2022-2023学年安徽省安庆市高一（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年安徽省安庆市高一（上）期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）集合A＝{x∈N|﹣5＜2x﹣1＜5}的子集个数为（ ）
A．4B．7C．8D．16
2．（5分）命题“∀x＞5，lg5x＞1”的否定是（ ）．
A．∀x＞5，lg5x≤1B．∃x0＞5，lg5x0≤1
C．∀x≤5，lg5x≤1D．∃x0≤5，lg5x0≤1
3．（5分）下列各式中，与的值相等的是（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）“角θ为第三象限角”是“sinθtanθ＜0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（5分）已知函数，则其图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（5分）已知a＝tan2，，c＝﹣0.992，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．a＜c＜bD．b＜c＜a
7．（5分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）与成正比，其中x表示鲑鱼的耗氧量的单位数．当一条鲑鱼的耗氧量是2700个单位时，它的游速为1.5m/s．若一条鲑鱼的游速提高了1m/s，则它的耗氧量的单位数是原来的（ ）倍．
A．4B．8C．9D．27
8．（5分）已知函数f（x）＝lnx+x﹣2的零点为x0，则下列说法错误的是（ ）
A．x0∈（1，2）B．
C．D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）下列各式中，其中运算结果正确的是（ ）
A．B．
C．lg4+lg25＝2D．lg49＝lg23
（多选）10．（5分）已知函数，则下列叙述中，正确的是（ ）
A．函数f（x）的图象关于点对称
B．函数f（x）在上单调递增
C．函数y＝|f（x）|的最小正周期为
D．函数y＝|f（x）|是偶函数
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为π
B．函数f（x）的图象关于直线对称
C．函数f（x）图象向右平移个单位可得函数y＝2sinx的图象
D．若方程f（x）＝m（m∈R）在上有两个不等实数根x1，x2，则
（多选）12．（5分）已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，f（1+x）＝f（1﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x2，则下列关于函数y＝f（x）的判断中，其中正确的判断是（ ）
A．函数y＝f（x）的最小正周期为4
B．
C．函数y＝f（x）在[2，4]上单调递增
D．不等式f（x）≥0的解集为[4k，4k+2]（k∈Z）
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知2x＝3，则22x+2﹣2x＝ ．
14．（5分）已知函数y＝ax+1+1（a＞0且a≠1）的图象经过定点P，且点P在角α的终边上，则sinαcsα＝ ．
15．（5分）已知幂函数y＝（m2﹣3）xm在（0，+∞）上单调递增，则实数m＝ ；函数的单调递增区间为 ．
16．（5分）已知a，b，c均为正实数，且a+b＝1，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣5x≤a，a∈R}，集合B＝{x|lg2x≤1}．
（1）当a＝﹣4时，求A∩B；
（2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
18．（12分）已知函数f（x）＝x2+bx+c（b，c∈R）是定义在R上的偶函数，且满足．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）试判断函数在[1，+∞）上的单调性并证明．
19．（12分）在△ABC中，．
（1）求sin（B+C），cs（B+C）的值；
（2）求的值．
20．（12分）已知函数，，其中e是自然对数的底数．
（1）求证：g（2x）＝[f（x）]2+[g（x）]2；
（2）求函数的零点．
21．（12分）2022年11月20日，备受全球球迷关注的第22届世界杯足球赛如期开幕，全球32支参赛队伍，将在64场比赛中争夺世界足球的最高荣誉大力神杯！某体育用品商店借此良机展开促销活动，据统计，该店每天的销售收入不低于2万元时，其纯利润y（单位：万元）随销售收入x（单位：万元）的变化情况如下表所示：
