2021-2022学年甘肃省兰州一中高一（上）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年甘肃省兰州一中高一（上）期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）函数的定义域是（ ）
A．（4，+∞）B．[4，+∞）C．（0，4]D．（0，4）
2．（5分）函数f（x）＝lga（x+2）﹣2（a＞0，且a≠1）的图象必过定点（ ）
A．（1，0）B．（1，﹣2）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣1，﹣1）
3．（5分）已知角α的终边过点P（4a，﹣3a）（a＜0），则2sinα+csα的值是（ ）
A．B．
C．0D．与a的取值有关
4．（5分）设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a
5．（5分）设2a＝5b＝m，且，则m＝（ ）
A．B．10C．20D．100
6．（5分）函数的单调增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（5分）如果sinα•tanα＜0且sinα+csα∈（0，1），那么角α的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．（5分）当0＜x时，4x＜lgax，则a的取值范围是（ ）
A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）＝﹣f（x），且在[﹣1，0]上是增函数，则下列关于f（x）的结论中正确的有（ ）
A．f（x）的图象关于直线x＝1对称
B．f（x）在[0，1]上是增函数
C．f（x）在[1，2]上是减函数
D．f（2）＝f（0）
（多选）10．（5分）设函数则使不等式f（a）＞f（﹣a）成立的实数a的取值范围可以是（ ）
A．（0，1）B．（1，+∞）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，﹣1）
（多选）11．（5分）当时，函数f（x）＝Asin（x+φ）（A＞0，|φ|＜π），取得最小值，则关于函数，，下列说法错误的是（ ）
A．是奇函数且图象关于点对称
B．是偶函数且图象关于点（π，0）对称
C．是奇函数且图象关于直线对称
D．是偶函数且图象关于直线x＝π对称
（多选）12．（5分）为了得到函数的图象，只需把函数y＝csx图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍
B．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍
C．横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度
D．横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知tanθ＝2，则sin2θ+sinθcsθ﹣2cs2θ＝ ．
14．（5分）设0≤x≤2，则函数y3•2x+5的最大值是 ．
15．（5分）已知sin（α），则cs（α）＝ ．
16．（5分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知f（α）．
（1）化简f（α）；
（2）若α是第三象限角，且cs（α），求f（α）的值．
18．（12分）已知函数f（x）＝x2+ax+2，a∈R．
（1）若不等式f（x）≤0的解集为[1，2]，求不等式f（x）≥1﹣x2的解集；
（2）若函数g（x）＝f（x）+x2+1在区间（1，2）上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
19．（12分）已知函数f（x）．
（1）若a＝﹣1，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）有最大值3，求a的值．
20．（12分）已知一扇形的圆心角为α（α＞0），所在圆的半径为R．
（1）若α＝90°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）若扇形的周长是一定值C（C＞0），当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
21．（12分）已知函数，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数y＝f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，再把所得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，求函数y＝g（x）在区间上的值域．
22．（12分）如图，函数（ω＞0，）的图象与y轴交于点，最小正周期是π．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知点，点P是函数f（x）图象上一点，点是线段PA的中点，且，求x0的值．
2021-2022学年甘肃省兰州一中高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）函数的定义域是（ ）
A．（4，+∞）B．[4，+∞）C．（0，4]D．（0，4）
【分析】由根式内部的代数式大于等于0，求解对数不等式得答案．
【解答】解：要使原函数有意义，则2﹣lg2x≥0，
即lg2x≤2，解得0＜x≤4．
∴函数的定义域是（0，4]．
故选：C．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
2．（5分）函数f（x）＝lga（x+2）﹣2（a＞0，且a≠1）的图象必过定点（ ）
