湖南省衡阳市衡山县三校联考2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份湖南省衡阳市衡山县三校联考2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（30分）
1．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列图形中−定相似的是（ ）
A．直角三角形都相似B．等腰三角形都相似C．矩形都相似D．等腰直角三角形都相似
3．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是( )
A．B．C．且D．且
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．方程的解为（ ）
A．B．，C．D．，
6．如图，直线，若，，则的值是（ ）

A．B．C．D．
7．某班毕业时，每位同学将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1892张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程（ ）
A．B．
C．D．
8．若0＜ ＜1，那么 的化简结果是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，则（ ）

A．2：3B．1：2C．1：3D．1：4
10．如图，小明晚上由路灯下的点处走到点处时，测得自身影子的长为1米，他继续往前走3米到达点处，测得自己影子的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯的高度是（ ）

A．4.5米B．6米C．7.5米D．8米
二、填空题（18分）
11．式子在实数范围内有意义，则实数a的取值范围是 ．
12．若方程的一个根是，则另一个根是 ．
13．计算： ．
14．如图，要使，可以添加条件∶ ．

15．已知是方程的一个根，那么代数式的值为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，点在函数图象上，若，，则的值为 ．
三、解答题
17．解方程：
(1)
(2)．
18．计算：
(1)
(2)
19．化简求值：，其中x是的整数部分，y是的小数部分．
20．如图，在和中，，．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
21．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论p为何值，方程总有两个不等的实数根；
(2)若方程的两根满足，求p的值．
22．阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦-秦九韶公式”．完成下列问题：如图，在中，，，．

(1)求的面积；
(2)过点A作，垂足为D、求线段的长．
23．超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
(1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．
(2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？
24．如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为和，动点从点出发在线段上以每秒的速度向原点运动，动直线从轴开始以每秒的速度向上平行移动即轴，分别与轴、线段交于点、，连接、，设动点与动直线同时出发，运动时间为秒．

(1)求时，的面积；
(2)直线、点在运动过程中，是否存在这样的使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由；
(3)当为何值时，与相似．
25．我们知道求函数图像的交点坐标，可以联立两个函数解析式组成方程组，方程组的解就是交点的坐标．如：求直线与的交点坐标，我们可以联立两个解析式得到方程组，解得，所以直线与的交点坐标为．请利用上述知识解决下列问题：
（1）求直线和双曲线的交点坐标；
（2）已知直线和抛物线，若直线与抛物线只有一个交点，则的值为_______________；
（3）如图已知点是x轴上的动点，，以AB为边在AB右侧作正方形ABCD，当正方形ABCD的边与反比例函数的图像有4个交点时，请直接求出a的取值范围．
参考答案与解析
1．D
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是.
【详解】A. =，故A选项不符合题意；
B. ，故B选项不符合题意；
C. =，故C选项不符合题意；
D. ，是最简二次根式，符合题意，
故选D.
【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2．D
【分析】根据相似图形的对应边成比例，对应角相等，结合直角三角形、等腰三角形、矩形以及等腰直角三角形的特点对各选项进行分析判断即可．
【详解】解：A、两个直角三角形的边不一定成比例，角不一定相等，故本选项不符合题意；
B、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，故本选项不符合题意；
C、两个矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例，故本选项不符合题意；
D、两个等腰直角三角形的对应边一定成比例，对应角一定相等，所以一定相似故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似图形的定义，从边和角的角度去考虑是本题的关键．
3．D
【分析】本题考查一元二次的定义，以及判别式的意义，据此先得到，从而即可求出的取值范围．
【详解】解：根据题意
解得且
故选：D．
4．D
【分析】分别根据算术平方根的定义、二次根式的加减法则、二次根式的除法和乘法法则逐项判断即得答案．
【详解】解：A、，故本选项运算错误，不符合题意；
B、，故本选项运算错误，不符合题意；
C、，故本选项运算错误，不符合题意；
D、，故本选项运算正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的运算和算术平方根的定义，属于基础题型，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
5．D
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，先移项，再提公因式得到，原方程可化为或，然后解一次方程即可．
【详解】解：，
，
，
或，
，．
故选：D．
6．A
【分析】由平行线分线段成比例直接得到答案．
【详解】解：∵
∴
∵，，则
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，解题的关键在于能够熟练掌握平行线分线段成比例．
7．B
【分析】设全班有x名同学，每位同学送出张照片，据此列出一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设全班有x名同学，根据题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
8．B
【分析】根据x的取值范围，先判断x-1的符号，再开方合并
【详解】∵0