2023-2024学年八年级数学上学期期末模拟卷（能力提升卷01）人教版 含答案解析

这是一份2023-2024学年八年级数学上学期期末模拟卷（能力提升卷01）人教版 含答案解析，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
2．如果，，那么的值为( )
A． B． C． D．不能确定
3．若m－n＝2，则代数式的值是（ ）
A．－2B．2C．－4D．4
4．如图，中，是边上的中线，是中边上的中线，若的面积是，则的面积（ ）
A．5B．6C．9D．
5．如图，在五边形中，，分别是的外角，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．已知点与点关于某条直线对称，则这条直线是（ ）
A．轴B．轴
C．过点且垂直于轴的直线D．过点且平行于轴的直线
7．《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（ ）
A．B．C．D．
8．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是（ ）
A．1.5B．2 C． D．
9．如图，等边中，为中点，点、分别为、上的点，且，，在上有一动点，则的最小值为（ ）
A．7B．8C．10D．12
10．如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．计算： ．
12．分解因式： ．
13．若分式的值为负数，则x的取值范围是 ．
14．已知a，b，c是△ABC的三边长，满足，c为奇数，则△ABC的周长为 ．
15．在中，为边上的高，，，则是 度．
16．如图是由九个边长为1的小正方形拼成的大正方形，图中∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数为 ．
17．如图，中，，则点B的坐标为 ．
18．如图，在中，，，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为，当时，则的度数为 ．
三、解答题（共66分）
19．（9分）（1）分解因式：；
（2）分解因式：；
（3）利用分解因式证明：能被33整除．
20．（9分）计算：
(1)化简下列各式：
①；
②．
(2)先化简：，再从中选一个适合的整数代入求值．
21．（7分）如果一个正多边形的每个外角都为45°．
(1)求这个正多边形的边数；
(2)若截去一个角（截线不经过多边形的顶点），求截完角后所形成的另一个多边形的内角和．
22．（7分）如图，已知点是的中点，CD//BE，且．
（1）求证：△ACD≌△CBE．
（2）若，求∠B的度数．
23．（8分）已知，点C在的平分线上，点B、D分别在、上，连接、．
(1)如图1，若，请直接写出线段与的数量关系；
(2)如图2，，郑么（1）中探究的结论是否成立？若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由．
24．（8分）“冰墩墩”和“雪容融”作为第24届北京冬奥会和残奥会的吉祥物深受大家喜爱，某文旅店订购“冰墩墩”花费6000元，订购“雪容融”花费3200元，其中“冰墩墩”的订购单价比“雪容融”的订购单价多20元，并且订购“冰墩墩”的数量是“雪容融”的1.25倍．
(1)求文旅店订购“冰墩墩”和“雪容融”的数量分别是多少个；（请列分式方程作答）
(2)该文旅店以100元和80元的单价销售“冰墩墩”和“雪容融”，在“冰墩墩”售出，“雪容融”售出后，文旅店为了尽快回笼资金，决定对剩余的“冰墩墩”每个打a折销售，对剩余的“雪容融”每个降价2a元销售，很快全部售完，若要保证文旅店总利润不低于6060元，求a的最小值．
25．（9分）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
(1)问题发现：
如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；
图1
(2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.
图2
26．（9分）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，点E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系．
（1）思路梳理
将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F，D，G三点共线，易证△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为__；
（2）类比引申
如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC延长线上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，直接写出DE的长为________________.
