2021-2022学年甘肃省兰州二中高一（上）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年甘肃省兰州二中高一（上）期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）设集合M＝{x|0＜x＜4}，N＝{x|x≤5}，则M∩N＝（ ）
A．{x|0＜x}B．{x|x＜4}C．{x|4≤x＜5}D．{x|0＜x≤5}
2．（5分）求值：cs1290°＝（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）“”是“”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
4．（5分）函数f（x）＝lnx+x﹣6的零点所在区间为（ ）
A．（2，3）B．（3，4）C．（4，5）D．（5，6）
5．（5分）在[0，2π]上满足sinx的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）若a＝lg34，b＝0.60.4，c＝lg0.52，则实数a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞a＞cD．b＞c＞a
7．（5分）若x＞1，则的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
8．（5分）已知f（x）的值域为R，那么a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣1，）C．[﹣1，）D．（0，）
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的的得0分．
（多选）9．（5分）下列化简正确的是（ ）
A．tan（π+1）＝tan1
B．csα
C．tanα
D．1
（多选）10．（5分）已知θ∈（0，π），sinθ+csθ，则下列结论正确的是（ ）
A．θ∈（，π）B．
C．D．
（多选）11．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．若x∈（0，），则的最小值2
B．函数的单调递增区间是（，）（k∈Z）
C．函数的定义域是{kπ，k∈Z}
D．函数y＝tanx+1在[，]上的最大值为，最小值为0
（多选）12．（5分）设函数f（x）＝x|x|+bx+c，给出如下命题，其中正确的是（ ）
A．c＝0时，y＝f（x）是奇函数
B．b＝0，c＞0时，方程f（x）＝0只有一个实数根
C．y＝f（x）的图象关于点（0，c）对称
D．方程f（x）＝0最多有两个实根
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）若扇形的周长为16cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积为 cm2．
14．（5分）函数f（x）＝lg5（﹣x2+x+2）的单调递增区间为 ．
15．（5分）已知f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）＝3x，则 ．
16．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上为增函数，f（2）＝0，则不等式f（x+2）＞0的解集为 ．
四、解答题：本题共6小题共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（3，﹣4）．
（Ⅰ）求sinα﹣csα的值；
（Ⅱ）求的值．
18．（12分）已知3，
（1）求tanx的值；
（2）若x是第三象限的角，化简三角式，并求值．
19．（12分）已知函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）．
（1）若函数f（x）在[﹣2，1]上的最大值为2，求a的值；
（2）若0＜a＜1，求使得f（lg2x﹣1）＞1成立的x的取值范围．
20．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣2x+2a+1（a＞0）．
（1）当a＝1时，求函数f（x）在区间上的值域；
（2）求函数f（x）在区间[0，2]上的最大值h（a）．
21．（12分）已知定义域为R的函数是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）判断函数f（x）的单调性（只写出结论即可）；
（3）若对任意的t∈[﹣1，1]不等式f（t2﹣2t）+f（k﹣t2）＜0恒成立，求实数k的取值范围．
22．（12分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）在一个周期内的图象如图所示．
（1）求函数f（x）的最小正周期T及f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的对称轴方程及单调递增区间；
（3）将f（x）的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图像，若g（x）＝a﹣1在x∈[，]上有两个解，求a的取值范围．
2021-2022学年甘肃省兰州二中高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设集合M＝{x|0＜x＜4}，N＝{x|x≤5}，则M∩N＝（ ）
A．{x|0＜x}B．{x|x＜4}C．{x|4≤x＜5}D．{x|0＜x≤5}
【分析】直接利用交集运算求解．
