浙江省宁波市宁海县北片校区2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份浙江省宁波市宁海县北片校区2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知＝，则的值是（ ）
A．B．C．D．
2．如果将20个大小重量完全要样的乒乓球放入一个袋中，其中8个白色的，5个黄色的，5个绿色的，2个红色的，那么随机摸出一个乒乓球是红色的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．抛物线y＝2（x+1）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）
4．已知⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离为4.5，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．P在圆内B．P在圆上C．P在圆外D．无法确定
5．将抛物线y＝2x2向上平移3个单位得到的抛物线的解析式是（ ）
A．y＝2x2+3B．y＝2x2﹣3C．y＝2（x+3）2D．y＝2（x﹣3）2
6．如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于C，AB＝8，OC＝3，则⊙O的半径长为（ ）
A．B．3C．4D．5
7．已知点都在函数y＝x2+2x+4的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y1＞y2
8．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠ACD的度数是（ ）
A．72°B．70°C．60°D．45°
9．如图，函数y＝ax2+bx+c与y＝x﹣1的图象如图所示，以下结论正确的是（ ）
A．bc＜0
B．a+b+c＞0
C．2a+b＝1
D．当0＜x＜2时，ax2+（b﹣1）x+c+1＞0
10．如图，在△ABC中，D是边BC上的点（不与点B，C重合）．过点D作DE∥AB交AC于点E；过点D作DF∥AC交AB于点F、N是线段BF上的点，BN＝2NF：M是线段DE上的点，DM＝2ME．若已知△CMN的面积，则一定能求出（ ）
A．△AFE的面积B．△BDF的面积
C．△BCN的面积D．△DCE的面积
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
11．已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝2cm，b＝8cm，则线段c＝ cm．
12．如图：在⊙O中，若∠ACB＝30°，则∠AOB＝ ．
13．抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 ．
14．已知圆的半径为4cm，则120°的圆心角所对的弧长为 ．
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（0≤x≤5）的图象如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，y的取值范围为 ．
16．如图，矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的两个动点，将△BEF沿着直线EF作轴对称变换，得到△B′EF，点B′恰好在边AD上，过点D，F，B′作⊙O，连结OF．若OF⊥BC，AB′＝CF＝6时，则AE＝ ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
17．如图是8×6的正方形网格，已知△ABC，请按下列要求完成作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论）：
（1）将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°得到△A1B1C1，请在图1中作出△A1B1C1；
（2）在图2中，仅用无刻度直尺在线段AC上找一点M，使得．
18．如图，AD、BC是⊙O的两条弦，且AB＝CD，求证：AD＝BC．
19．在一个不透明的袋中装有1个红球、1个白球和1个黑球，共3个球，它们除颜色外都相同．
（1）求从袋中摸出一个球是红球的概率；
（2）摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好颜色相同的概率（要求画树状图或列表）．
20．已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣6．
（1）将y＝2x2﹣4x﹣6化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
（3）当﹣1≤x≤2时，直接写出函数y的取值范围．
21．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）如果E是AC的中点，AD＝8，AB＝10，求AE的长．
