．
【详解】解：设一边为xcm，则另一边为2xcm，
①当长为xcm的边为腰时，此时三角形的三边长分别为xcm、xcm、2xcm，
由题意可列方程：x+x+2x=20，
解得x=5，
此时三角形的三边长分别为：5、5和10，
因为5+5=10，不符合三角形三边之间的关系，所以不符合题意；
②当长为xcm的边为底时，此时三角形的三边长分别为：xcm、2xcm、2xcm，
由题意可列方程：x+2x+2x=20，
解得：x=4，
此时三角形的三边长分别为：4、8、8，满足三角形的三边之间的关系，
∴这个三角形的腰长为8cm；
故答案为8.
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系，分情况讨论且进行三边验证是解题的关键．
10．3cm．
【分析】由已知条件，根据垂直平分线的性质得出AB＝BC，可得到∠ABD＝∠DBC，再利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到答案．
【详解】解：过点P作PM⊥AB与点M，
∵BD垂直平分线段AC，
∴AB＝CB，
∴∠ABD＝∠DBC，即BD为角平分线，
∵AE＝7cm，AP＝4cm，
∴AE﹣AP＝3cm，
又∵PM⊥AB，PE⊥CB，
∴PM＝PE＝3（cm）．
故答案为：3cm．
【点睛】本题综合考查了线段垂直平分线的性质及角平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，角平分线上的点到角两边的距离相等，灵活应用线段垂直平分线及角平分线的性质是解题的关键.
11．4
【分析】本题考查代数式求值——已知式子的值，求值，添括号．掌握整体代入的思想是解决此题的关键．先对变形可得，再根据，将代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴
∴．
故答案为：4．
12．②③④
【分析】根据等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形中所对的直角边是斜边的一半等性质定理判定选项的正确性．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，
根据题意得：AP＝BQ，
在△ABQ和△CAP中，
，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），②正确；
∴∠AQB＝∠CPA，
∵∠BAQ+∠APC+∠AMP＝180°，∠BAQ+∠B+∠AQB＝180°，
∴∠AMP＝∠B＝60°，
∴∠QMC＝60°，③正确；
∵∠QMC＝60°，∠QCM≠60°，
∴∠CQM≠60°，
∴CQ≠CM，
∵BP＝CQ，
∴CM≠BP，①错误；
当t＝时，BQ＝，BP＝，
∵，且
∴
∴△PBQ为直角三角形，
同理t＝时，△PBQ为直角三角形仍然成立，④正确．
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查几何综合问题，涉及全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和含有角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质定理进行证明求解．
13．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了整式的运算，实数混合运算；
（1）根据积的乘方运算法则，单项式乘除法进行计算即可；
（2）根据积的乘方和零指数幂进行计算即可；
解题的关键是熟练掌握相关的运算法则，准确计算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
14．，
【分析】根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则和多项式除以单项式法则化简，然后代入求值即可．
【详解】解：原式
．
当，时，
原式．
【点睛】此题考查的是整式的混合运算，掌握平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则和多项式除以单项式法则是解题关键．
15．(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查无刻度尺作图，等腰三角形的性质，垂直平分线的判定，全等三角形的判定及性质．
（1）连接，交于，连接并延长交于，易证得，即可得出结论；
（2）在上取点，连接，交与，连接，并延长交于，连接，交于，连接，并延长交于，借助（1）的方法即可知，则，结合等腰三角形的性质可得，得，则，可证得，得，进而可得．
利用等腰三角形的性质及全等三角形的判定及性质构造相等的边是解决问题的关键．
【详解】（1）解：如图，点P为所求作的图形，
理由：∵，，
∴，，
∴是的垂直平分线，
连接，交于H，连接并延长交于，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴；
（2）如图，点为所求作的图形，
理由：在上取点，连接，交与，连接，并延长交于，连接，交于，连接，并延长交于，
同（1）的方法即可知：，则，
∵，，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，则，
又∵，
∴，
∴，
∴．
16．这个多边形的内角和为，它的边数为8．
【分析】本题考查的是正多边形的内角和定理的应用，邻补角的性质，本题设每一个外角为，则每一个内角为，再利用邻补角的性质建立方程求解x，再求解多边形的边数，从而可得答案．
【详解】解：设每一个外角为，则每一个内角为，
根据题意，得，解得．
∴，
∴．
答：这个多边形的内角和为，它的边数为8．
17．见解析
【分析】根据已知条件证明△BDE≌△CDF，得到DE=DF，再根据角平分线的判定定理即可得到结论.
【详解】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴DE=DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC.
【点睛】此题考查三角形全等的判定及性质，角平分线的判定定理，正确理解题意证明∴Rt△BDE≌Rt△CDF是解题的关键.
