2021-2022学年湖南省长沙市长沙县、望城区、浏阳市高一（上）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年湖南省长沙市长沙县、望城区、浏阳市高一（上）期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则∁U（A∩B）＝（ ）
A．{2，3}B．{1，2，3，4}C．{1，4}D．{2，3，4}
2．（5分）已知命题p：∃x＞1，x2﹣4＜0，则￢p是（ ）
A．∃x＞1，x2﹣4≥0B．∃x≤1，x2﹣4＜0
C．∀x≤1，x2﹣4≥0D．∀x＞1，x2﹣4≥0
3．（5分）已知角α的终边与单位圆相交于点P（，），则sin2α＝（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）设函数f（x）x﹣lnx（x＞0），则y＝f（x）（ ）
A．在区间（e﹣1，1），（1，e）内均有零点
B．在区间（e﹣1，1），（1，e）内均无零点
C．在区间（e﹣1，1）内无零点，在区间（1，e）内有零点
D．在区间（e﹣1，1）内有零点，在区间（1，e）内无零点
5．（5分）如果“，k∈Z”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．不充分也不必要条件
6．（5分）已知函数y＝f（x）可表示为
则下列结论正确的是（ ）
A．f（f（5））＝5
B．f（x）的值域是{2，3，4，5}
C．f（x）的值域是[2，5]
D．f（x）在区间[4，8]上单调递增
7．（5分）如果f（x）是定义在R上的函数，使得对任意的x∈R，均有f（﹣x）≠﹣f（x），则称该函数y＝f（x）是“X﹣函数”．若函数y＝sinx+csx+a是“X﹣函数”，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C．[﹣1，1]D．[﹣2，2]
8．（5分）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：．它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（ ）附：lg2≈0.3010
A．10%B．20%C．50%D．100%
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）若，则下列不等式正确的是（ ）
A．|a|＞|b|B．a＜bC．a+b＜abD．a3＞b3
（多选）10．（5分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．f（0）＝1
B．在区间[，0]上单调递增
C．将f（x）的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数
D．
（多选）11．（5分）若方程x2+2x+λ＝0在区间（﹣1，0）上有实数根，则实数λ的取值可以是（ ）
A．﹣3B．C．D．1
（多选）12．（5分）已知定义在R上函数f（x）的图像是连续不断的，且满足以下条件：①∀x∈R，f（﹣x）＝f（x）；②∀m，n∈（0，+∞），当m≠n时，都有；③f（﹣1）＝0，则下列选项成立的是（ ）
A．f（3）＞f（﹣4）
B．若f（m﹣1）＜f（2），则m∈（3，+∞）
C．若0，x∈（﹣1，0）∪（1，+∞）
D．∀x∈R，∃M∈R，使得f（x）≤M
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知幂函数y＝f（x）的图象过点，则它的解析式为 ．
14．（5分） ．
15．（5分）果蔬批发市场批发某种水果，不少于100千克时，批发价为每千克2.5元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为x千克，小王付款后剩余现金为y元，则x与y之间的函数关系为 ；x的取值范围是 ．
16．（5分）若实数x，y满足x＞y＞0，且lg2x+lg2y＝3，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）目前，“新冠肺炎”在我国得到了很好的遏制，但在世界其他一些国家还大肆流行．因防疫需要，某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室．已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与药熏时间t（小时）成正比；当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）达到最大值．此后，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）的函数关系式为（a为常数）．已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）关于时间t（小时）的变化曲线如图所示．