参考答案及解析
1．A
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据定义即可进行判断．
【详解】解：A．把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形是因式分解，故此选项符合题意；
B．等式的左边不是多项式，原变形不是因式分解，故此选项不符合题意；
C．不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形不是因式分解，故此选项不符合题意；
D．原变形是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义，要注意因式分解是整式的变形，并且因式分解与整式的乘法互为逆运算．
2．B
【分析】逆用幂的乘方及同底数幂的除法即可完成．
【详解】
故选：B．
【点睛】本题考查了幂的乘方的逆用及同底数幂的除法的逆用，用好这两个运算性质是关键．
3．D
【分析】先因式分解，再约分得到原式＝2（m-n），然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
【详解】解：原式•
＝2（m-n），
当m-n＝2时，原式＝2×2＝4．
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
4．B
【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可解答．
【详解】解：∵是边上的中线
∴，
∵是中边上的中线，
∴，
∴
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形面积的求法，三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键．
5．A
【分析】如图，反向延长，根据平行线的性质可得，再结合多边形外角和定理即可求解．
【详解】解：反向延长，
∵，
∴，
根据多边形的外角和定理可得，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查多边形外角和问题，平行线的性质，解题的关键是掌握多边形外角和为360度．
6．C
【分析】由题意PQ∥x轴，所以过PQ中点且垂直于x轴的直线即为所求的直线，然后根据选项内容进行判断．
【详解】解：∵点，点
∴PQ∥x轴，
设PQ的中点为M
则M点坐标为，即
∴点与点关于经过点且垂直于轴的直线对称
故选项A，B，D错误；
又∵在这条直线上，
∴选项C符合题意
故选：C．
【点睛】本题考查点的坐标及轴对称，掌握轴对称的性质，利用数形结合思想解题是关键．
7．D
【分析】设边衬的宽度为x米，则整幅图画宽为(1.4+2x)米, 整幅图画长为(2.4+2x)米,根据整幅图画宽与长的比是8：13，列出方程即可．
【详解】解：设边衬的宽度为x米，根据题意，得
，
故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键．
8．B
【分析】根据已知条件可以得出∠E=∠ADC=，进而得出∆CEB≅∆ADC，就可以得出BE=DC，进而求出DE的值．
【详解】∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E=∠ADC=，
∴∠EBC+∠BCE=，
∵∠BCE+∠ACD=，
∴∠EBC=∠DCA，
在∆CEB和∆ADC中，∠E=∠ADC，∠EBC=∠DCA，BC=AC，
∴∆CEB≅∆ADC(AAS)，
∴BE=DC=1，CE=AD=3，
∴DE=EC-CD=3-1=2，
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
9．C
【分析】作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值，
【详解】解：如图，
∵是等边三角形，
∴，
又为边中点，
∴，
∵，
∴，
作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴的最小值为10．
故选：C．
【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
10．C
【分析】①证明△BAD≌△CAE,再利用全等三角形的性质即可判断；②由△BAD≌△CAE可得∠ABF=∠ACF，再由∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF证得∠BFC=90°即可判定；③分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE,根据全等三角形面积相等和BD=CE，证得AM=AN,即AF平分∠BFE,即可判定；④由AF平分∠BFE结合即可判定．
【详解】解：∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中
AB=AC, ∠BAD=∠CAE,AD=AE
∴△BAD≌△CAE
∴BD=CE
故①正确；
∵△BAD≌△CAE
∴∠ABF=∠ACF
∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF
∴∠ACF+∠CGF=90°,
∴∠BFC=90°
故②正确；
分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE垂足分别为M、N
∵△BAD≌△CAE
∴S△BAD=S△CAE,
∴
∵BD=CE
∴AM=AN
∴平分∠BFE，无法证明AF平分∠CAD．
故③错误；
∵平分∠BFE，
∴
故④正确．
故答案为C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质以及角的和差等知识，其中正确应用角平分线定理是解答本题的关键．
11．
【分析】利用分式乘法和除法法则变形约会即可得到结果．
【详解】解：原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的计算，熟练掌握分式的乘除法的运算法则是解题的关键．
12．
【分析】先提取公因数m，然后再运用平方差公式因式分解即可；灵活运用提取公因式法和公式法因式分解成为解答本题的关键．
