2021-2022学年湖南省长沙市雅礼中学高一（上）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年湖南省长沙市雅礼中学高一（上）期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）设U＝R，集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＞﹣1}，则（∁UA）∩B＝（ ）
A．{x|﹣1＜x≤1}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|x＜1}D．{x|x＞﹣1}
2．（5分）命题“∀α∈R，sinα＜2”的否定为（ ）
A．∃α∈R，sinα＜2B．∃α∈R，sinα≥2
C．∀α∈R，sinα≥2D．∀α∈R，sinα＞2
3．（5分）设a，b＝ln2，c，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．c＜a＜bD．c＜b＜a
4．（5分）已知角α顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（3，﹣4），将α的终边逆时针旋转180°，这时终边所对应的角是β，则csβ＝（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）sin20°cs10°+sin70°sin10°＝（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）函数f（x）＝x2的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
7．（5分）在△ABC中，已知，，则C的大小为（ ）
A．90°B．45°C．135°D．60°
8．（5分）近来猪肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的猪肉价格分别为a元/斤、b元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲、乙两次平均单价为分别记为m1，m2，则下列结论正确的是（ ）
A．m1＝m2
B．m1＞m2
C．m2＞m1
D．m1，m2的大小无法确定
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）若﹣1＜x≤3是﹣3＜x＜a的充分不必要条件，则实数a的值可以是（ ）
A．2B．3C．4D．5
（多选）10．（5分）已知不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|﹣1≤x≤2}，则（ ）
A．b＜0B．a+b+c＞0C．c＞0D．a+b＝0
（多选）11．（5分）已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．f（x）的最小正周期为π
B．f（x）在上单调递增
C．是f（x）的一个对称中心
D．当时，f（x）的最大值为
（多选）12．（5分）定义在实数集R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），且当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝x，下列正确的是（ ）
A．f（2022）＝0
B．函数f（x）的最小正周期为2
C．函数f（x）的值域为[﹣1，1]
D．方程f（x）＝lg5|x|有5个根
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）幂函数y＝f（x）的图象经过点（，4），则f（）的值为 ．
14．（5分）已知扇形AOB的面积为，圆心角为120°，则该扇形所在圆的半径为 ．
15．（5分）的单调递增区间是 ．
16．（5分）（1）若，x∈[0，2π），则x的取值范围是 ；
（2）若，则x的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知函数f（x）＝x2+bx+c，且g（x）＝f（x）+2x为偶函数，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求f（x）的解析式．
条件①：函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为5；
条件②：方程f（x）＝0有两根x1，x2，且x12+x22＝10．
18．（12分）已知函数的部分图象如图所示：
（1）求f（x）的解析式；
（2）将f（x）的图象上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象求方程在[0，π]的实数解．
19．（12分）已知α，β均为锐角，且，．
（1）求sin2α的值；
（2）求sinβ的值．
20．（12分）已知函数的最小值为﹣3．
（1）求m的值；
（2）∀x∈（0，π），，求实数a的取值范围．
21．（12分）2021年5月，“共和国勋章”获得者、“杂交水稻之父”袁隆平先生辞世，他的功绩将永远被人们铭记：在他和几代科学家的共同努力下，中国用全世界7%的耕地，养活了全世界22%的人口．目前，我国年人均粮食占有量已经稳定在470千克以上，远高于国际公认的400千克粮食安全线．
某校数学建模小组的同学想研究假如没有杂交水稻的推广，没有合理的人口、土地政策，仅以新中国成立时的自然条件为前提，我国年人均粮食占有量会如何变化？根据英国经济学家马尔萨斯《人口论》的观点“人口呈几何级数增长，而生活资料呈直线型增长”，该小组同学做了以下研究．
根据马尔萨斯的理论，自然状态下人口增长模型为①