（Ⅰ）从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式；
（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于0.125毫克时，学生方可进入教室，那么从药熏开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？
18．（12分）设函数f（x）＝ax2+（b﹣1）x+2．
（1）若不等式f（x）＜0的解集为（1，2），求实数a，b的值；
（2）若f（﹣1）＝5，且存在x∈R，使f（x）＜1成立，求实数a的取值范围．
19．（12分）（1）若tanα＝2，求的值；
（2）已知锐角α，β满足，若，求β的值．
20．（12分）已知f（x）．
（1）若f（x），x∈（，），求x的值；
（2）若x∈[0，]，求f（x）的最大值和最小值．
21．（12分）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本p（x）x+150万元．
（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？
（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋口完成分拣．经实验知，每台机器人的日平均分拣量q（m）（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？
22．（12分）设函数f（x）（b＞0，b≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求f（x）；
（2）若f（2）＜0，求使不等式f（kx+x2）+f（x+1）＜0对一切x∈R恒成立的实数k的取值范围；
（3）若函数f（x）的图象过点（1，），是否存在正数a（a≠1），使函数g（x）＝lga[b2x+b﹣2x﹣2f（x）+a﹣1]在[﹣1，0]上的最大值为2，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
2021-2022学年湖南省长沙市长沙县、望城区、浏阳市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则∁U（A∩B）＝（ ）
A．{2，3}B．{1，2，3，4}C．{1，4}D．{2，3，4}
【分析】根据题意，求出A∩B，进而由补集定义计算可得答案．
【解答】解：根据题意，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，
则A∩B＝{2，3}，
又由全集U＝{1，2，3，4}，则∁U（A∩B）＝{1，4}，
故选：C．
【点评】本题考查集合的交并补混合运算，关键是掌握集合交并补的定义，属于基础题．
2．（5分）已知命题p：∃x＞1，x2﹣4＜0，则￢p是（ ）
A．∃x＞1，x2﹣4≥0B．∃x≤1，x2﹣4＜0
C．∀x≤1，x2﹣4≥0D．∀x＞1，x2﹣4≥0
【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．
【解答】解：命题是特称命题，
则否定是全称命题，即∀x＞1，x2﹣4≥0，
故选：D．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键，是基础题．
3．（5分）已知角α的终边与单位圆相交于点P（，），则sin2α＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】先计算|OP|，再利用任意角的三角函数的定义以及二倍角公式即可求解．
【解答】解：由题意，|OP|＝1，
∵角α的终边与单位圆相交于点P（，），
∴sinα，csα，
∴sin2α＝2sinαcsα＝2．
故选：C．
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义以及二倍角公式，属于基础题．
4．（5分）设函数f（x）x﹣lnx（x＞0），则y＝f（x）（ ）
A．在区间（e﹣1，1），（1，e）内均有零点
B．在区间（e﹣1，1），（1，e）内均无零点
C．在区间（e﹣1，1）内无零点，在区间（1，e）内有零点
D．在区间（e﹣1，1）内有零点，在区间（1，e）内无零点
【分析】令f（x）＝0，画出函数和y＝lnx的图像，观察两图像的交点所在的区间，即可得答案．
【解答】解：令f（x）＝0，得，作出函数和y＝lnx的图像，如图所示，
根据图像可知，y＝f（x）在区间内无零点，在区间（1，e）内有零点，
故选：C．
【点评】本题考查了函数的零点的判断，属于基础题．
5．（5分）如果“，k∈Z”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．不充分也不必要条件
【分析】根据余弦函数的图象可得，当时，x＝2kπ或2kπ，k∈Z，再判断充分性与必要性，即可．