【详解】解：．
故答案为．
13．/
【分析】根据题意可得，要使分式的值为负数，即分母且，然后解不等式即可．
【详解】解：∵，
∴分式的值为负数，即分母且，解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的值，熟练掌握分式值的计算方法进行求解是解决本题的关键．
14．16
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值．
【详解】解：∵a，b满足，
∴，，
解得a=7，b=2，
∵，，
∴5＜c＜9，
又∵c为奇数，
∴c=7，
∴△ABC的周长为：．
故答案为：16．
【点睛】本题考查了绝对值、平方的非负性，三角形的三边关系等知识点．解题的关键是确定边长c的取值范围．
15．40或80/80或40
【分析】根据题意，由于类型不确定，需分三种情况：高在三角形内部、高在三角形边上和高在三角形外部讨论求解．
【详解】解：根据题意，分三种情况讨论：
①高在三角形内部，如图所示：
在中，为边上的高，，
，
，
；
②高在三角形边上，如图所示：
可知，
，
故此种情况不存在，舍弃；
③高在三角形外部，如图所示：
在中，为边上的高，，
，
，
；
综上所述：或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查求角度问题，在没有图形的情况下，必须考虑清楚各种不同的情况，根据题意分情况讨论是解决问题的关键．
16．225°
【分析】首先判定△ABC≌△AEF，△ABD≌△AEH，可得∠5=∠BCA，∠4=∠BDA，然后可得∠1+∠5=∠1+∠BCA=90°，∠2+∠4=∠2+∠BDA=90°，即可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的值．
【详解】解：如图所示：
在△ABC和△AEF中，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴∠5=∠BCA，
∴∠1+∠5=∠1+∠BCA=90°，
在Rt△ABD和Rt△AEH中，
∴Rt△ABD≌Rt△AEH（HL），
∴∠4=∠BDA，
∴∠2+∠4=∠2+∠BDA=90°，
∵∠3=45°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=90°+90°+45°=225°．
故答案为：225°．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的性质：全等三角形对应角相等即可求解．
17．（4，1）
【分析】如图，过点B作BD⊥x轴于D，根据点A、点C坐标可得OA、OC的长，根据同角的余角相等可得∠OAC=∠DCB，利用AAS可证明△OAC≌△DCB，根据全等三角形的性质可得BD=OC，CD=OA，即可求出OD的长，进而可得答案．
【详解】如图，过点B作BD⊥x轴于D，
∵A（0，3），C（1，0），
∴OA=3，OC=1，
∵∠ACB=90°，
∴∠OCA+∠DCB=90°，
∵∠OAC+∠OCA=90°，
∴∠OAC=∠DCB，
在△OAC和△DCB中，，
∴△OAC≌△DCB，
∴BD=OC=1，CD=OA=3，
∴OD=OC+CD=4，
∴点B坐标为（4，1）．
故答案为：（4，1）
【点睛】本题考查坐标与图形及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
18．
【分析】如图，连接，根据轴对称的性质及全等三角形的判定与性质可得，，并由平行线的性质可推出，最后由等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求得结果．
【详解】解：如图，连接
∵点B关于直线CD的对称点为，
∴，．
∵，
∴．
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵．
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称、等腰三角形及平行线的性质等知识，熟练掌握轴对称、等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
19．（1）；（2）；（3）证明见解析
【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是正确找出公因式，熟练掌握完全平方公式和平方差公式．
（1）先提取公因式，再根据完全平方公式进行因式分解即可；
（2）将和看做两个整体，再根据平方差公式进行因式分解即可；
（3）先提取公因式，得出原式，进而得出原式，即可求证．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
（3）
．
∵．
∴能被33整除．
20．(1)①；②
(2)，当时，原式；或当时，原式
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分式的混合计算，分式的除法计算，熟知分式的相关计算法则是解题的关键．
（1）①根据分式的除法计算法则求解即可；②根据分式的混合计算法则求解即可；
（2）先根据分式的混合计算法则化简，然后根据分式有意义的条件选取合适的值代值计算即可．
【详解】（1）解：①
；
②
；
（2）解：
，
∵分式要有意义，
∴，
∴且，
∴当时，原式；或当时，原式．
21．(1)这个正多边形的边数为8；
(2)
【分析】（1）利用正多边形的性质和多边形的外角和计算即可；
（2）由题意确定截完角后所形成多边形的边数，然后利用多边形的内角和公式计算即可．
【详解】（1）解：由题意可得：，
即这个正多边形的边数为8；
（2）解：∵将正多边形截去一个角（截线不经过多边形的顶点），
∴截完角后所形成的多边形为九边形，
则其内角和为：．
【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，正多边形的性质，（2）中根据题意确定截完角后所形成多边形的边数是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据SAS证明△ACD≌△CBE；
（2）根据三角形内角和定理求得∠ACD，再根据三角形全等的性质得到∠B=∠ACD．
【详解】（1）∵C是AB的中点，
∴AC＝CB，
