甘肃省徽县第一中学2021-2022学年高二上学期期末数学（理）试题

这是一份甘肃省徽县第一中学2021-2022学年高二上学期期末数学（理）试题，共9页。试卷主要包含了本试卷命题范围，已知，，已知抛物线，已知双曲线，已知条件等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
3.本试卷命题范围：必修⑤，选修2-1.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.不等式的解集为（ ）
A.B.
C.D.
2.下列命题中的假命题是（ ）
A.存在，B.存在，
C.任意，D.任意，
3.若，，且，则的最大值是（ ）
A.B.C.D.
4.已知，（，，为两两互相垂直的单位向量），若，则（ ）
A.B.1C.D.2
5.两个正数，的等差中项是，等比中项是，且，则椭圆的离心率为（ ）
A.B.C.D.
6.在中，，，分别是角，，的对边，的面积为，，，则的值为（ ）
A.4B.3C.2D.1
7.已知抛物线（）与倾斜角为45°的一直线相切于点，则该抛物线的焦点坐标为（ ）
A.B.C.D.
8.已知双曲线（，）左支上一点到左焦点的距离为4，到右焦点的距离为8，且双曲线一条渐近线的倾斜角为60°，则该双曲线的方程为（ ）
A.B.C.D.
9.已知条件：，条件：，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
10.不等式对任意实数恒成立，则实数的最大值与最小值之和为（ ）
A.3B.C.2D.
11.已知正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的余弦值是（ ）
A.B.C.D.
12.已知函数则方程有四个实根的充要条件为（ ）
A.B.C.D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.关于的不等式，若此不等式的解集为，则的取值范围是______.
14.已知在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则可用，，表示为______.
15.已知数列（）为等差数列，且，，则数列的通项公式为______.
16.已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上在第一象限内的点，若的面积为，则______.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.（10分）
已知关于的不等式的解集为.
（1）求，的值；
（2）求不等式组所表示的平面区域的面积.
18.（12分）
在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，且最长边的边长为1.
（1）求角的大小；
（2）求最短边的长.
19.（12分）
已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知抛物线：（）的焦点到的渐近线的距离为，上一点到其焦点的距离等于3，求点的横坐标.
20.（12分）
如图，四边形是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成的角为60°.
（1）求二面角的余弦值；
（2）设点是线段上一个动点，试确定的位置，使得平面，并证明你的结论.
21.（12分）
已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，上项点为，设点.
（1）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；
（2）过原点的直线交椭圆于点、，若的面积为，求直线的斜率.
22.（12分）
已知函数的图象经过坐标原点，且，数列的前项和（）.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和；
（3）令，若（为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立.
徽县一中2021—2022学年度第一学期期末考试・高二数学（理科）
参考答案、提示及评分细则
1. B 且，故，所以解集为.
2. C 对于A，当时，，正确；对于B，当时，，正确；对于C，当时，，错误；对于D，任意，，正确.
3. B ，则.
4. C ，.
5. C 解得所以，故.
6. C ，则，，，可得.
由余弦定理得，.
7. B 直线方程代入抛物线方程，由得，抛物线方程为，焦点坐标为.
8. D 由条件可锝，故，再由渐近线的倾斜角为60°可知一条渐近线的斜率为，故，双曲线的方程为
9. A ：，：或.
10. A 在时取得最小值4，故只需，解之得，即的最小值为，最大值为4，最大值与最小值之和为3.
11. A 如图，以为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，，，，，，，设平面的法向量为，则∵，，∴可取.设直线与平面所成角的，则，于是直线与平面所成角的余弦值为.
12. D 当时，，当时，图象如右图所示，要使方程有四个实根，需满足.
13. 由不等式的解集形式知对应函数图象开口向下，得.
14. .
15. 设等差数列的公差为，由，，得，解得，所以，即.
16. 由题知，，则，则，
则，，，.
17.解：（1）由题意得即有.
（2）由约束条件画出可行域，如图所示，
则不等式组所表示的平面区域的面积.
18.解：（1）
.
∵，∴.
（2）∵，∴，均为锐角，则，
又为钝角，∴最短边为，最长边为
由，解得.
由，得.
19.解：（1）∵，∴可设双曲线方程为.
∵该双曲线过点，∴，即.
∴双曲线方程为.
（2）抛物线的焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为，
由题意得：，可得，∴抛物线的方程为.
设点的横坐标为，则，解得.
20.解：（1）分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示.
∵与平面所成的角为60°，∴.
∵正方形的边长为3，所以，，.
则，，，，，
∴，.
设平面的法向量为，
则即
令，则.
∵平面，∴为平面的一个法向量，
∴.
∴二面角的余弦值为.
（2）点是线段上一个动点，设.则，
∵平面，∴，解得.
此时，点的坐标为，，符合题意.
21.解：（1）由已知得椭圆的短半轴，焦半距，则长半轴.
又椭圆的焦点轴上，∴椭圆的标准方程为.
设线段的中点为，点的坐标是，
由得
由点在椭圆上，得，
∴线段中点的轨迹方程是.
（2）当直线垂直于轴时，，因此的面积.
当直线不垂直于轴时，设该直线方程为，代入，
解得，，则.
又点到直线的距离，
∴的面积，
即，解得.
22.解:（1）∵的图象过原点，∴.
∴.
当时，，
又∵适合，
∴数列的通项公式为.
（2）由得：（），
∴，①
.②
②－①得：，
∴.
（3），故.
要使恒成立，
即要恒成立，
即要恒成立.下面分为奇数、为偶数讨论：
①当为奇数时，即恒成立.又的最小值为1.∴.
②当为偶数时，即恒成立.又的最大值为，∴.
综上，
又为非零整数，∴时，使得对任意，都有成立.