22．某书店销售儿童书刊，一天可售出20套，每套盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）若要书店每天盈利1200元，则需降价多少元？
（3）当每套书降价多少元时，书店一天可获最大利润？最大利润为多少？
23．如图①，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），顶点为D（4，﹣1），对称轴与直线BC交于点E，与x轴交于点F．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点M在第一象限抛物线的对称轴上，若点C在BM的垂直平分线上，求点M的坐标；
（3）如图②，过点E作对称轴的垂线在对称轴的右侧与抛物线交于点H，x轴上方的对称轴上是否存在一点P，使以E，H，P为顶点的三角形与△EFB相似，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
24．如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G（不与点O，B重合），连接OF．
（1）若BE＝1，求GE的长．
（2）求证：BC2＝BG•BO．
（3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1．已知＝，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】依据＝，即可得出a＝b，进而得到的值．
解：∵＝，
∴a＝b，
∴＝＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积．
2．如果将20个大小重量完全要样的乒乓球放入一个袋中，其中8个白色的，5个黄色的，5个绿色的，2个红色的，那么随机摸出一个乒乓球是红色的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】让红球的个数除以球的总数即为摸到红球的概率．
解：因为袋中共有乒乓球20个，其中2个是红色的，
所以随机摸出一个乒乓球是红色的概率为＝．
故选：D．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．
3．抛物线y＝2（x+1）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接求出顶点坐标．
解：∵y＝2（x+1）2﹣3是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣1，﹣3），
故选：D．
【点评】考查求二次函数顶点式y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标、对称轴．
4．已知⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离为4.5，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．P在圆内B．P在圆上C．P在圆外D．无法确定
【分析】根据：①点P在圆外⇔d＞r．②点P在圆上⇔d＝r．③点P在圆内⇔d＜r，即可判断；
解：∵r＝4，d＝4.5，
∴d＞r，
∴点P在⊙O外．
故选：C．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
5．将抛物线y＝2x2向上平移3个单位得到的抛物线的解析式是（ ）
A．y＝2x2+3B．y＝2x2﹣3C．y＝2（x+3）2D．y＝2（x﹣3）2
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律．
解：y＝2x2向上平移3个单位得y＝2x2+3．
故选：A．
【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
6．如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于C，AB＝8，OC＝3，则⊙O的半径长为（ ）
A．B．3C．4D．5
【分析】已知AB和OC的长，根据垂径定理可得，AC＝CB＝4，在Rt△AOC中，根据勾股定理可以求出OA．
解：∵OC⊥AB于C，
∴AC＝CB，
∵AB＝8，
∴AC＝CB＝4，
在Rt△AOC中，OC＝3，
根据勾股定理，
OA＝＝5．
故选：D．
【点评】此题主要考查了垂径定理和勾股定理；解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2＝d2+（）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
7．已知点都在函数y＝x2+2x+4的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y1＞y2
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x＝﹣1，根据x＞﹣1时，y随x的增大而增大，即可得出答案．