【解答】解：当，k∈Z时，是成立的，即充分性成立；
当时，x＝2kπ或2kπ，k∈Z，即必要性不成立，
故选：A．
【点评】本题考查余弦函数的图象与性质，充分必要条件的判断，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
6．（5分）已知函数y＝f（x）可表示为
则下列结论正确的是（ ）
A．f（f（5））＝5
B．f（x）的值域是{2，3，4，5}
C．f（x）的值域是[2，5]
D．f（x）在区间[4，8]上单调递增
【分析】由已知函数，结合函数的性质分别检验各选项即可判断．
【解答】解：由图表可知f（5）＝4，f（f（5））＝f（4）＝3，A错误；
根据题意可知，f（x）的值域是{2，3，4，5}，B正确，C错误；
由题意可知，f（x）在区间[4，8]上单不调，D错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数的表示方法及函数性质的判断，属于基础题．
7．（5分）如果f（x）是定义在R上的函数，使得对任意的x∈R，均有f（﹣x）≠﹣f（x），则称该函数y＝f（x）是“X﹣函数”．若函数y＝sinx+csx+a是“X﹣函数”，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C．[﹣1，1]D．[﹣2，2]
【分析】根据题意，设f（x）＝sinx+csx+a，则有f（x）+f（﹣x）＝2csx+2a，结合“X﹣函数”的定义可得方程f（x）+f（﹣x）＝2csx+2a＝0无解，结合余弦函数的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设f（x）＝sinx+csx+a，则f（﹣x）＝sin（﹣x）+cs（﹣x）+a＝﹣sinx+csx+a，
则f（x）+f（﹣x）＝2csx+2a，
若函数y＝f（x）是“X﹣函数”，即f（x）+f（﹣x）＝2csx+2a＝0无解，
又由csx∈[﹣1，1]，必有a＜﹣1或a＞1，
即a的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
故选：A．
【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是理解“X﹣函数”的含义，属于基础题．
8．（5分）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：．它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（ ）附：lg2≈0.3010
A．10%B．20%C．50%D．100%
【分析】根据题意，计算出即可．
【解答】解：当 时，C＝Wlg21000，
当 时，C＝Wlg24000，
因为 ，
所以将信噪比 从1000提升至 4000，则 C 大约增加了 20%，
故选：B．
【点评】本题考查的是对数的运算，掌握对数的运算法则和运算性质是解题的关键，属于中档题．
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）若，则下列不等式正确的是（ ）
A．|a|＞|b|B．a＜bC．a+b＜abD．a3＞b3
【分析】由已知可得b＜a＜0，进而可以判断各个选项是否正确．
【解答】解：由已知若可得：b＜a＜0，故B错误，
则|a|＜|b|，A错误，而a+b＜0，ab＞0，所以a+b＜ab，C正确，
因为a＞b，所以a3＞b3，D正确，
故选：CD．
【点评】本题考查了不等关系与不等式，考查了学生的解不等式的能力，属于基础题．
（多选）10．（5分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．f（0）＝1
B．在区间[，0]上单调递增
C．将f（x）的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数
D．
【分析】由函数f（x）的部分图象求出函数解析式，再判断选项中的命题是否正确即可得出答案．
【解答】解：函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象知，
A＝2，（），解得T＝π，所以ω2；
又f（）＝0，由五点法画图知，2×（）+φ＝0，解得φ；
所以f（x）＝2sin（2x）．
由f（0）＝2sin，所以选项A错误；
x∈[，0]时，2x∈[，]，函数f（x）＝2sin（2x）单调递增，选项B正确；
将f（x）的图象向左平移个单位，得y＝f（x）＝2sin（2x），该函数不是偶函数，选项C错误；
﹣f（x）＝﹣2sin[2（x）]＝﹣2sin（2x）＝2sin（2x）＝2sin（2x）＝f（x），选项D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查了三角函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的图象与性质的应用问题，是基础题．