A．（1，0）B．（1，﹣2）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣1，﹣1）
【分析】直接利用对数函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：令x+2＝1，解得：x＝﹣1，
当x＝﹣1时，y＝0﹣2＝﹣2．
故函数f（x）＝lga（x+2）﹣2（a＞0，且a≠1）的图象必过定点（﹣1，﹣2），
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
3．（5分）已知角α的终边过点P（4a，﹣3a）（a＜0），则2sinα+csα的值是（ ）
A．B．
C．0D．与a的取值有关
【分析】由题意可得 x＝4a，y＝﹣3a，r＝﹣5a，根据任意角的三角函数的定义求出sinα和csα 的值，即可求得2sinα+csα的值．
【解答】解：由角α的终边过点P（4a，﹣3a）（a＜0），可得 x＝4a，y＝﹣3a，r＝﹣5a，
故sinα，csα，
∴2sinα+csα，
故选：A．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
4．（5分）设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a
【分析】利用指数函数和幂函数的单调性，可判断三个式子的大小．
【解答】解：函数y＝0.6x为减函数；
故a＝0.60.6＞b＝0.61.5，
函数y＝x0.6在（0，+∞）上为增函数；
故a＝0.60.6＜c＝1.50.6，
故b＜a＜c，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是指数函数和幂函数的单调性，难度中档．
5．（5分）设2a＝5b＝m，且，则m＝（ ）
A．B．10C．20D．100
【分析】直接化简，用m代替方程中的a、b，然后求解即可．
【解答】解：，∴m2＝10，又∵m＞0，∴．
故选：A．
【点评】本题考查指数式和对数式的互化，对数的运算性质，是基础题．
6．（5分）函数的单调增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据正切函数的定义与性质，即可求得f（x）的单调增区间．
【解答】解：函数中，
令，k∈Z；
解得，k∈Z；
所以f（x）的单调增区间为（kπ，kπ），k∈Z．
故选：C．
【点评】本题考查了正切函数的定义与性质的应用问题，是基础题．
7．（5分）如果sinα•tanα＜0且sinα+csα∈（0，1），那么角α的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】由sinα•tanα＜0可得，α为第二或第三象限角，由sinα+csα∈（0，1）可得，α为第二或第四象限角，即可求解．
【解答】解：∵sinα•tanα＜0，
∴α为第二或第三象限角，
又∵sinα+csα∈（0，1），
∴α为第二或第四象限角，
故角α的终边在第二象限．
故选：B．
【点评】本题主要考三角函数值的符号，属于基础题．
8．（5分）当0＜x时，4x＜lgax，则a的取值范围是（ ）
A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）
【分析】由指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转化为不等式恒成立问题加以解决即可
【解答】解：∵0＜x时，1＜4x≤2
要使4x＜lgax，由对数函数的性质可得0＜a＜1，
数形结合可知只需2＜lgax，
∴
即对0＜x时恒成立
∴
解得a＜1
故选：B．
【点评】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质，不等式恒成立问题的一般解法，属基础题
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）＝﹣f（x），且在[﹣1，0]上是增函数，则下列关于f（x）的结论中正确的有（ ）
A．f（x）的图象关于直线x＝1对称
B．f（x）在[0，1]上是增函数
C．f（x）在[1，2]上是减函数
D．f（2）＝f（0）
【分析】由偶函数的定义可得f（x）的图像的对称性，可判断A；由偶函数的图像的特点可判断B；由函数f（x）的周期性可判断C；由函数f（x）的对称性可判断D．
【解答】解：定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）＝﹣f（x），
可得f（x+2）＝﹣f（x+1）＝f（x），
由f（x+2）＝f（x）＝f（﹣x），可得f（x）的图象关于直线x＝1对称，故A正确；
由f（x）在[﹣1，0]上是增函数，可得f（x）在[0，1]为减函数，故B错误；
由f（x）为最小正周期为2的函数，且f（x）在[﹣1，0]上是增函数，
可得f（x）在[1，2]上是增函数，故C错误；
由f（x）的图象关于直线x＝1对称，可得f（2）＝f（0），故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性、对称性和周期性的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
（多选）10．（5分）设函数则使不等式f（a）＞f（﹣a）成立的实数a的取值范围可以是（ ）
A．（0，1）B．（1，+∞）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，﹣1）
【分析】利用分段函数，转化不等式为对数不等式，然后求解即可．
【解答】解：函数，且f（a）＞f（﹣a），
转化为或，
解得a＞1或﹣1＜a＜0．
∴使不等式f（a）＞f（﹣a）成立的实数a的取值范围可以是（1，+∞）或（﹣1，0）．