【解答】解：集合M＝{x|0＜x＜4}，N＝{x|x≤5}，则M∩N＝{x|x＜4}，
故选：B．
【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题．
2．（5分）求值：cs1290°＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．
【解答】解：cs1290°＝cs210°＝﹣cs30°，
故选：D．
【点评】主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．
3．（5分）“”是“”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】由⇒，再举例说明由不能得到即可．
【解答】解：由⇒，
但由不能得到，如α满足，但不满足，
故“”是“”的充分不必要条件．
故选：B．
【点评】本题考查了充分条件、必要条件及充要条件的判断，属于基础题．
4．（5分）函数f（x）＝lnx+x﹣6的零点所在区间为（ ）
A．（2，3）B．（3，4）C．（4，5）D．（5，6）
【分析】据函数零点的判定定理，判断f（2），f（3），f（4），f（5），f（6）的符号，即可求得结论．
【解答】解：∵f（2）＝2+ln2﹣6＜0，
f（3）＝4+ln3﹣6＜0，
f（4）＝4+ln4﹣6＜0，
f（5）＝5+ln5﹣6＞0，
f（6）＝6+ln6﹣6＞0，
∴f（4）•f（5）＜0，
∴函数f（x）＝lnx+x﹣6的零点所在区间为（4，5）．
故选：C．
【点评】考查函数的零点的判定定理，以及学生的计算能力．解答关键是熟悉函数的零点存在性定理，此题是基础题．
5．（5分）在[0，2π]上满足sinx的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用三角函数线，直接得到sinx的x的取值范围，得到正确选项．
【解答】解：在[0，2π]上满足sinx，由三角函数线可知，满足sinx，的解，在图中阴影部分，
故选：B．
【点评】本题是基础题，考查三角函数的求值，利用单位圆三角函数线，或三角函数曲线，都可以解好本题，由于是特殊角的三角函数值，可以直接求解．
6．（5分）若a＝lg34，b＝0.60.4，c＝lg0.52，则实数a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞a＞cD．b＞c＞a
【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．
【解答】解：∵a＝lg34＞lg33＝1，
0＜0.60.4＜0.60＝1，
即0＜b＜1，
c＝lg0.52＝﹣1，
∴a＞b＞c，
故选：A．
【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
7．（5分）若x＞1，则的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】由已知先配凑积为定值的条件，然后结合基本不等式即可求解．
【解答】解：因为x＞1，
则4（x﹣1）44＝8，
当且仅当4x﹣4，即x时取等号，
故选：B．
【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题．
8．（5分）已知f（x）的值域为R，那么a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣1，）C．[﹣1，）D．（0，）
【分析】根据函数解析式得出x≥1，lnx≥0，由题意可得（1﹣2a）x+3a必须取到所有的负数，即满足：，求解即可．
【解答】解：∵f（x），
∴x≥1，lnx≥0，
∵值域为R，
∴（1﹣2a）x+3a必须取到所有的负数，
即满足：，即为，
即﹣1≤a，
故选：C．
【点评】本题考查了函数的性质，运用单调性得出不等式组即可，难度不大，属于中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的的得0分．
（多选）9．（5分）下列化简正确的是（ ）
A．tan（π+1）＝tan1
B．csα
C．tanα
D．1
【分析】由题意利用诱导公式化简所给的式子，可得结果．
【解答】解：∵由诱导公式可得 tan（π+1）＝tan1，故A正确；
csα，故B正确；
tanα，故C不正确；
1，故D不正确，
故选：AB．
【点评】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．
（多选）10．（5分）已知θ∈（0，π），sinθ+csθ，则下列结论正确的是（ ）
A．θ∈（，π）B．
C．D．
【分析】结合同角基本关系分别检验各选项即可判断．
【解答】解：因为θ∈（0，π），sinθ+csθ，
所以1+2sinθcsθ，即sinθcsθ0，
所以sinθ＞0，csθ＜0，，
所以（sinθ﹣csθ）2＝1﹣2sinθcsθ，
所以sinθ﹣csθ，
所以sinθ，csθ，tanθ．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了同角基本关系在求解三角函数值中的应用，属于基础题．
（多选）11．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．若x∈（0，），则的最小值2
B．函数的单调递增区间是（，）（k∈Z）
C．函数的定义域是{kπ，k∈Z}
D．函数y＝tanx+1在[，]上的最大值为，最小值为0
【分析】直接利用三角函数的性质，函数的定义域，值域，单调性的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：对于A：x∈（0，]，所以sinx＞0，则，当且仅当sinx＝1时，函数取得最小值2，