∵CD//BE，
∴，
在△ACD和△CBE中，
，
∴；
（2）∵，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】考查了全等三角形的判定和性质，解题关键是根据SAS证明△ACD≌△CBE．
23．(1)BC＝DC
(2)成立，理由见解析
【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DC=BC；
（2）过点C作CE⊥AB于E，作CF⊥AD于F，根据同角的补角相等求出∠ABC=∠CDF，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CE=CF，然后利用“角角边”证明△BCE和△DCF全等，根据全等三角形对应边相等可得DC=BC．
【详解】（1）∵AC平分∠MAN，∠ABC=∠ADC=90°，
∴DC=BC；
（2）（1）中的结论仍然成立．
理由如下：如图，过点C作CE⊥AB于E，作CF⊥AD于F，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∠CDF+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠CDF，
∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（AAS），
∴DC=BC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，难点在于（2）作辅助线构造出全等三角形．
24．(1)文旅店订购“冰墩墩”的数量为100个，“雪容融”的数量为80个
(2)的最小值为8
【分析】（1）设文旅店订购“雪容融”的数量为个，从而可得订购“冰墩墩”的数量为个，再根据两种吉祥物的花费和订购单价建立方程，解方程即可得；
（2）先求出文旅店的总收入，再根据“要保证文旅店总利润不低于6060元”建立一元一次不等式，解不等式即可得．
【详解】（1）解：设文旅店订购“雪容融”的数量为个，则订购“冰墩墩”的数量为个，
由题意得：，
解得，符合题意，
经检验，是所列分式方程的解，
则，
答：文旅店订购“冰墩墩”的数量为100个，“雪容融”的数量为80个；
（2）解：由题意得：文旅店销售“冰墩墩”的收入为（元），
销售“雪容融”的收入为（元），
则，
解得，
答：的最小值为8．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程和不等式是解题关键．
25．(1)见解析
(2)；
【分析】（1）先判断出∠BAD=∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论；
（2）同（1）的方法判断出△BAD≌△CAE，得出AD=BE，∠ADC=∠BEC，最后用角的差，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵和是顶角相等的等腰三角形，
∴，，，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：，，
理由如下：由（1）的方法得，，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键．
26．（1）EF＝BE＋DF；（2）EF＝DF−BE；证明见解析；（3）.
【分析】（1）将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，首先证明F，D，G三点共线，求出∠EAF＝∠GAF，然后证明△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质解答；
（2）将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE'，首先证明E'，D，F三点共线，求出∠EAF＝∠E'AF，然后证明△AFE≌△AFE'，根据全等三角形的性质解答；
（3）将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD'，使AB与AC重合，连接ED'，同（1）可证△AED≌AED'，求出∠ECD'＝90°，再根据勾股定理计算即可．
【详解】解：（1）将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，
∵∠B＋∠ADC＝180°，
∴∠FDG＝180°，即点F，D，G三点共线，
∵∠BAE＝∠DAG，∠EAF＝∠BAD，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AFG和△AFE中，，
∴△AFG≌△AFE，
∴EF＝FG＝DG＋DF＝BE＋DF；
（2）EF＝DF−BE；
证明：将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE'，则△ABE≌ADE'，
∴∠DAE'＝∠BAE，AE'＝AE，DE'＝BE，∠ADE'＝∠ABE，
∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠ABE＝180°，
∴∠ADE'＝∠ADC，即E'，D，F三点共线，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠E'AF＝∠BAD−（∠BAF＋∠DAE'）＝∠BAD−（∠BAF＋∠BAE）＝∠BAD−∠EAF＝∠BAD，
∴∠EAF＝∠E'AF，
在△AEF和△AE'F中，，
∴△AFE≌△AFE'（SAS），
∴FE＝FE'，
又∵FE'＝DF−DE'，
∴EF＝DF−BE；
（3）将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD'，使AB与AC重合，连接ED'，
同（1）可证△AED≌AED'，
∴DE＝D'E．
∵∠ACB＝∠B＝∠ACD'＝45°，
∴∠ECD'＝90°，
在Rt△ECD'中，ED'＝，即DE＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，灵活运用利用旋转变换作图、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．