（多选）11．（5分）若方程x2+2x+λ＝0在区间（﹣1，0）上有实数根，则实数λ的取值可以是（ ）
A．﹣3B．C．D．1
【分析】利用二次方程，与对应的函数的对称轴，结合零点判断定理，转化求解即可．
【解答】解：方程x2+2x+λ＝0对应的二次函数为：y＝x2+2x+λ，它的对称轴为：x＝﹣1，
所以函数在（﹣1，0）上是增函数，所以，可得，
解得λ∈（0，1）．
故选：BC．
【点评】本题考查函数的零点判断定理的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．
（多选）12．（5分）已知定义在R上函数f（x）的图像是连续不断的，且满足以下条件：①∀x∈R，f（﹣x）＝f（x）；②∀m，n∈（0，+∞），当m≠n时，都有；③f（﹣1）＝0，则下列选项成立的是（ ）
A．f（3）＞f（﹣4）
B．若f（m﹣1）＜f（2），则m∈（3，+∞）
C．若0，x∈（﹣1，0）∪（1，+∞）
D．∀x∈R，∃M∈R，使得f（x）≤M
【分析】由题意得f（x）为偶函数且在（0，+∞）上单调递减，f（﹣1）＝0，根据偶函数对称性可知f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，f（1）＝0，然后检验各选项即可判断．
【解答】解：由题意得f（x）为偶函数且在（0，+∞）上单调递减，f（﹣1）＝0，
根据偶函数对称性可知f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，f（1）＝0，
所以f（3）＞f（4）＝f（﹣4），A正确；
若f（m﹣1）＜f（2），则|m﹣1|＞2，
解得，m＞3或m＜﹣1，B 错误；
若0，则或，
解得，x＞1或﹣1＜x＜0，C正确；
f（x）为偶函数且在（0，+∞）上单调递减，
所以∀x∈R，∃M使得f（x）≤M，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题综合考查了函数的单调性，奇偶性的定义及性质的应用，属于中档题．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知幂函数y＝f（x）的图象过点，则它的解析式为 f（x） ．
【分析】利用幂函数的定义即可求出．
【解答】解：设幂函数f（x）＝xα，
∵幂函数y＝f（x）的图象过点，∴，∴．
∴f（x）．
故答案为f（x）．
【点评】熟练掌握幂函数的定义是解题的关键．
14．（5分） ．
【分析】进行对数、指数和根式的运算即可．
【解答】解：原式．
故答案为：．
【点评】本题考查了对数、指数和根式的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．
15．（5分）果蔬批发市场批发某种水果，不少于100千克时，批发价为每千克2.5元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为x千克，小王付款后剩余现金为y元，则x与y之间的函数关系为 y＝3000﹣2.5x ；x的取值范围是 [100，1200] ．
【分析】根据题意，直接列出函数关系式，根据题意求出x的最值，即可得到x的取值范围．
【解答】解：由题意可得x与y之间的函数关系为y＝3000﹣2.5x，
由题意可知，最少买100千克，最多买千克，
所以x的取值范围为[100，1200]．
故答案为：y＝3000﹣2.5x；[100，1200]．
【点评】本题考查了函数在实际生产生活中的应用，解题的关键是正确理解题意，属于基础题．
16．（5分）若实数x，y满足x＞y＞0，且lg2x+lg2y＝3，则的最小值为 8 ．
【分析】先变形得到x﹣y，再利用基本不等式求最值即可．
【解答】解：∵lg2x+lg2y＝3，∴xy＝8，
∵x＞y＞0，
∴x﹣y28，
当且仅当x﹣y，即x＝22，y＝22时取等号，
∴的最小值为 8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）目前，“新冠肺炎”在我国得到了很好的遏制，但在世界其他一些国家还大肆流行．因防疫需要，某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室．已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与药熏时间t（小时）成正比；当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）达到最大值．此后，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）的函数关系式为（a为常数）．已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）关于时间t（小时）的变化曲线如图所示．
（Ⅰ）从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式；