（其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的年平均增长率，y表示t年后的人口数，单位：万人）．根据国家统计局网站的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万．该小组同学根据这两个数据，以1950年末的数据作为t＝0时的人口数，求得①式人口增长模型．经检验，1950～1959年的实际人口数与此模型基本吻合，如图．
（1）若你是该小组成员，请求出①式的人口增长模型，并以该模型计算从1950年末开始，大约多少年后我国人口达到13亿？（年数取不小于t的最小整数）
（2）根据马尔萨斯的理论，该小组同学把自然状态下粮食增长模型近似看作直线型模型，通过查阅我国1950年末至1959年末粮食产量，得到粮食增长模型近似为y＝600t+13600（其中t表示经过的时间，y表示第t年的粮食年产量，单位：万吨）．
（t∈N）表示从1950年末开始第t年的年人均粮食占有量，单位：吨/人．
（ⅰ）求满足的正整数k的最小值；
（ⅱ）按此模型，我国年人均粮食占有量能达到400千克吗？试说明理由．
参考数据：ln67207﹣ln55196≈9×0.02188，ln130000﹣ln55196≈39.15×0.02188，e0.02188≈1.022，55196×1.02223≈91050．
22．（12分）已知函数f（x）＝ax（a＞1）．
（1）若f（x）在[1，2]上的最大值为，求a的值；
（2）证明：函数f（x）有且只有一个零点x0，且0．
2021-2022学年湖南省长沙市雅礼中学高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设U＝R，集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＞﹣1}，则（∁UA）∩B＝（ ）
A．{x|﹣1＜x≤1}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|x＜1}D．{x|x＞﹣1}
【分析】先求出集合A的补集，再根据交集的定义即可求解．
【解答】解：由已知可得∁UA＝{x|x≤1}，
则（∁UA）∩B＝{x|﹣1＜x≤1}，
故选：A．
【点评】本题考查了集合的运算关系，考查了学生的运算能力，属于基础题．
2．（5分）命题“∀α∈R，sinα＜2”的否定为（ ）
A．∃α∈R，sinα＜2B．∃α∈R，sinα≥2
C．∀α∈R，sinα≥2D．∀α∈R，sinα＞2
【分析】由题意利用全称命题的否定是特称命题，得出结论．
【解答】解：由于全称命题的否定是特称命题，
故命题“∀α∈R，sinα＜2”的否定为“∃α∈R，sinα≥2”，
故选：B．
【点评】本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
3．（5分）设a，b＝ln2，c，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．c＜a＜bD．c＜b＜a
【分析】利用指数函数，对数函数的单调性，再借助中间量1和0求解即可．
【解答】解：alg31＝0，
∵ln1＜ln2＜lne，∴0＜b＜1，
c50＝1，
∴a＜b＜c，
故选：A．
【点评】本题考查了指数函数，对数函数的单调性，属于基础题．
4．（5分）已知角α顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（3，﹣4），将α的终边逆时针旋转180°，这时终边所对应的角是β，则csβ＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得csβ的值．
【解答】解：角α顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（3，﹣4），
∴csα，
将α的终边逆时针旋转180°，这时终边所对应的角是β＝180°+α，
则csβ＝cs（180°+α）＝﹣csα，
故选：B．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．
5．（5分）sin20°cs10°+sin70°sin10°＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用两角差的余弦公式求解即可得答案．
【解答】解：sin 20°cs 10°+sin 10°sin 70°＝cs70°cs10°+sin70°sin10°
＝cs（70°﹣10°）
＝cs60°．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数化简求值，是基础题．
6．（5分）函数f（x）＝x2的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用奇偶性判断选项A，B，由特殊值的正负判断选项C，D．
【解答】解：函数f（x）为偶函数，故选项A，B错误；
又，故选项C错误，选项D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了函数图象的识别，解题的关键是掌握识别图象的方法：可以从定义域、值域、函数值的正负、特殊点、特殊值、函数的性质等方面进行判断，考查了直观想象能力与逻辑推理能力，属于基础题．
7．（5分）在△ABC中，已知，，则C的大小为（ ）
A．90°B．45°C．135°D．60°
【分析】（1）由题意和两角和的正切公式求出tan（A+B）的值，由内角的范围求出A+B，由内角和定理求出角C的值；
【解答】解：（1）由题意知，tanA，tanB，
则tan（A+B）1，
∵0°＜A+B＜180°，∴A+B＝45°，
∴∠C＝180°﹣（A+B）＝180°﹣45°＝135°．
故选：C．
【点评】本题考查正弦定理，两角和的正切公式，边角关系，注意内角的范围，属于中档题．
