江苏省盐城市射阳县2023-2024学年八年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份江苏省盐城市射阳县2023-2024学年八年级上册期中数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时间：100分钟，分值：120分
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列图形不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知实数m，n满足，则的值为（ ）
A．3B．﹣3C．0D．1
3．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1，1，B．1，2，3C．2，3，4D．4，5，6
4．下列说法正确的是（ ）
A．是有理数B．3的平方根是
C．1＜＜2D．数轴上不存在表示的点
5．如图，△ABC≌△DEF，下列结论不正确的是( )
A．AB=DEB．BE=CFC．BC=EFD．AC=DE
6．下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形一定全等B．面积相等的两个三角形一定全等
C．成轴对称的两个三角形一定全等D．所有的等边三角形都全等
7．如图，在正方形网格中有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形涂黑一个，使得整个黑色图形构成一个轴对称图形．那么涂法共有（ ）
A．3种B．4种C．5种D．6种
8．如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（ ）
A．47B．62C．79D．98
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．一个数的算术平方根是3，这个数是 .
10．在“线段、角、三角形、圆”这四个图形中，是轴对称图形的有 个．
11．直角三角形的斜边长为4，则斜边上中线长为 ．
12．如图，是的边的垂直平分线，垂足为点D，交于点E，且，的周长为12，则的长为 ．

13．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为15，则小正方形的面积为 ．
14．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B=60°，∠C=25°，则∠BAD= ° .
15．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是 ．

16．如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值是 ．
17．如图，△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于G，DM∥BC交∠ABC的外角平分线于M，交AB、AC于F、E，下列结论：①MB⊥BD；②FD＝FB；③MD＝2CE．其中一定正确的是 ．（只填写序号）
18．对于任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如，．，现对72进行如下操作：72第一次第二次第三次，类似地，只需进行4次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 .
三、解答题（本题共7小题，共66分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：
（1）计算：
（2）若8（1﹣x）3＝﹣27，求x的取值范围．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，连接AD，若∠B＝30°，∠DAB＝45°，求∠DAC的度数．
21．如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB=CB，BE=BD，∠1=∠2．
（1）求证：；
（2）证明：∠1=∠3．
22．如图，和都是等腰三角形，和是顶角且．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
23．在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为13m，此人以0.5m/s的速度收绳．10s后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）

24．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜边BC的中点，E．F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，
（1）求证：CF＝AE；
（2）若BE＝8，CF＝6，求线段EF的长．
25．模型发现：
同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．
因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．
特别的，当点C位于 时，线段BC的长取得最大值，且最大值为 （用含b，c的式子表示）（直接填空）
模型应用：
点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接BD，AE．
（1）求证：BD＝AE．
（2）线段AE长的最大值为 ．
模型拓展：
如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．

参考答案与解析
1．C
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，逐一判断即可．此题考查的是轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题关键．
【详解】解：A．选项图形是轴对称图形，故不符合题意；
B．选项图形是轴对称图形，故不符合题意；
C．选项图形不是轴对称图形，故符合题意；
D．选项图形是轴对称图形，故不符合题意．
故选：C．
2．A
【分析】根据绝对值与二次根式的非负性即可求解．
【详解】解：依题意得，，
解得，，
∴，
故选：A．
【点睛】此题主要考查二次根式和绝对值的性质，解题的关键是熟知二次根式的非负性．
3．A
【分析】根据勾股定理的逆定理逐一判断即可.
【详解】解：A、12+12＝（）2，能构成直角三角形，故符合题意；
B、22+12≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；
D、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查的是直角三角形的判定,掌握用勾股定理的逆定理判定直角三角形是解决此题的关键.
4．C
【分析】根据无理数的定义、平方根的定义、算术平方根的取值范围求法和数轴与实数的关系逐一判断即可.
【详解】解：A、是无理数，故本选项错误；
B、3的平方根是±，故本选项错误；
C、因为1＜3＜4，所以1＜＜2，故本选项正确；
D、数轴上的点与实数一一对应,所以数轴上存在表示的点，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】此题考查的是实数的相关概念和性质，掌握无理数的定义、平方根的定义、算术平方根的取值范围求法和数轴上的点与实数一一对应，是解决此题的关键.
5．D
【分析】根据全等三角形的性质即可判断，即两全等三角形对应边相等，对应角相等．
【详解】∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE，AC=DF，BC=EF，∴BE=CF，故A，B，C正确．
故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质，属于中考常考题型．
6．C
【分析】根据全等图形的性质对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、形状相同，大小相等的两个三角形一定全等，故本选项不符合题意；
B、面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项不符合题意；
C、成轴对称的两个三角形一定全等，故本选项符合题意；
D、所有的等边三角形不一定全等，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是全等图形，熟知全等三角形的判定与性质是解答此题的关键．
7．C
【分析】直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案．
【详解】解：如图，将图中其余小正方形涂黑一个，使得整个黑色图形构成一个轴对称图形有一下5种情况．
故选C．
【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
8．C
【分析】依据每列数的规律，即可得到，进而得出的值.
【详解】解：由题可得：……
当