解：∵y＝x2+2x+4＝（x+1）2+3，
∴图象的开口向上，对称轴是直线x＝﹣1，
∵﹣1＜＜3，
∴y2＞y3＞y1．
故选：C．
【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
8．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠ACD的度数是（ ）
A．72°B．70°C．60°D．45°
【分析】由正五边形的性质可知△ABC是等腰三角形，求出∠B的度数即可解决问题．
解：在正五边形ABCDE中，∠B＝∠BCD＝×（5﹣2）×180＝108°，AB＝BC，
∴∠BCA＝∠BAC＝（180°﹣108°）＝36°，
∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝108°﹣36°＝72°．
故选：A．
【点评】本题主要考查了正多边形与圆，多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形的内角，此题基础题，比较简单．
9．如图，函数y＝ax2+bx+c与y＝x﹣1的图象如图所示，以下结论正确的是（ ）
A．bc＜0
B．a+b+c＞0
C．2a+b＝1
D．当0＜x＜2时，ax2+（b﹣1）x+c+1＞0
【分析】由图象可得，a＞0，c＝﹣1，，抛物线与直线的交点坐标为（0，﹣1），（2，1），则b＜0，进而可判断A的正误；根据二次函数当x＝1时，y＜0，可判断B的正误；将（2，1）代入y＝ax2+bx+c，可判断C的正误；根据当0＜x＜2时，x﹣1＞ax2+bx+c，判断D的正误即可．
解：由图象可得，a＞0，c＝﹣1，，抛物线与直线的交点坐标为（0，﹣1），（2，1），
∴b＜0，
∴bc＞0，A错误，
故不符合要求；
当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，B错误，
故不符合要求；
将（2，1）代入y＝ax2+bx+c得，4a+2b﹣1＝1，即2a+b＝1，C正确，
故符合要求；
当0＜x＜2时，x﹣1＞ax2+bx+c，即ax2+（b﹣1）x+c+1＜0，D错误，
故不符合要求；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象性质，掌握二次函数与不等式，二次函数与一次函数综合等知识是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，D是边BC上的点（不与点B，C重合）．过点D作DE∥AB交AC于点E；过点D作DF∥AC交AB于点F、N是线段BF上的点，BN＝2NF：M是线段DE上的点，DM＝2ME．若已知△CMN的面积，则一定能求出（ ）
A．△AFE的面积B．△BDF的面积
C．△BCN的面积D．△DCE的面积
【分析】如图所示，连接ND，证明△FBD∽△EDC，得出＝，由已知得出 ，则 ，又∠NFD＝∠MEC，则△NFD∽△MEC，进而得出∠MCD＝∠NDB，可得MC∥ND，结合题意得出，即可求解．
解：如图所示，连接ND，
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠ECD＝∠FDB，∠FBD＝∠EDC，∠BFD＝∠A，∠A＝DEC．
∴△FBD∽△EDC，∠NFD＝∠MEC．
∴＝，
∵DM＝2ME，BN＝2NF，
∴，ME＝DE，
∴
∴，
又∵∠NFD＝∠MEC，
∴△NFD∽△MEC．
∴∠ECM＝∠FDN．
∵∠FDB＝∠ECD，
∴∠MCD＝∠NDB．
∴MC∥ND．
∴S△MNC＝S△MDC．
∵DM＝2ME，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
11．已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝2cm，b＝8cm，则线段c＝ 4 cm．
【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解．
解：线段a＝2cm，b＝8cm，线段c是a、b的比例中项，
∴＝，
∴c2＝ab＝2×8＝16，
∴c1＝4，c2＝﹣4（舍去），
∴线段c＝4cm．
故答案为：4．
【点评】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．
12．如图：在⊙O中，若∠ACB＝30°，则∠AOB＝ 60° ．
【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
解：∵∠ACB与∠AOB是同弧所对的圆周角与圆心角，∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝60°．
故答案为：60°．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
13．抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 （3，0） ．