8．（5分）近来猪肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的猪肉价格分别为a元/斤、b元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲、乙两次平均单价为分别记为m1，m2，则下列结论正确的是（ ）
A．m1＝m2
B．m1＞m2
C．m2＞m1
D．m1，m2的大小无法确定
【分析】分别计算甲、乙购买猪肉的平均单价，再比较它们的大小．
【解答】解：甲购买猪肉的平均单价为：m1，
乙购买猪肉的平均单价为：m2，
且1，当且仅当a＝b时取“＝”，
因为两次购买的单价不同，即a≠b，
所以m1＜m2，
即乙的购买方式平均单价较大．
故选：C．
【点评】本题考查了平均数的计算问题，也考查了大小比较问题，是基础题．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）若﹣1＜x≤3是﹣3＜x＜a的充分不必要条件，则实数a的值可以是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】把﹣1＜x≤3是﹣3＜x＜a的充分不必要条件转化为（﹣1，3]⫋（﹣3，a），由此得到a的范围，则答案可求．
【解答】解：∵﹣1＜x≤3是﹣3＜x＜a的充分不必要条件，
∴{x|﹣1＜x≤3}⫋{x|﹣3＜x＜a}，
∴a＞3，
∴实数a的值可以是4或5．
故选：CD．
【点评】本题考查充分必要条件的判定及其应用，是基础题．
（多选）10．（5分）已知不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|﹣1≤x≤2}，则（ ）
A．b＜0B．a+b+c＞0C．c＞0D．a+b＝0
【分析】根据不等式ax2+bx+c≥0的解集判断a＜0，求出a、b、c的关系，再判断选项中的命题是否正确．
【解答】解：不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|﹣1≤x≤2}，
所以a＜0且，
解得b＝﹣a，c＝﹣2a；
所以a+b＝0，选项D正确；
设二次函数f（x）＝ax2+bx+c，且a＜0，
且函数的零点是﹣1和2，所以f（1）＝a+b+c＞0，选项B正确；
因为c＝﹣2a＞0，所以选项C正确；
因为b＝﹣a＞0，所以选项A错误．
故选：BCD．
【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程和二次函数的关系应用问题，是基础题．
（多选）11．（5分）已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．f（x）的最小正周期为π
B．f（x）在上单调递增
C．是f（x）的一个对称中心
D．当时，f（x）的最大值为
【分析】由题意利用正弦弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：对于函数，它的最小正周期为π，故A正确；
在上，2x∈[，]，故f（x）在上没有单调性，故B错误；
令x，求得f（x）＝0，可得（，0）是f（x）的一个对称中心，故C正确；
当时，2x∈[，]，故当2x时，f（x）取得最大值，故D正确，
故选：ACD．
【点评】本题主要考查正弦弦函数的图象和性质，属于中档题．
（多选）12．（5分）定义在实数集R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），且当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝x，下列正确的是（ ）
A．f（2022）＝0
B．函数f（x）的最小正周期为2
C．函数f（x）的值域为[﹣1，1]
D．方程f（x）＝lg5|x|有5个根
【分析】由已知求得函数f（x）的最小正周期为4，计算f（2022），由对称性作出f（x）的图象，以及y＝lg5|x|的图象，找出它们的交点个数，然后逐一分析四个选项得答案．
【解答】解：定义在实数集R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），
故f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
可得f（x）的最小正周期为4，∴f（2022）＝f（2）＝﹣f（0）＝0，
且当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝x，值域为[﹣1，1]，
由f（x+2）＝f（﹣x），可得f（x）的图象关于直线x＝1对称，故整个函数的值域为[﹣1，1]，
作出y＝lg5|x|的图象，可得共有5个交点，
可得方程f（x）＝lg5|x|有5个根，
则B错误；ACD正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查函数的奇偶性、对称性及周期性，考查函数零点与方程根的关系，注意转化思想的运用以及数形结合的解题思想，是中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）幂函数y＝f（x）的图象经过点（，4），则f（）的值为 16 ．
【分析】设出幂函数的解析式，利用待定系数法求出解析式，再计算f（）的值．
【解答】解：设幂函数y＝f（x）＝xα，它的图象经过点（，4），
则4，解得α＝﹣2，所以f（x）＝x﹣2；
所以f（）16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了用待定系数法求幂函数的解析式以及根据解析式求函数值的应用问题，是基础题目．
14．（5分）已知扇形AOB的面积为，圆心角为120°，则该扇形所在圆的半径为 2 ．
【分析】由已知利用扇形的面积公式即可求解．
【解答】解：设扇形的半径为r，
因为扇形AOB的面积为，圆心角AOB为，