（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于0.125毫克时，学生方可进入教室，那么从药熏开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？
【分析】（Ⅰ）根据教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与药熏时间t（小时）成正比，设出函数，求出比例系数，结合最高的坐标可求出a的值，从而得到函数关系式；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中函数解析式建立不等式，进一步求解即可得到答案．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，当0≤t≤0.2时，可设y＝kt，
因为y＝kt，过点（0.2，1），所以1＝0.2k，解得k＝5，
又由，解得a＝0.2，
所以；
（Ⅱ）令，即，
则5t﹣1≥3，解得t≥0.8，
即至少需要经过0.8小时后，学生才能回到教室．
【点评】本题主要考查了根据实际问题选择函数类型，解题的关键是确定两变量的函数关系，同时考查了学生的数学建模的能力，属于中档题．
18．（12分）设函数f（x）＝ax2+（b﹣1）x+2．
（1）若不等式f（x）＜0的解集为（1，2），求实数a，b的值；
（2）若f（﹣1）＝5，且存在x∈R，使f（x）＜1成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）由不等式的解就是对应方程的根，即可解出；
（2）由题意可以确定参数a与b的关系，进而即可解出．
【解答】解：（1）由不等式f（x）＜0的解集为（1，2）可得，
x＝1，x＝2是方程ax2+（b﹣1）x+2＝0的两个根，
∴﹣3且2，
∴；
（2）由f（﹣1）＝5得，a﹣（b﹣1）+2＝5，
∴a＝b+2，
∴f（x）＝ax2+（a﹣3）x+2，
当a＝0时，f（x）＝﹣3x+2，存在x使得f（x）＜1；
当a＜0时，f（x）是一个开口向下的二次函数，一定存在x使得f（x）＜1；
当a＞0时，f（x）是一个开口向上的二次函数，要存在x使得f（x）＜1则，
f（x）min＝f（）＝a×（）2+（a﹣3）（2（）1，
∴a2﹣10a+9＞0，
∴a＞9或a＜1，
综上可知，当a＜1，或a＞9时，存在实数x使得f（x）＜1成立．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，分类讨论思想，学生的数学运算能力，属于基础题．
19．（12分）（1）若tanα＝2，求的值；
（2）已知锐角α，β满足，若，求β的值．
【分析】（1）所求式子是一个齐次式，分子分母同时除以csα，转化为正切即可求；
（2）利用题中的条件，分别求出α+β，α﹣β的正弦和余弦，进而求出2β的余弦值，即可解出．
【解答】解：（1）因为tanα＝2，则；
（2）由锐角α，β，则0＜α+β＜π，，
所以sin（α+β）＞0，cs（α﹣β）＞0，
又cs（α+β），，
∴sin（α+β），cs（α﹣β），
∴cs2β＝cs[（α+β）﹣（α﹣β）]＝cs（α+β）cs（α﹣β）+sin（α+β）sin（α﹣β），
∵2β∈（0，π），
∴2β，
∴．
【点评】本题考查了三角函数的转化求值，学生的数学运算能力，两角和与差的公式，属于基础题．
20．（12分）已知f（x）．
（1）若f（x），x∈（，），求x的值；
（2）若x∈[0，]，求f（x）的最大值和最小值．
【分析】（1）利用辅助角公式进行化简，然后求出角的范围，解方程即可．
（2）求出角的范围，根据三角函数的最值性质进行求解即可．
【解答】解：（1）f（x）sin2x﹣3sin2xcs2x（sin2xcs2x）sin（2x），
由f（x），得sin（2x），即sin（2x），
∵x∈（，）∴2x∈（0，π），
则2x或2x，
得x或x．
（2）若x∈[0，]，则2x∈[0，π]，2x∈（，]，
则当2x时，f（x）取得最小值，最小值为f（x）sin（），
当2x时，f（x）取得最大值，最大值为f（x）sin．
【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质，利用辅助角公式进行化简，求出角的范围，利用三角函数的最值性质是解决本题的关键，是中档题．
21．（12分）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本p（x）x+150万元．
（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？
（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋口完成分拣．经实验知，每台机器人的日平均分拣量q（m）（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？