故选：BC．
【点评】本题考查分段函数的应用，对数不等式的解法，考查计算能力，是中档题．
（多选）11．（5分）当时，函数f（x）＝Asin（x+φ）（A＞0，|φ|＜π），取得最小值，则关于函数，，下列说法错误的是（ ）
A．是奇函数且图象关于点对称
B．是偶函数且图象关于点（π，0）对称
C．是奇函数且图象关于直线对称
D．是偶函数且图象关于直线x＝π对称
【分析】根据条件求出φ的值，然后求出的解析式，进行判断即可．
【解答】解：∵当时，函数f（x）＝Asin（x+φ）（A＞0，|φ|＜π），取得最小值，
∴φ2kπ，k∈Z，
得φ2kπ，k∈Z，
∵|φ|＜π，∴当k＝﹣1时，φ，
则f（x）＝Asin（x），
则Asin（x）＝Asin（x）＝Acs（π﹣x）＝﹣Acsx，
设y＝g（x）＝﹣Acsx，
则g（x）是偶函数，且关于直线x＝π对称，
故D正确，A，B，C错误，
故选：ABC．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式，利用三角函数的性质是解决本题的关键，是中档题．
（多选）12．（5分）为了得到函数的图象，只需把函数y＝csx图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍
B．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍
C．横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度
D．横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度
【分析】直接利用三角函数的关系式的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．
【解答】解：为了得到函数的图象，只需把函数y＝csx图象上所有的点向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍，或将横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度；故BC正确；
故选：BC．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知tanθ＝2，则sin2θ+sinθcsθ﹣2cs2θ＝ ．
【分析】利用“1＝sin2θ+cs2θ”，再将弦化切，利用条件，即可求得结论．
【解答】解：sin2θ+sinθcsθ﹣2cs2θ
∵tanθ＝2
∴
∴sin2θ+sinθcsθ﹣2cs2θ
故答案为：
【点评】本题重点考查同角三角函数间基本关系，解题的关键是利用“1＝sin2θ+cs2θ”，再将弦化切，属于基础题．
14．（5分）设0≤x≤2，则函数y3•2x+5的最大值是 ．
【分析】令t＝2x，则原函数可转化为关于t的二次函数，配方后即可求得其最大值．
【解答】解：22x﹣1﹣3•2x+522x﹣3•2x+5，
令t＝2x，∵0≤x≤2，∴1≤t≤4，
则yt2﹣3t+5，
当t＝1时，y取得最大值，为．
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查学生对问题的转化能力．
15．（5分）已知sin（α），则cs（α）＝ ．
【分析】由已知利用诱导公式化简所求即可计算得解．
【解答】解：∵sin（α），
∴cs（α）＝sin[（α）]＝sin（α）＝﹣sin（πα）＝﹣sin（α）．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
16．（5分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为 f（x）sin（2x） ．
【分析】根据已知函数的图象，可分析出函数的最值，确定A的值，分析出函数的周期，确定ω的值，将（，0）代入解析式，可求出φ值，进而求出函数的解析式．
【解答】解：由函数图象可得：A，周期T＝4（）＝π，由周期公式可得：ω2，
由点（，）在函数的图象上，可得：sin（2φ），
可得2φ＝2kπ，k∈Z，
解得：φ＝2kπ，k∈Z，|φ|＜π，
可得当k＝1时，可得φ，
从而得解析式可为：f（x）sin（2x），
故答案为：f（x）sin（2x）．
【点评】本题考查的知识点是正弦型函数解析式的求法，其中关键是要根据图象分析出函数的最值，周期等，进而求出A，ω和φ值，属于基本知识的考查．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知f（α）．
（1）化简f（α）；
（2）若α是第三象限角，且cs（α），求f（α）的值．
【分析】（1）根据已知条件，结合三角函数的诱导公式，即可求解．
（2）根据已知条件，结合三角函数的诱导公式，以及三角函数的同角公式，即可求解．
【解答】解：（1）f（α）csα．
（2）∵cs（α），
∴，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查三角函数的诱导公式，考查转化能力，属于基础题．
18．（12分）已知函数f（x）＝x2+ax+2，a∈R．
（1）若不等式f（x）≤0的解集为[1，2]，求不等式f（x）≥1﹣x2的解集；
（2）若函数g（x）＝f（x）+x2+1在区间（1，2）上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
【分析】（1）根据二次函数与对应一元二次不等式的关系，求出a的值，再解不等式f（x）≥1﹣x2即可；
（2）根据二次函数g（x）的图象与性质，列出不等式组，求出解集即可．
【解答】解：（1）∵函数f（x）＝x2+ax+2，a∈R；
当不等式f（x）≤0的解集为[1，2]时，
对应方程x2+ax+2＝0有两个实数根1和2，
∴﹣a＝1+2，即a＝﹣3；