【分析】依据题意，令y＝x2﹣4x+3＝0，即可求得抛物线与x轴的交点的横坐标，从而可以判断得解．
解：由题意，令y＝x2﹣4x+3＝0，
∴（x﹣1）（x﹣3）＝0．
∴x＝1或x＝3．
∴一个交点为（1，0），另一个交点为（3，0）．
故答案为：（3，0）．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点的应用，解题时要熟练掌握并理解是关键．
14．已知圆的半径为4cm，则120°的圆心角所对的弧长为 π cm ．
【分析】直接利用弧长公式计算可得．
解：弧长为＝π（cm）．
故答案为：π cm．
【点评】本题主要考查弧长的计算，解题的关键是掌握弧长公式l＝．
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（0≤x≤5）的图象如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，y的取值范围为 0≤y≤9 ．
【分析】由图象可得函数最大值与最小值．
解：当0≤x≤5时，由图象可得y＝9为函数最大值，y＝0为函数最小值，
故答案为：0≤y≤9．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
16．如图，矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的两个动点，将△BEF沿着直线EF作轴对称变换，得到△B′EF，点B′恰好在边AD上，过点D，F，B′作⊙O，连结OF．若OF⊥BC，AB′＝CF＝6时，则AE＝ 2 ．
【分析】延长FO交AD于点J，设AE＝x．利用垂径定理证明DJ＝JB′＝CF＝3，推出BF＝FB′＝6，利用勾股定理求出FJ＝AB＝3，再在Rt△AEB′中，利用勾股定理求出x即可．
解：延长FO交AD于点J，设AE＝x．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠C＝∠A＝∠B＝90°，AD∥CB，AD＝BC，
∵OF⊥BC，
∴FJ⊥AD，
∴∠AJF＝∠FJD＝90°，
∴四边形ABFJ是矩形，四边形CDJF是矩形，
∴AB＝FJ＝CD，CF＝DJ＝6，
∵OJ⊥DB′，
∴DJ＝JB′＝6，
∴AD＝BC＝6+6+6＝18，
∴BF＝BC﹣CF＝12，
由翻折的性质可知，FB＝FB′＝12，
∴FJ＝＝＝6，
∴AB＝JF＝6，
在Rt△AEB′中，则有x2+62＝（6﹣x）2，
∴x＝2，
∴AE＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查垂径定理，矩形的性质，勾股定理，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
17．如图是8×6的正方形网格，已知△ABC，请按下列要求完成作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论）：
（1）将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°得到△A1B1C1，请在图1中作出△A1B1C1；
（2）在图2中，仅用无刻度直尺在线段AC上找一点M，使得．
【分析】（1）利用旋转的定义分别作出点A、B旋转后所得对应点，再与C点首尾顺次连接即可；
（2）利用相似三角形的判定，结合网格求解即可．
解：（1）如图1所示：△A1B1C1即为所求；
（2）如图2，设正方形网格的边长为1，延长BC到点Q，使CQ＝3，作AP∥BC，且使AP＝2，连接PQ，AC交于
点M，
∴∠P＝∠Q，∠PAC＝∠QCA，
∴△PAM∽△QCM，
∴．
【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质及相似三角形的判定．
18．如图，AD、BC是⊙O的两条弦，且AB＝CD，求证：AD＝BC．
【分析】根据弦和弧的关系，由AB＝CD可得，进而得到＝，即可证明AD＝BC．
【解答】证明：∵AB＝CD，
∴，
∴，
∴＝，
∴AD＝BC．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，掌握圆心角，弧、弦之间的关系定理是解题的关键．
19．在一个不透明的袋中装有1个红球、1个白球和1个黑球，共3个球，它们除颜色外都相同．
（1）求从袋中摸出一个球是红球的概率；
（2）摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好颜色相同的概率（要求画树状图或列表）．
【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及两次摸出的球恰好颜色相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）∵有1个红球、1个白球和1个黑球，
∴从袋中摸出一个球是红球的概率为．
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两次摸出的球恰好颜色相同的结果有3种，