18．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）先根据轴对称的性质画出点，，，再顺次连接即可得；
（2）依据割补法即可求得的面积；
（3）先作点A关于x轴对称的点，再连接，与x轴的交点即为点P，然后利用待定系数法求出所在直线的函数解析式，最后根据等腰直角三角形的性质求出点P的坐标．
【详解】（1）解：即为所求，如图：
（2）解：；
答：的面积为；
（3）解：作点关于x轴对称的点，连接，与x轴的交点即为点P，如图所示：
则，
由两点之间线段最短得：当点、、共线时，取得最小值，
如图，取格点，连接，，则与x轴交于点E，
则，，轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故点P的坐标为．
【点睛】本题考查了画轴对称图形、坐标与轴对称变换、等腰三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识点，熟练掌握轴对称变换是解题关键．
19．(1)见解析；
(2)．
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识;
（1）由结合可证明，，由平分得，由，证得即可．
（2）利用等腰三角形的性质求出,进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∵，
∴．
20．(1)①见详解；②见详解；
(2)，．
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
（1）①根据求出，根据推出；
②根据全等三角形的性质得出，求出∠APB=∠AOB即可．
（2）根据求出，根据推出，根据全等三角形的性质得出AC=BD，，求出即可．
【详解】（1）解：①∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
②设于交于点，
∵，
∴．
（2）解：，，理由是：
∵，
∴ ，
在和中，
∴，
∴，，
设于交于点，
根据三角形内角和可知
∵，
∴，
故答案为：，．
21．（1）150°；（2）等边三角形，证明见解析；（3）3
【分析】（1）首先证明△DBC是等边三角形，推出∠BDC＝60°，再证明△ADB≌△ADC，推出∠ADB＝∠ADC即可解决问题．
（2）结论：△ABE是等边三角形．只要证明△ABD≌△EBC即可．
（3）首先证明△DEC是含有30度角的直角三角形，求出EC的长，理由全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】（1）解：∵BD＝BC，∠DBC＝60°，
∴△DBC是等边三角形，
∴DB＝DC，∠BDC＝∠DBC＝∠DCB＝60°，
在△ADB和△ADC中，
，
∴△ADB≌△ADC（SSS），
∴∠ADB＝∠ADC，
∴∠ADB＝（360°﹣60°）＝150°．
（2）解：结论：△ABE是等边三角形．
理由：∵∠ABE＝∠DBC＝60°，
∴∠ABD＝∠CBE，
在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC（AAS），
∴AB＝BE，
∵∠ABE＝60°，
∴△ABE是等边三角形．
（3）解：连接DE．
∵∠BCE＝150°，∠DCB＝60°，
∴∠DCE＝90°，
∵∠EDB＝90°，∠BDC＝60°，
∴∠EDC＝30°，
∴EC＝DE＝3，
∵△ABD≌△EBC，
∴AD＝EC＝3．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
22．(1)2，1；
(2)大，；
(3)长为米，宽为米时，面积最大为．
【分析】（1）根据完全平方公式同时加上一次项系数一半平方即可得到答案；
（2）将原式变形配方，再根据完全平方非负性即可得到答案；
（3）设花圃长为x，表示出宽，根据面积公式列出式子配方即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得，
，
故答案为：2，1；
（2）解：原式，
∵，
∴，
∴，
故答案为：大，，
（3）解：设花圃长为x米，面积为S，则宽为米，由题意可得，
，
∵
∴，
∴，
∴当时，面积最大为，
故应该长为米，宽为米时，面积最大为．
【点睛】本题考查代数式完全平方配方及最值，解题的关键是读懂题意配方．
23．(1)(4,2);(2)135°;(3)见解析.
【分析】（1）利用非负数的性质即可解决问题；（2）如图1中，作OE⊥BD于E，OF⊥AC于F．只要证明△BOD≌△AOC，推出EO=OF（全等三角形对应边上的高相等），推出OK平分∠BKC，再证明∠AKB=∠BOA=90°，即可解决问题；（3）结论：BM=MN+ON；只要证明△BNH≌△BNO，以及MH=MB即可解决问题；
【详解】解：（1）∵=0，
又∵ ≥0，|n﹣2|≥0，
∴n=2，m=4，
∴点D坐标为（4，2）．
（2）如图1中，作OE⊥BD于E，OF⊥AC于F．
∵OA=OB，OD=OC，∠AOB=∠COD=90°，
∴∠BOD=∠AOC，
∴△BOD≌△AOC，
∴EO=OF（全等三角形对应边上的高相等），
∴OK平分∠BKC，
∴∠OBD=∠OAC，易证∠AKB=∠BOA=90°，
∴∠OKE=45°，
∴∠AKO=135°．
（3）结论：BM=MN+ON．
理由：如图2中，过点B作BH∥y轴交MN的延长线于H．
∵OQ=OP，OA=OB，∠AOQ=∠BOP=90°，
∴△AOQ≌△BOP，
∴∠OBP=∠OAQ，
∵∠OBA=∠OAB=45°，
∴∠ABP=∠BAQ，
∵NM⊥AQ，BM⊥ON，
∴∠ANM+∠BAQ=90°，∠BNO+∠ABP=90°，
∴∠ANM=∠BNO=∠HNB，
∵∠HBN=∠OBN=45°，BN=BN，
∴△BNH≌△BNO，
∴HN=NO，∠H=∠BON，
∵∠HBM+∠MBO=90°，∠BON+∠MBO=90°，
∴∠HBM=∠BON=∠H，
∴MH=MB，
∴BM=MN+NH=MN+ON．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，掌握非负数的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键.