∴不等式f（x）≥1﹣x2可化为
x2﹣3x+2≥1﹣x2，
即2x2﹣3x+1≥0，
∴（2x﹣1）（x﹣1）≥0，
解得x或x≥1；
∴该不等式的解集为{x|x或x≥1}；
（2）∵函数g（x）＝f（x）+x2+1＝x2+ax+2+x2+1＝2x2+ax+3，
且g（x）在区间（1，2）上有两个不同的零点，
∴，
即；
解得﹣5＜a＜﹣2，
∴实数a的取值范围是﹣5＜a＜﹣2．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了不等式（组）的解法与应用问题，是综合性题目．
19．（12分）已知函数f（x）．
（1）若a＝﹣1，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）有最大值3，求a的值．
【分析】（1）把a＝﹣1代入f（x）中，令t＝﹣x2﹣4x+3，利用导数求出t的单调区间，结合复合函数的单调性，可得f（x）单调区间；
（2）由f（x）有最大值3，可得函数t＝ax2﹣4x+3有最小值，求出t的最小值，再结合条件求出a的值．
【解答】解：（1）若a＝﹣1，则，
令t＝﹣x2﹣4x+3，则t′＝﹣2x﹣4，
由t′＝﹣2x﹣4＞0，得x＜﹣2；由t′＝﹣2x﹣4＜0，解得x＞﹣2．
∴t＝﹣x2﹣4x+3的增区间为（﹣∞，﹣2），减区间为（﹣2，+∞），
又y是定义域内的减函数，
∴f（x）的减区间为（﹣∞，﹣2），增区间为（﹣2，+∞）；
（2）由函数f（x）有最大值，可知a＞0，
且t＝ax2﹣4x+3有最小值，且为，
∵f（x）有最大值3，∴1，解得a＝1．
【点评】本题考查复合函数单调性及最值的求法，训练了利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，是基础题．
20．（12分）已知一扇形的圆心角为α（α＞0），所在圆的半径为R．
（1）若α＝90°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）若扇形的周长是一定值C（C＞0），当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
【分析】（1）设弧长为l，弓形面积为S弓，利用三角形的面积公式，弧长公式即可计算得解．
（2）扇形周长C＝2R+l＝2R+αR，可得R，利用扇形的面积公式，基本不等式即可求解．
【解答】解：（1）设弧长为l，弓形面积为S弓，则：α＝90°，R＝10，l10＝5π（cm），
S弓＝S扇﹣S△5π×10102＝25π﹣50（cm2）．
（2）扇形周长C＝2R+l＝2R+αR，
∴R，
∴S扇α•R2α（）2•．
当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值．
【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，弧长公式，扇形的面积公式，基本不等式的应用，考查了转化思想，属于基础题．
21．（12分）已知函数，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数y＝f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，再把所得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，求函数y＝g（x）在区间上的值域．
【分析】（1）直接利用余弦型函数性质的应用求出函数的最小正周期和函数的单调递增区间；
（2）利用函数的图象点的平移变换和伸缩变换的应用，利用函数的定义域求出函数的值域．
【解答】解：（1）函数，
故函数的最小正周期为，
令，（k∈Z），
整理得：，（k∈Z）；
故函数的单调递增区间为．
（2）函数y＝f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，再得到函数y＝2sin（4x）的图象，
再把所得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，
由于；
故；
故g（x）∈[﹣1，2]．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，三角函数的值，函数图象的平移变换和伸缩变换的应用，函数的定义域和值域的确定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
22．（12分）如图，函数（ω＞0，）的图象与y轴交于点，最小正周期是π．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知点，点P是函数f（x）图象上一点，点是线段PA的中点，且，求x0的值．
【分析】（1）由图象与y轴交于点（0，），周期是π．可得ω和φ的值，从而可得函数解析式．
（2）点Q（x0，y0）是PA的中点，点A（，0），利用中点坐标求出P的坐标，点P是该函数图象上一点，代入函数解析式，化简，根据y0，x0∈[，π]，求解x0的值．
【解答】解：（1）由题意，周期是π，即ω2．
由图象与y轴交于点（0，），∴2csφ，
可得csφ，
∵0≤φ，
∴φ．
故得函数解析式f（x）＝2cs（2x）．
（2）由题意：点Q（x0，y0）是PA的中点，点A（，0），
∴P的坐标为（2x0，2y0），
由y0，可得：P的坐标为（2x0，），
又∵点P是该函数图象上一点，
∴2cs[2×（2x0）]，
整理可得：cs（4x0），
∵x0∈[，π]，
∴4x0∈[，]，
故有：4x0或4x0，
解得：x0或x0．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系，属于中档题．
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