由于x∈（0，），故A错误；
对于B：令（k∈Z），整理得（k∈Z），故函数的单调递增区间是（，）（k∈Z），故B正确；
对于C：令，整理得（k∈Z），故函数的定义域是{，k∈Z}，故C错误；
对于D：由于函数y＝tanx+1在[，]上单调递增，在x时，函数的最大值为，在x时，函数的最小值为0，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查的知识要点：函数的性质，单调性，定义域，函数的值域的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
（多选）12．（5分）设函数f（x）＝x|x|+bx+c，给出如下命题，其中正确的是（ ）
A．c＝0时，y＝f（x）是奇函数
B．b＝0，c＞0时，方程f（x）＝0只有一个实数根
C．y＝f（x）的图象关于点（0，c）对称
D．方程f（x）＝0最多有两个实根
【分析】通过判断函数的奇偶性判断A的正误；利用函数的零点判断B；函数的图象的对称性判断C；零点的个数判断D．
【解答】解：当c＝0时，f（x）＝x|x|+bx，此时f（﹣x）＝﹣f（x），故f（x）为奇函数，A正确；
当b＝0，c＞0时，f（x）＝x|x|+c，若x≥0，f（x）＝0无解，若x＜0，f（x）＝0有一解x，B正确，
结合图象（如图）知C正确，D不正确．
故选：ABC．
【点评】本题考查命题的真假的判断，函数的零点与方程根的关系，是中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）若扇形的周长为16cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积为 16 cm2．
【分析】设扇形的半径为r，弧长为l，根据扇形周长和弧长公式列式，解之得r＝4，l＝8，再由扇形面积公式可得扇形的面积S．
【解答】解 设扇形的半径为r，弧长为l，则有，得r＝4，l＝8，
故扇形的面积为S16．
故答案为：16．
【点评】本题给出扇形的周长和圆心角的大小，求扇形的面积，着重考查了扇形的面积公式和弧长公式等知识，属于基础题．
14．（5分）函数f（x）＝lg5（﹣x2+x+2）的单调递增区间为 （﹣1，） ．
【分析】根据题意，设t＝﹣x2+x+2，则y＝lg5t，分析函数的定义域，由复合函数的单调性判断方法分析可得答案．
【解答】解：根据题意，f（x）＝lg5（﹣x2+x+2），设t＝﹣x2+x+2，则y＝lg5t，
必有t＝﹣x2+x+2＝﹣（x）20，解可得﹣1＜x＜2，即函数的定义域为（﹣1，2），
则有0＜t，y＝lg5t在（0，）上为增函数，
对于t＝﹣x2+x+2，在区间（﹣1，）上，t＝﹣x2+x+2为增函数，函数f（x）为增函数；
对于t＝﹣x2+x+2，在区间（，2）上，t＝﹣x2+x+2为减函数，函数f（x）为减函数；
故数f（x）＝lg5（﹣x2+x+2）的单调递增区间为（﹣1，）．
故答案为：（﹣1，）．
【点评】本题考查函数复合函数的单调性，涉及对数函数的性质，属于基础题．
15．（5分）已知f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）＝3x，则 ．
【分析】根据题意，由函数的奇偶性和周期性可得f（）＝﹣f（），结合函数的解析式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，则f（）＝﹣f（），
当0＜x＜1时，f（x）＝3x，则f（），
故；
故答案为：．
【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的综合应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
16．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上为增函数，f（2）＝0，则不等式f（x+2）＞0的解集为 （﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） ．
【分析】利用函数的奇偶性与单调性将不等式进行转化求解即可．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，f（2）＝0，
∴f（x+2）＞0可化为f（|x+2|）＞f（2），
又f（x）在[0，+∞）上为增函数，
∴|x+2|＞2，∴x+2＞2或x+2＜﹣2，
∴x＞0或x＜﹣4．
故答案为：（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）．
【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合，考查转化思想与运算求解能力，属于基础题．
四、解答题：本题共6小题共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（3，﹣4）．
（Ⅰ）求sinα﹣csα的值；
（Ⅱ）求的值．
【分析】（Ⅰ）由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinα，csα的值，即可得解sinα﹣csα的值．
（Ⅱ）由条件利用诱导公式，即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（3，﹣4），
故x＝3，y＝﹣4，r＝|OP|5，
∴sinα，csα．
∴sinα﹣csα．
（Ⅱ） ．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式的应用，属于基础题．