（1）根据表中数据，分别用模型y＝lga（x+m）+b（a＞0且a≠1）与建立y关于x的函数解析式；
（2）已知当x＝9时，y＝3.3，你认为（1）中哪个函数模型更合理？请说明理由．（参考数据：）
22．（12分）已知函数，且满足_____．从①函数f（x）的图象关于点对称；②函数f（x）的最大值为2；③函数f（x）的图象经过点．这三个条件中任选一个补充到上面的横线上，并解答下面的问题：
（1）求实数a的值并求函数f（x）的单调递增区间；
（2）已知函数g（x）＝lg2x﹣mlgx﹣m2（m∈R），若对任意的，总存在x2∈[1，100]，使得f（x1）≤g（x2），求实数m的取值范围．
2022-2023学年安徽省安庆市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．
1．（5分）集合A＝{x∈N|﹣5＜2x﹣1＜5}的子集个数为（ ）
A．4B．7C．8D．16
【分析】解出集合A，再计算集合的子集个数．
【解答】解：因为A＝{x∈N|﹣5＜2x﹣1＜5}＝{x∈N|﹣2＜x＜3}＝{0，1，2}，
所以该集合的子集的个数为23＝8．
故选：C．
2．（5分）命题“∀x＞5，lg5x＞1”的否定是（ ）．
A．∀x＞5，lg5x≤1B．∃x0＞5，lg5x0≤1
C．∀x≤5，lg5x≤1D．∃x0≤5，lg5x0≤1
【分析】根据命题的否定的定义判断．
【解答】解：含全称量词的命题的否定是含存在量词的命题，
命题“∀x＞5，lg5x＞1”的否定是∃x0＞5，lg5x0≤1．
故选：B．
3．（5分）下列各式中，与的值相等的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】结合诱导公式求出各三角函数值后可得．
【解答】解：因，，，，．
故选：C．
4．（5分）“角θ为第三象限角”是“sinθtanθ＜0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】掌握三角函数值的正负与角所在象限的关系是解决本题的关键．
【解答】解：角θ为第三象限角，则有sinθ＜0，tanθ＞0，由sinθtanθ＜0不一定有sinθ＜0，tanθ＞0，因此“角θ为第三象限角”是“sinθtanθ＜0”的充分不必要条件．
故选：A．
5．（5分）已知函数，则其图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】计算函数值f（π）后可得．
【解答】解：由条件知，A符合，其它均不符合．
故选：A．
6．（5分）已知a＝tan2，，c＝﹣0.992，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．a＜c＜bD．b＜c＜a
【分析】结合正切函数性质、指数函数性质，借助中间值﹣1比较可得．
【解答】解：因为，
所以a＜b＜c．
故选：A．
7．（5分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）与成正比，其中x表示鲑鱼的耗氧量的单位数．当一条鲑鱼的耗氧量是2700个单位时，它的游速为1.5m/s．若一条鲑鱼的游速提高了1m/s，则它的耗氧量的单位数是原来的（ ）倍．
A．4B．8C．9D．27
【分析】根据初始值求得比例系数k，然后设原来的耗氧量的单位数为x1，提速后的耗氧量的单位数为x2，即可得出答案．
【解答】解：由题意设，当x＝2700时，v＝1.5，即，解得，
∴，
设原来的耗氧量的单位数为x1，提速后的耗氧量的单位数为x2，
则，即；
故选：C．
8．（5分）已知函数f（x）＝lnx+x﹣2的零点为x0，则下列说法错误的是（ ）
A．x0∈（1，2）B．
C．D．
【分析】由零点存在定理及单调性确定零点x0∈（1，2），再利用零点的性质结合对数函数与指数函数性质判断各选项．
【解答】解：由条件知函数f（x）在其定义域内单调递增，
所以其最多有一个零点，
又f（1）＝﹣1＜0，f（2）＝ln2＞0，
于是x0∈（1，2），A正确；
所以lnx0+x0﹣2＝0，整理得，
所以，B正确；
因x0∈（1，2），
所以2﹣x0∈（0，1），
于是，，C正确，D错误，
故选：D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）下列各式中，其中运算结果正确的是（ ）
A．B．
C．lg4+lg25＝2D．lg49＝lg23
【分析】利用开偶次方的性质以及对数的运算性质逐项分析即可．
【解答】解：A选项：，A错误；
B选项：，B正确；
C选项：lg4+lg25＝lg100＝lg102＝2，C正确；
D选项：，D正确．
故选：BCD．
（多选）10．（5分）已知函数，则下列叙述中，正确的是（ ）
A．函数f（x）的图象关于点对称
B．函数f（x）在上单调递增
C．函数y＝|f（x）|的最小正周期为