可得扇形的面积Sr2α，可得：r2，解得：r＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了扇形的面积公式的应用，属于基础题．
15．（5分）的单调递增区间是 （2k，2k），k∈Z ．
【分析】由题意利用正切函数的单调性，得出结论．
【解答】解：对于，令kπxkπ，k∈Z，
求得2kx＜2k，k∈Z，
可得函数f（x）的单调递增区间为（2k，2k ），k∈Z，
故答案为：（2k，2k ），k∈Z．
【点评】本题主要考查正切函数的单调性，属于基础题．
16．（5分）（1）若，x∈[0，2π），则x的取值范围是 （，） ；
（2）若，则x的取值范围是 x∈[2kπ，2kπ]，k∈Z ．
【分析】（1）由已知利用正弦函数的图象和性质可求x的取值范围．
（2）令t＝sinx+csx，化简已知等式可得t0，可得tsin（x）＜0，用正弦函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）因为，x∈[0，2π），
所以由正弦函数的图象和性质可得x∈（，）．
（2）令t＝sinx+csx，则t2＝1+2sinxcsx，
因为，
所以t0，t+|t|＝0，可得t＜0，
可得t＝sinx+csxsin（x）＜0，
解得x∈[2kπ，2kπ]，k∈Z．
故答案为：（，），x∈[2kπ，2kπ]，k∈Z．
【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质的应用，考查了函数思想，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知函数f（x）＝x2+bx+c，且g（x）＝f（x）+2x为偶函数，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求f（x）的解析式．
条件①：函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为5；
条件②：方程f（x）＝0有两根x1，x2，且x12+x22＝10．
【分析】根据偶函数的性质求出b＝﹣2，若选择条件①，由二次函数的图象和性质可得f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为f（﹣2）＝5，可求得c，从而可得函数f（x）的解析式；若选择②，由根与系数的关系即可求解c值，从而可得函数f（x）的解析式．
【解答】解：函数f（x）＝x2+bx+c，则g（x）＝f（x）+2x＝x2+（b+2）x+c，
因为g（x）为偶函数，所以g（﹣x）＝g（x），
即x2﹣（b+2）x+c＝x2+（b+2）x+c，可得b＝﹣2，
所以f（x）＝x2﹣2x+c，图象开口向上，对称轴为x＝1，
若选条件①，函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为5，
所以f（﹣2）＝4+4+c＝5，解得c＝﹣3，
所以f（x）的解析式为f（x）＝x2﹣2x﹣3；
若选条件②，方程f（x）＝0有两根x1，x2，且x12+x22＝10．
由根与系数的关系可得x1+x2＝2，x1x2＝c，
又（x1+x2）2＝x12+x22+2x1x2，
所以4＝10+2c，解得c＝﹣3，
所以f（x）的解析式为f（x）＝x2﹣2x﹣3．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性，考查二次函数的图象与性质，属于中档题．
18．（12分）已知函数的部分图象如图所示：
（1）求f（x）的解析式；
（2）将f（x）的图象上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象求方程在[0，π]的实数解．
【分析】（1）由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）由题意利用正弦函数的图象和性质，求得结果．
【解答】解：（1）函数的部分图象可得，
，∴ω＝1．
再根据五点法作图，可得1×（）+φ＝0，求得φ，∴f（x）＝sin（x）．
（2）将f（x）的图象上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，
得到函数g（x）＝sin（2x）的图象，
方程，即 sin（2x），可得 2x2kπ 或 2kπ，k∈Z，
即 x＝kπ或kπ，
由于x∈[0，π]，可得x＝0，，π．
【点评】本题主要考查由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
19．（12分）已知α，β均为锐角，且，．
（1）求sin2α的值；
（2）求sinβ的值．
【分析】（1）利用同角三角函数关系式以及二倍角的正弦公式求解即可；（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin（α+β）的值，再利用两角和差的正弦公式求得sinβ的值．
【解答】解：（1）由题意，α，β均为锐角，
因为sinα，
所以csα，
则sin2α＝2sinαcsα＝2；
∵α，β均为锐角，cs（α+β），∴α+β∈（0，π），
∴sin（α+β），
∴sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）csα﹣cs（α+β）sinα
（）．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和差的正弦公式的应用，属于基础题．
20．（12分）已知函数的最小值为﹣3．
（1）求m的值；
（2）∀x∈（0，π），，求实数a的取值范围．
【分析】（1）化简函数f（x）的解析式，再结合题意可得﹣1m＝﹣3，解得m；