故选：C
【点睛】本题为勾股数与数列规律综合题；观察数列，找出规律是解答本题的关键.
9．9
【详解】一个数的算术平方根是3，这个数是9
10．3
【分析】根据轴对称图形的概念分析判断即可得出结果．
【详解】解：线段、角、圆都是轴对称图形，三角形不一定是轴对称图形，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查的是轴对称图形的概念，正确的掌握轴对称图形的概念是解题的关键．
11．2
【分析】根据斜边中线长为斜边长的一半即可解题．
【详解】解：已知直角三角形的斜边长为4，
则边的中线长为，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了斜边中线长为斜边长的一半的性质，是基础题．
12．5
【分析】本题考查垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段两段的距离相等可得，进而可得，再结合的周长为12，即可求解．
【详解】解：是的垂直平分线，
，
，
的周长为12，即，
，
故答案为：5．
13．6
【分析】观察图形可知，小正方形的面积等于大正方形的面积减去4个直角三角形的面积，利用已知，大正方形的面积为15，可以得出4个直角三角形的面积和，进而求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵大正方形的面积为15，
∴，
∴，即四个小直角三角形的面积和为9，
∴小正方形的面积为．
故答案为：6．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用、正方形的性质以及完全平方式等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
14．70．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC=∠C，根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，计算出结果．
【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠C=25°，
∵∠B=60°，∠C=25°，
∴∠BAC=95°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=70°，
故答案为70．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
15．45
【分析】过D点作于H，由作法得平分，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形面积公式计算．
【详解】解：过D点作于H，如图所示：

由作法得平分，
∵，
∴，
∴的面积．
故答案为：45．
【点睛】本题考查了作图——基本作图：熟练掌握5种基本作图（作已知角的角平分线）．也考查了角平分线的性质．
16．4
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线段最短，角平分线的定义，在上取一点，使得，证明得到，进而推出当三点共线，且时，有最小值，即此时最小，最小值为的长，里面面积法求出的长即可得到答案．
【详解】解：在上取一点，使得，如图所示：