18．（12分）已知3，
（1）求tanx的值；
（2）若x是第三象限的角，化简三角式，并求值．
【分析】（1）把已知等式左边分子分母同时除以csx，化为含有tanx的方程得答案；
（2）由角x的范围，得到csx＜0，把要化简的式子分母化为单项式，开放后化为含有tanx的代数式得答案．
【解答】解：（1）由3，得csx≠0，
则，解得：tanx＝2；
（2）∵x是第三象限的角，
∴csx＜0．
又tanx＝2．
∴




＝﹣2tanx
＝﹣4．
【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式的应用，解答的原则是化繁为简，关键是熟记同角三角函数的基本关系式，是中档题．
19．（12分）已知函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）．
（1）若函数f（x）在[﹣2，1]上的最大值为2，求a的值；
（2）若0＜a＜1，求使得f（lg2x﹣1）＞1成立的x的取值范围．
【分析】（1）分类讨论，根据指数函数的单调性即可求出，
（2）根据指数函数的单调性可得lg2x﹣1＜0，再解对数不等式即可．
【解答】解：（1）当0＜a＜1时，f（x）＝ax在[﹣2，1]上单调递减，
∴f（x）max＝f（﹣2）＝a﹣2＝2，解得a，
当a＞1时，f（x）＝ax在[﹣2，1]上单调递增，
∴f（x）max＝f（1）＝a＝2，解得a＝2，
综上所述a＝2或a
（2）∵0＜a＜1，f（lg2x﹣1）＞1＝f（0），
∴lg2x﹣1＜0，
即lg2x＜1＝lg22，
解得0＜x＜2
【点评】本题考查了指数函数的单调性，分类讨论的思想，方程思想，难度不大，属于中档题
20．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣2x+2a+1（a＞0）．
（1）当a＝1时，求函数f（x）在区间上的值域；
（2）求函数f（x）在区间[0，2]上的最大值h（a）．
【分析】（1）利用二次函数的图象和性质，直接求解；
（2）对对称轴的位置分情况讨论，分别求出最大值h（a），再写成分段函数的形式即可．
【解答】解：（1）由题意，当a＝1时，f（x）＝x2﹣2x+3，
又，f（x）的对称轴为x＝1，
∴当x＝1时，f（x）取得最小值2；
当x＝2时，f（x）取得最大值3，
∴f（x）的值域为[2，3]．
（2）二次函数f（x）开口向上，对称轴为x0，
（i）当a＞1时，，
此时右端点2距离对称轴较远，
∴h（a）＝f（2）＝6a﹣3；
（ii）当a≤1时，，
此时左端点0距离对称轴较远，
∴h（a）＝f（0）＝2a+1，
综上，h（a）．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，是基础题．
21．（12分）已知定义域为R的函数是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）判断函数f（x）的单调性（只写出结论即可）；
（3）若对任意的t∈[﹣1，1]不等式f（t2﹣2t）+f（k﹣t2）＜0恒成立，求实数k的取值范围．
【分析】（1）根据f（0）＝0，f（﹣1）＝﹣f（1）联立解得a＝1，b＝2，再验证f（x）的奇偶性；
（2）分离常数后可判断出单调递减；
（3）经过函数的奇偶性和单调性，将函数不等式变成一次不等式后，用最值解决．
【解答】解：（1）∵f（x）在R上是奇函数，
∴f（0）＝0，
∴，
∴a＝1，
∴，
∴f（﹣1）＝﹣f（1），
∴，
∴b＝2，
∴，
经检验知：f（﹣x）＝f（x），
∴a＝1，b＝2．
（2）由（1）可知，在R上减函数．
（3）∵f（t2﹣2t）﹣f（k﹣t2）＜0对于t∈[﹣1，1]恒成立，∴f（t2﹣2t）＜﹣f（k﹣t2）对于t∈[﹣1，1]恒成立，
∵f（x）在R上是奇函数，∴f（t2﹣2t）＜f（t2﹣k）对于t∈[﹣1，1]恒成立，
又∵f（x）在R上是减函数，∴t2﹣2t＞t2﹣k，即k＞2t对于t∈[﹣1，1]恒成立，
而函数g（x）＝2t在[﹣1，1]上的最大值为2，
∴k＞2，
∴实数k的取值范围为（2，+∞）．
【点评】本题考查了不等式恒成立．属中档题．
22．（12分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）在一个周期内的图象如图所示．
（1）求函数f（x）的最小正周期T及f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的对称轴方程及单调递增区间；
（3）将f（x）的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图像，若g（x）＝a﹣1在x∈[，]上有两个解，求a的取值范围．
【分析】（1）根据图象求出A，ω 和φ，即可求函数f（x）的解析式；
（2）由图象可得，函数的对称轴为：，再结合三角函数的单调性，即可求解．
（3）根据题意先求出g（x）的解析式，进而作出函数的图形，然后通过数形结合，即可求解．
【解答】解：（1）由题意可得，A＝1，，解得T＝π，
故ω2，
∵图象过点（），
∴φ（k∈Z），
∵，
∴φ，
故f（x）．
（2）由图象可得，函数的对称轴为：，
令，解得，k∈Z，
故函数的增区间为．
（3）f（x）的图象向右平移个单位得到：，
故g（x），如图所示，
∵g（x）＝a﹣1在x∈[，]上有两个解，
∴，解得，
故a的取值范围为．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系，属于中档题．
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