∴两次摸出的球恰好颜色相同的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
20．已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣6．
（1）将y＝2x2﹣4x﹣6化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
（3）当﹣1≤x≤2时，直接写出函数y的取值范围．
【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解．
（2）由二次函数顶点式求解．
（3）根据抛物线开口方向及顶点坐标求解．
解：（1）y＝2x2﹣4x﹣6＝2（x﹣1）2﹣8；
（2）∵y＝2（x﹣1）2﹣8，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣8）．
（3）∵抛物线开口向上，顶点坐标为（1，﹣8）．
∴x＝1时函数最小值为﹣8
将x＝﹣1代入y＝2x2﹣4x﹣6得y＝2+4﹣6＝0，
∴当﹣1≤x≤2时，y的取值范围﹣8≤y≤0．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
21．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）如果E是AC的中点，AD＝8，AB＝10，求AE的长．
【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出证．
（2）由于点E是AC的中点，设AE＝x，根据相似三角形的性质可知＝，从而列出方程解出x的值．
解：（1）∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB；
（2）由（1）可知：△ADE∽△ACB，
∴＝，
∵点E是AC的中点，设AE＝x，
∴AC＝2AE＝2x，
∵AD＝8，AB＝10，
∴＝，
解得：x＝2，
∴AE＝2．
【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
22．某书店销售儿童书刊，一天可售出20套，每套盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）若要书店每天盈利1200元，则需降价多少元？
（3）当每套书降价多少元时，书店一天可获最大利润？最大利润为多少？
【分析】（1）根据题意设出每天降价x元以后，准确表示出每天书刊的销售量，列出利润y关于降价x的函数关系式；
（2）根据题意列出关于x的一元二次方程，通过解方程即可解决问题；
（3）运用函数的性质即可解决．
解：（1）设每套书降价x元时，所获利润为y元，
则每天可出售20+4×＝20+2x套；
由题意得：y＝（40﹣x）（20+2x）
＝﹣2x2+80x﹣20x+800
＝﹣2x2+60x+800；
（2）当y＝1200时，﹣2（x﹣15）2+1250＝1200，
整理得：（x﹣15）2＝25，
解得x＝10或20但为了尽快减少库存，所以只取x＝20，
答：若每天盈利1200元，为了尽快减少库存，则应降价20元；
（3）∵y＝﹣2（x﹣15）2+1250＝1200
则当x＝15时，y取得最大值1250；
即当将价15元时，该书店可获得最大利润1250元．
【点评】此题考查了二次函数及一元二次方程在现实生活中的应用问题；解题的关键是准确列出二次函数解析式，灵活运用函数的性质解题．
23．如图①，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），顶点为D（4，﹣1），对称轴与直线BC交于点E，与x轴交于点F．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点M在第一象限抛物线的对称轴上，若点C在BM的垂直平分线上，求点M的坐标；
（3）如图②，过点E作对称轴的垂线在对称轴的右侧与抛物线交于点H，x轴上方的对称轴上是否存在一点P，使以E，H，P为顶点的三角形与△EFB相似，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线解析式为y＝x2﹣2x+3；
（2）设M（4，t），由y＝x2﹣2x+3得A（2，0），B（6，0），根据点C（0，3）在BM的垂直平分线上，可得（6﹣0）2+（0﹣3）2＝（4﹣0）2+（t﹣3）2，解方程且M在第一象限即得M（4，3+）；
（3）由B（6，0），C（0，3）可得直线BC解析式为y＝﹣x+3，即知E（4，1），EF＝1，BF＝6﹣4＝2，故BF＝2EF，由EH⊥EF，可得H（4+2，1），EH＝2，而点P在x轴上方的对称轴上，有∠PEH＝90°＝∠EFB，使以E，H，P为顶点的三角形与△EFB相似，分EH＝2PE或PE＝2EH两种情况，求出PE即可得E的坐标．
解：（1）由抛物线顶点为D（4，﹣1），设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）2﹣1，
将C（0，3）代入得：16a﹣1＝3，
解得a＝，
∴y＝（x﹣4）2﹣1＝x2﹣2x+3，
