辽宁省锦州市渤海大学附属高级中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题解析版）

这是一份辽宁省锦州市渤海大学附属高级中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知双曲线C：x22−y26=1，则它的渐近线方程为（ ）
A．y=±3xB．y=±33x
C．y=±3xD．y=±13x
【答案】A
【分析】利用双曲线算出a=2,b=6，即可得到渐近线方程
【详解】由双曲线C：x22−y26=1可知a2=2,b2=6,∴a=2,b=6，
所以渐近线方程为y=±62x=±3x
故选：A
2．过点P1,1且方向向量为−1,3的直线方程为（ ）
A．3x+y+4=0B．3x+y−4=0
C．3x−y+2=0D．3x−y−2=0
【答案】B
【分析】首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程；
【详解】解：因为直线的方向向量为−1,3，所以直线的斜率k=3−1=−3，又函数过点P1,1，所以直线方程为y−1=−3x−1，即3x+y−4=0；
故选：B
3．已知椭圆x24+y2=1，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆的上顶点，则PF1⋅PF2=（ ）
A．−2B．−1C．1D．2
【答案】A
【分析】首先根据椭圆方程求得三角形ΔPF1F2的各个边长，从而求得∠F1PF2=120°，之后利用向量数量积定义式求得结果.
【详解】因为椭圆方程为x24+y2=1，
所以有a=2，c=3，
即PF1=PF2=2,F1F2=23，
所以∠F1PF2=120°，
所以PF1⋅PF2=PF1⋅PF2⋅cs∠F1PF2=2×2×(−12)=−2，
故选：A.
【点睛】该题考查的是有关向量数量积的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有椭圆的性质，向量数量积定义式，也可以利用坐标来计算，属于基础题目.
4．1+3x1−x5的展开式中x3的系数为（ ）
A．0B．20C．10D．30
【答案】B
【分析】1+3x1−x5可化为1−x5+3x1−x5，再根据二项式展开式的通项公式求展开式中x3的系数.
【详解】由1−x5展开式的通项为Tr+1=C5r⋅15−r⋅−xr=−1rC5rxr，令r＝3，得1−x5展开式中含x3的项的系数为−13C53=−10，令r＝2，得1−x5展开式中含x2的项的系数为−12C52=10，所以1+3x1−x5的展开式中x3的系数为−10+3×10=20.
故选：B.
5．已知圆x2+(y−3)2=16内一点P(2,1)，则过P点的最短弦所在的直线方程是（ ）
A．x+y−3=0B．x+y−1=0
C．x−y+1=0D．x−y−1=0
【答案】D
【分析】由圆的几何性质得，过点P点的最短弦所在的直线与CP垂直，求出kCP=−1即得解.
【详解】解：由题得圆的圆心坐标为C(0,3)，
由圆的几何性质得，过点P点的最短弦所在的直线与CP垂直，
由题得kCP=1−32−0=−1,所以直线的斜率为1 .
所以过P点的最短弦所在的直线方程是y−1=x−2, 即x−y−1=0.
故选：D
6．现有语文、数学、外语、物理、化学、生物、政治、历史各一本书，平均分给2个人，其中政治和历史不分给同一个人，则不同的分配方法有（ ）
A．35B．36C．40D．60
【答案】C
【分析】先计算将8本书平均分给二人，再计算政治和历史作为一组分配给一个人的分法，利用间接法即可求解.
【详解】根据题意，8本书均分给2个人共有C84=70种，其中政治历史都分给同一个人的有C62⋅A22=30种，
故政治和历史不分给同一个人，不同的分配方法有70－30＝40种.
故选：C.
7．已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F，上顶点为A，直线AF与E相交的另一点为M，点M在x轴的射影为点N，O为坐标原点，若AO=3NM，则E的离心率是（ ）
A．33B．22C．13D．34
【答案】B
【分析】确定M43c,−b3，代入椭圆方程得到169e2+19=1，解得答案.
【详解】A0,b，Fc,0，AO=3NM，则OF=3FN，M43c,−b3，
故16c29a2+b29b2=1，即169e2+19=1，解得e=22（舍去负值），
故选：B
8．已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，准线为l，A为C上的点，过A作l的垂线，垂足为B，BF=4，则∠BAF=（ ）
A．30°B．60°C．45°D．90°
【答案】B
【分析】由BF=4结合抛物线性质可得∠FBA=60∘，利用抛物线定义可得△ABF为正三角形，即可得出答案．
【详解】如图，设准线l与x轴交于点M，
则由抛物线可知|FM=2，又BF=4，故∠FBM=30∘，∠FBA=60∘，
又由抛物线定义AB=AF，可得△ABF为正三角形，故∠BAF=60∘．
故选：B
二、多选题
9．空间直角坐标系中，坐标原点到下列各点的距离不大于5的是（ ）
A．1,1,1B．1,2,2C．2,−3,5D．3,0,4
【答案】ABD
【分析】根据空间两点的距离公式计算可得.
【详解】因为12+12+12=3