【分析】（1）由总成本p（x）x+150万元，可得每台机器人的平均成本，利用基本不等式转化求解即可．
（2）引进300台机器人后，①当1≤m≤30时，②当m＞30时，分别求解最大值，然后说明日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少75%．
【解答】解：（1）由总成本p（x）x+150万元，可得每台机器人的平均成本，
x1≥21＝2．
当且仅当x，即x＝300时，上式等号成立．
∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台．
（2）引进300台机器人后，
①当1≤m≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m（60﹣m）＝﹣160m2+9600m，
∴当m＝30时，日平均分拣量有最大值144000件．
②当m＞30时，日平均分拣量为470×300＝141000（件）．
∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件．
若传统人工分拣144000件，则需要人数为120（人）．
∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前
的用人数量最多可减少100%＝75%．
【点评】本题考查实际问题的处理方法，基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力是中档题．
22．（12分）设函数f（x）（b＞0，b≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求f（x）；
（2）若f（2）＜0，求使不等式f（kx+x2）+f（x+1）＜0对一切x∈R恒成立的实数k的取值范围；
（3）若函数f（x）的图象过点（1，），是否存在正数a（a≠1），使函数g（x）＝lga[b2x+b﹣2x﹣2f（x）+a﹣1]在[﹣1，0]上的最大值为2，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由奇函数f（x）在x＝0处有定义，可得f（0）＝0，解方程可得t，可得f（x）的解析式；
（2）由f（2）＜0，可得0＜b＜1，判断f（x）的单调性，原不等式化为kx+x2＞﹣x﹣1即x2+（k+1）x+1＞0对一切x∈R恒成立，运用判别式小于0，解不等式可得所求范围；
（3）求得f（x）＝2x﹣2﹣x，假设存在正数a（a≠1）符合题意，分别讨论a＞1，0＜a＜1，结合对数函数的单调性和二次函数的单调性，可得最值，解方程可得结论．
【解答】解：（1）函数f（x）（b＞0，b≠1）是定义域为R的奇函数，
可得f（0）＝0，即1﹣t+1＝0，解得t＝2，
则f（x）＝bx﹣b﹣x，f（﹣x）＝b﹣x﹣bx＝﹣f（x），可得f（x）为奇函数，
所以f（x）＝bx﹣b﹣x；
（2）若f（2）＜0，则b2﹣b﹣2＜0，可得0＜b＜1，
则f（x）在R上为奇函数，且为减函数，
不等式f（kx+x2）+f（x+1）＜0即f（kx+x2）＜﹣f（x+1）＝f（﹣x﹣1），
即有kx+x2＞﹣x﹣1即x2+（k+1）x+1＞0对一切x∈R恒成立，
则Δ＜0，即（k+1）2﹣4＜0，解得﹣3＜k＜1，
即k的取值范围是（﹣3，1）；
（3）由函数f（x）的图象过点（1，），可得f（1）＝b﹣b﹣1，解得b＝2，
则f（x）＝2x﹣2﹣x，
假设存在正数a（a≠1）符合题意，
g（x）＝lga[22x+2﹣2x﹣2（2x﹣2﹣x）+a﹣1]，
设t＝2x﹣2﹣x，则（2x﹣2﹣x）2﹣2（2x﹣2﹣x）+2+a﹣1＝t2﹣2t+a+1＝（t﹣1）2+a，
因为x∈[﹣1，0]，可得2x∈[，1]，t∈[，0]，
记h（t）＝（t﹣1）2+a，t∈[，0]，
因为函数g（x）＝lga[b2x+b﹣2x﹣2f（x）+a﹣1]在[﹣1，0]上的最大值为2，
①若0＜a＜1时，则函数h（t）＝（t﹣1）2+a在t∈[，0]上的最小值为a2，
由于对称轴t＝1，可得h（t）在t∈[，0]上递减，可得h（0）＝a+1＝a2，解得a，不合题意；
②若a＞1时，则函数h（t）＝（t﹣1）2+a在t∈[，0]上的最大值为a2，最小值大于0，
由于对称轴t＝1，可得h（t）在t∈[，0]上递减，
可得h（0）＝a+1＞0，h（）＝aa2，
解得a（舍去）．
所以存在正数a，且为，使函数g（x）＝lga[b2x+b﹣2x﹣2f（x）+a﹣1]在[﹣1，0]上的最大值为2．
【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的定义和运用，以及不等式恒成立问题解法，函数最值的求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
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