即抛物线解析式为y＝x2﹣2x+3；
（2）抛物线y＝（x﹣4）2﹣1对称轴为直线x＝4，设M（4，t），
在y＝x2﹣2x+3中，令y＝0得：x2﹣2x+3＝0，
解得x＝2或x＝6，
∴A（2，0），B（6，0），
∵点C（0，3）在BM的垂直平分线上，
∴BC＝MC，
∴（6﹣0）2+（0﹣3）2＝（4﹣0）2+（t﹣3）2，
解得t＝3+或t＝3﹣，
∵M在第一象限，
∴M（4，3+）；
（3）x轴上方的对称轴上存在一点P，使以E，H，P为顶点的三角形与△EFB相似，
由B（6，0），C（0，3）可得直线BC解析式为y＝﹣x+3，
令x＝4得y＝1，
∴E（4，1），
而F（4，0），
∴EF＝1，BF＝6﹣4＝2，
∴BF＝2EF，
∵EH⊥EF，
∴在y＝x2﹣2x+3，令y＝1得：x2﹣2x+3＝1，
解得x＝4+2或x＝4﹣2，
∵H在对称轴右侧，
∴H（4+2，1），
∴EH＝4+2﹣4＝2，
∵点P在x轴上方的对称轴上，
∴∠PEH＝90°＝∠EFB，
要使以E，H，P为顶点的三角形与△EFB相似，因BF＝2EF，故只需EH＝2PE或PE＝2EH，
①当EH＝2PE时，如图：
∴PE＝EH＝×2＝，
∴PF＝PE+EF＝+1，
∴P（4，+1）；
②当PE＝2EH，如图：
∴PE＝2×2＝4，
∴PF＝PE+EF＝4+1，
∴P（4，4+1），
综上所述，P的坐标为（4，+1）或（4，4+1）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，垂直平分线，相似三角形等知识，解题的关键是掌握垂直平分线的性质和相似三角形判定定理．
24．如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G（不与点O，B重合），连接OF．
（1）若BE＝1，求GE的长．
（2）求证：BC2＝BG•BO．
（3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．
【分析】（1）由垂径定理可得∠AED＝90°，结合CF⊥AD可得∠DAE＝∠FCD，根据圆周角定理可得∠DAE＝∠BCD，进而可得∠BCD＝∠FCD，通过证明△BCE≌△GCE，可得GE＝BE＝1；
（2）证明△ACB∽△CEB，根据对应边成比例可得BC2＝BA•BE，再根据AB＝2BO，BE＝BG，可证BC2＝BG•BO；
（3）方法一：设∠DAE＝∠CAE＝α，∠FOG＝∠FGO＝β，可证a＝90°﹣β，∠OCF＝90﹣3α，通过SAS证明△COF≌△AOF，进而可得∠OCF＝∠OAF，即90°﹣3a＝a，则∠CAD＝2a＝45°．方法二：延长FO交AC于点H，连接OC，证明△AFC是等腰直角三角形，即可解决问题．
【解答】（1）解：直径AB垂直弦CD，
∴∠AED＝90°，
∴∠DAE+∠D＝90°，
∵CF⊥AD，
∴∠FCD+∠D＝90°，
∴∠DAE＝∠FCD，
由圆周角定理得∠DAE＝∠BCD，
∴∠BCD＝∠FCD，
在△BCE和△GCE中，
，
∴△BCE≌△GCE（ASA），
∴GE＝BE＝1；
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠CEB＝90°，
∵∠ABC＝∠CBE，
∴△ACB∽△CEB，
∴＝，
∴BC2＝BA•BE，
由（1）知GE＝BE，
∴BE＝BG，
∵AB＝2BO，
∴BC2＝BA•BE＝2BO•BG＝BG•BO；
（3）解：∠CAD＝45°，证明如下：
解法一：如图，连接OC，
∵FO＝FG，
∴∠FOG＝∠FGO，
∵直径AB垂直弦CD，
∴CE＝DE，∠AED＝∠AEC＝90°，
∵AE＝AE，
∴△ACE≌△ADE（SAS），
∴∠DAE＝∠CAE，
设∠DAE＝∠CAE＝α，∠FOG＝∠FGO＝β，
则∠FCD＝∠BCD＝∠DAE＝α，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝α，
∵∠ACB＝90°，
∴∠OCF＝∠ACB﹣∠OCA﹣∠FCD﹣∠BCD＝90°﹣3α，
∵∠CGE＝∠OGF＝β，∠GCE＝α，∠CGE+∠GCE＝90°，
∴β+α＝90°，
∴α＝90°﹣β，
∵∠COG＝∠OAC+∠OCA＝α+α＝2α，
∴∠COF＝∠COG+∠GOF＝2α+β＝2（90°﹣β）+β＝180°﹣β，
∴∠COF＝∠AOF，
在△COF和△AOF中，
，
∴△COF≌△AOF（SAS），
∴∠OCF＝∠OAF，
即90°﹣3α＝α，
∴α＝22.5°，
∴∠CAD＝2a＝45°．
解法二：
如图，延长FO交AC于点H，连接OC，
∵FO＝FG，
∴∠FOG＝∠FGO，
∴∠FOG＝∠FGO＝∠CGB＝∠B，
∴BC∥FH，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠AHO＝90°，
∵OA＝OC，
∴AH＝CH，
∴AF＝CF，
∵CF⊥AD，
∴△AFC是等腰直角三角形，
∴∠CAD＝45°．
【点评】本题是圆的综合题，考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，特别是第3问，需要大胆猜想，再逐步论证．