∵平分，
∴
，
，
，
∴当三点共线，且时，有最小值，即此时最小，最小值为的长，
∵的面积为，
∴，
又∵
，
∴最小值为4，
故答案为：4．
17．①②③
【分析】根据角平分线的定义即可证出∠MBD＝90°，从而证出①；根据角平分线、平行线和等腰三角形的关系即可证出②；同理可证MF＝BF，根据等边对等角即可证出：∠ABC＝∠ACB，然后根据平行线的性质可得：∠AFE＝∠ABC，∠AEF＝∠ACB，从而证出∠AFE＝∠AEF，再根据等角对等边即可证出AF＝AE，从而证出BF＝CE，即可证出③．
【详解】解：如图，∵BD、BM分别是∠ABC及其外角的平分线，
∴∠MBD＝∠MBA＋∠DBA=∠NBA＋∠CBA=（∠NBA＋∠CBA）=∠NBC=×180°＝90°，
故MB⊥BD，故①成立；
∵DF∥BC，
∴∠FDB＝∠DBC；
∵∠FBD＝∠DBC，
∴∠FBD＝∠FDB，
∴FD＝BF，故②成立；
同理可证MF＝BF，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵DM∥BC，
∴∠AFE＝∠ABC，∠AEF＝∠ACB，
∴∠AFE＝∠AEF
∴AF＝AE，且AB＝AC，
∴BF＝CE，
∵DF＝BF，MF＝BF
∴MF＝DF
∵∠DBM＝90°，MF＝DF，
∴BF＝DM，而CE＝BF，
∴CE＝DM，③成立．
故答案为：①②③．
【点睛】此题考查的是角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定及性质，掌握角平分线的定义、平行线的性质定理、等边对等角和等角对等边，是解决此题的关键.
18．65535
【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，根据新定义，求第4次操作前，a的最大整数，依次求得最大值，进而即可求解．
【详解】解：，，；，
所以只需进行4次操作后变为1的所有正整数中，最大的是65535
故答案为：65535
19．（1）1+；（2）x＝．
【分析】（1）根据算术平方根的定义和绝对值的性质计算即可；
（2）根据立方根的性质解方程即可.
【详解】解：（1）原式＝2+﹣1＝1+；
（2）8（1﹣x）3＝﹣27，
则1﹣x＝﹣，
解得；x＝．
【点睛】此题考查的是实数的混合运算和解含立方的方程，掌握算术平方根的定义、绝对值的性质和立方根的性质是解决此题的关键.
20．75°．
【分析】根据等边对等角可得∠C＝∠B＝30°，然后根据三角形的内角和定理，即可求出∠BAC，从而求出∠DAC的度数．
【详解】解：∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠C＝∠B＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵∠DAB＝45°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝120°﹣45°＝75°．
【点睛】此题考查的是等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，掌握等边对等角和三角形的内角和等于180°是解决此题的关键.
21．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）先根据角的和差可得，再根据三角形全等的判定定理即可得证；
（2）先根据三角形全等的性质可得，再根据对顶角相等可得，然后根据三角形的内角和定理、等量代换即可得证．
【详解】（1），
，即，
在和中，，
；
（2）由（1）已证：，
，
由对顶角相等得：，
又，
．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、对顶角相等、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据证明三角形全等即可证明；
（2）利用勾股定理的逆定理证明，再证明即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
23．
【分析】在中，利用勾股定理计算出长，再根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，接下来再利用，计算即可求得长．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∵此人以0.5m/s的速度收绳．10s后船移动到点D的位置，
∴，
∴，
∴．
答：船向岸边移动了米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，求出10s后的值是解题的关键．
24．（1）证明见解析；（2）10.
【分析】（1）连接AD，根据等腰直角三角形的性质可得：∠DAC＝∠BAD＝∠C＝45°，AD⊥BC，AD＝DC，然后利用同角的余角相等可证：∠EDA＝∠CDF，然后利用ASA即可证出：△AED≌△CFD，从而证出CF＝AE；
（2）根据全等三角形的性质可得：CF＝AE＝6，从而求出AB、AC和AF，然后根据勾股定理即可求出线段EF的长.
【详解】解：（1）连接AD，
∵在Rt△ABC中，AB＝AC，AD为BC边的中线，
∴∠DAC＝∠BAD＝∠C＝45°，AD⊥BC，AD＝DC，
又∵DE⊥DF，AD⊥DC，
∴∠EDA+∠ADF＝∠CDF+∠FDA＝90°，
∴∠EDA＝∠CDF
在△AED与△CFD中，
，
∴△AED≌△CFD（ASA）．
∴CF＝AE；
（2）∵△AED≌△CFD
∴CF＝AE＝6，
∴AB＝AE+BE＝14＝AC，
∴AF＝AC﹣CF＝8，
∴EF＝＝＝10．
【点睛】此题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理，掌握等腰直角三角形的性质定理、构造全等三角形的方法和用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键.
25．模型发现：线段BA的延长线上；b+c；模型应用：（1）证明见解析；（2）5；模型拓展：9.
【分析】模型发现：根据题意，可发现当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，最大值为b+c；
模型应用：（1）根据等边三角形的性质可得：CD＝CA＝AD，CB＝CE，∠ACD＝60°，∠BCE＝60°，从而证出∠DCB＝∠ACE，然后利用SAS即可证出△DCB≌△ACE，从而证出BD＝AE；
（2）根据题意：当点D位于线段BA的延长线上时，线段BD的长取得最大值，并求出此时BD的最大值，然后根据（1）的结论即可求出AE的最大值；
模型拓展：取AB的中点G，连接OG、CG，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得：OG＝AG=AB＝4，然后根据勾股定理即可求出CG，然后由材料可知：当点O、G、C在同一条直线上时，OC最大，从而求出OC的最大值.
【详解】解：模型发现：当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，最大值为b+c，
故答案为：线段BA的延长线上；b+c；
模型应用：（1）证明：∵△ACD、△BCE都是等边三角形，
∴CD＝CA＝AD，CB＝CE，∠ACD＝60°，∠BCE＝60°，
∴∠DCB＝∠ACE，
在△DCB和△ACE中，
，
∴△DCB≌△ACE（SAS）
∴BD＝AE；
（2）当点D位于线段BA的延长线上时，线段BD的长取得最大值，最大值为AB+AD＝AB+AC＝3+2＝5，
∵AE＝BD，
∴线段AE长的最大值为5，
故答案为：5；
模型拓展：取AB的中点G，连接OG、CG，
在Rt△AOB中，G为AB的中点，
∴OG＝AG=AB＝4，
在Rt△CAG中，CG＝＝＝5，
当点O、G、C在同一条直线上时，OC最大，最大值为4+5＝9．

【点睛】此题考查的是三角形的三边关系、等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质和直角三角形的性质，掌握三角形的三边关系、等边三角形的性质定理、全等三角形的判定定理及性质定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决此题的关键.