（2）由（1）可得f（x）＝cs2x﹣2，不等式可化为﹣2sin2x+asinx﹣1＜0，令t＝sinx，x∈（0，π），问题可转化为任意t∈（0，1]，﹣2t2+at﹣1＜0恒成立，即任意t∈（0，1]，a＜2t恒成立，再结合基本不等式，即可得出答案．
【解答】解：（1）f（x）sinxcsx+cs2x+msin2xm
sin2xcs2xm＝sin（2x）m，
因为f（x）的最小值为﹣3，
所以﹣1m＝﹣3，解得m；
（2）f（x）＝sin[2（x）]＝sin（2x）﹣2＝cs2x﹣2，
asinx+f（x）＝asinx+cs2x﹣2＝asinx+1﹣2sin2x﹣2＝﹣2sin2x+asinx﹣1，
令t＝sinx，x∈（0，π），
所以t∈（0，1]，
所以原不等式可转化为﹣2t2+at﹣1＜0，
a＜2t，
由基本不等式可得2t22，（当且仅当2t，即t时，取等号），
所以a＜2，
所以实数a的取值范围为（﹣∞，2）．
【点评】本题考查三角函数的最值，恒成立问题，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
21．（12分）2021年5月，“共和国勋章”获得者、“杂交水稻之父”袁隆平先生辞世，他的功绩将永远被人们铭记：在他和几代科学家的共同努力下，中国用全世界7%的耕地，养活了全世界22%的人口．目前，我国年人均粮食占有量已经稳定在470千克以上，远高于国际公认的400千克粮食安全线．
某校数学建模小组的同学想研究假如没有杂交水稻的推广，没有合理的人口、土地政策，仅以新中国成立时的自然条件为前提，我国年人均粮食占有量会如何变化？根据英国经济学家马尔萨斯《人口论》的观点“人口呈几何级数增长，而生活资料呈直线型增长”，该小组同学做了以下研究．
根据马尔萨斯的理论，自然状态下人口增长模型为①
（其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的年平均增长率，y表示t年后的人口数，单位：万人）．根据国家统计局网站的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万．该小组同学根据这两个数据，以1950年末的数据作为t＝0时的人口数，求得①式人口增长模型．经检验，1950～1959年的实际人口数与此模型基本吻合，如图．
（1）若你是该小组成员，请求出①式的人口增长模型，并以该模型计算从1950年末开始，大约多少年后我国人口达到13亿？（年数取不小于t的最小整数）
（2）根据马尔萨斯的理论，该小组同学把自然状态下粮食增长模型近似看作直线型模型，通过查阅我国1950年末至1959年末粮食产量，得到粮食增长模型近似为y＝600t+13600（其中t表示经过的时间，y表示第t年的粮食年产量，单位：万吨）．
（t∈N）表示从1950年末开始第t年的年人均粮食占有量，单位：吨/人．
（ⅰ）求满足的正整数k的最小值；
（ⅱ）按此模型，我国年人均粮食占有量能达到400千克吗？试说明理由．
参考数据：ln67207﹣ln55196≈9×0.02188，ln130000﹣ln55196≈39.15×0.02188，e0.02188≈1.022，55196×1.02223≈91050．
【分析】（1）求出t＝9时的y的值，然后列出关系式，求出r的值，从而得到人口增长模型，再令y＝130000，求出t的值即可；
（2）（i）表示出f（k）并化简，然后再列出，求解k的范围，即可得到答案；
（ii）利用（i）中的结论可知，当t＝23时，年人均粮食占有量最大，代入求解即可．
【解答】解：（1）由题意可知，y0＝55196，当t＝9时，y＝67207，
所以67207＝55196e9r，
两边同时取对数可得，ln67207﹣ln55196＝9r，解得r≈0.02188，
所以y＝55196e0.02188t，
令y＝130000，可得55196e0.02188t＝130000，
即ln130000﹣ln55196＝0.02188t，解得t≈39.15，取t＝40，
所以从1950年末开始，大约40年后我国人口达到13亿；
（2）（i）由题意，，
则，
令，解得k＞23.79，
所以正整数k的最小值为24；
（ii）由（i）可知，当k≤23时，年人均粮食占有量逐年增加，
从第24年起，年人均粮食占有量逐年下降，
当t＝23时，年人均粮食占有量最大，
该最大值为吨＝301千克，
因为301＜400，
所以按此模型我国年人均粮食占有量不能达到400千克．
【点评】本题考查了回归方程的求解与应用，涉及了对数运算性质的应用，函数单调性的判断与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
22．（12分）已知函数f（x）＝ax（a＞1）．
（1）若f（x）在[1，2]上的最大值为，求a的值；
（2）证明：函数f（x）有且只有一个零点x0，且0．
【分析】（1）由 f（x）在[1，2]上递增，可得 ，从而可求出a的值，
（2）由函数的单调性和零点存在性定理可证得函数 f（x） 有且只有一个零点 x0，由，可得lgax0+x0＝0，再由，可得，则，再结合 可证得结论．
【解答】解：（1）因为函数y＝ax（a＞1）和在[1，2]上递增，
所以f（x）在[1，2]上递增，
又因为f（x）在[1，2]上的最大值为，所以，
因为a＞1，所以解得a＝2；
（2）证明：因为x∈（﹣∞，0），
所以，所以在（﹣∞，0）上不存在零点．
由（1）得 在（0，+∞）上单调递增，且，
所以f（x）在（0，+∞）上有唯一零点x0，且，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
由于
所以
因为0＜x0＜1，所以，得证．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、切线方程、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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