D．函数y＝|f（x）|是偶函数
【分析】由正切函数性质判断AB，利用特殊值及周期性、奇偶性的定义判断CD．
【解答】解：，A正确；
时，，因此此时f（x）递增，B正确；，但不存在，C，D均不正确．
故选：AB．
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为π
B．函数f（x）的图象关于直线对称
C．函数f（x）图象向右平移个单位可得函数y＝2sinx的图象
D．若方程f（x）＝m（m∈R）在上有两个不等实数根x1，x2，则
【分析】根据图象确定函数的解析式，然后由正弦函数性质判断各选项．
【解答】解：由图可知A＝2，，所以T＝π，故A正确；
因为，所以ω＝2，
则f（x）＝2sin（2x+φ），将点代入得：，
所以，k∈Z，又，所以，所以，
对于B，因为，为最小值，
所以函数f（x）的图象关于直线对称，故B正确；
对于C，将函数f（x）图象向右平移个单位，
可得函数，故C错误；
对于D，由条件结合图象可知，于是，所以，故D错误．
故选：AB．
（多选）12．（5分）已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，f（1+x）＝f（1﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x2，则下列关于函数y＝f（x）的判断中，其中正确的判断是（ ）
A．函数y＝f（x）的最小正周期为4
B．
C．函数y＝f（x）在[2，4]上单调递增
D．不等式f（x）≥0的解集为[4k，4k+2]（k∈Z）
【分析】由奇函数的性质与对称性得出函数的周期性，结合周期性、奇偶性、对称性及函数在[0，1]上的解析式可得函数的性质，从而判断各选项．
【解答】解：由f（1+x）＝f（1﹣x）得f（2+x）＝f（﹣x），
于是f（4+x）＝f（﹣2﹣x）＝﹣f（2+x）＝﹣f（﹣x）＝f（x），
所以函数y＝f（x）的最小正周期为4，A正确；
，B正确；
f（x）在[0，1]上递增，由f（x）是奇函数得f（x）在[﹣1，0]上递增，即在[﹣1，1]上递增，
又f（x）图象关于直线x＝1对称（∵f（1+x）＝f（1﹣x）），因此f（x）在[1，3]上递减，
而f（x）是周期为4的周期函数，因此f（x）在[3，5]上递增，C错误；
由选项C的讨论，可得到不等式f（x）≥0的解集为[4k，4k+2]（k∈Z），D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知2x＝3，则22x+2﹣2x＝ ．
【分析】根据指数幂的运算法则计算即可．
【解答】解：由已知得．
故答案为：．
14．（5分）已知函数y＝ax+1+1（a＞0且a≠1）的图象经过定点P，且点P在角α的终边上，则sinαcsα＝ ．
【分析】先由指数型函数过定点的性质求得P的坐标，再利用三角函数的定义即可求得sinα，csα，从而得解．
【解答】解：因为函数y＝ax+1+1（a＞0且a≠1）的图象经过定点P，
令x+1＝0，则x＝﹣1，y＝2，
所以P（﹣1，2），
于是，，
所以．
故答案为：．
15．（5分）已知幂函数y＝（m2﹣3）xm在（0，+∞）上单调递增，则实数m＝ 2 ；函数的单调递增区间为 [1，2） ．
【分析】先利用幂函数的定义与单调性求得m的值，再利用对数函数与复合函数的单调性即可求得的单调递增区间．
【解答】解：因为y＝（m2﹣3）xm是幂函数，
所以m2﹣3＝1，解得m＝±2，
又y＝（m2﹣3）xm在（0，+∞）上单调递增，
所以m＞0，则m＝2；
于是，
由﹣x2+2x＞0，解得0＜x＜2，则的定义域为（0，2），
又μ＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2，其开口向下，对称轴为x＝1，
所以μ＝﹣x2+2x在（0，1]（或（0，1））上单调递增，在[1，2）（或（1，2））上单调递减，
又在其定义域内单调递减，
所以的单调递增区间为[1，2）．
故答案为：2；[1，2）．
16．（5分）已知a，b，c均为正实数，且a+b＝1，则的最小值为 18 ．
【分析】先化简提公因式再应用a+b＝1，a，b应用基本不等式，再应用基本不等式，确定取等条件成立取得最小值即可．
【解答】解：由条件知

，
当且仅当，，
又因为a+b＝1，即，，c＝1时，的最小值为18．
故答案为：18．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣5x≤a，a∈R}，集合B＝{x|lg2x≤1}．
（1）当a＝﹣4时，求A∩B；
（2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
【分析】（1）解不等式确定集合A，B，然后由交集定义计算；
（2）由并集的结论得B⊆A，转化为a≥x2﹣5x对∀x∈（0，2]恒成立，求出x2﹣5x在x∈（0，2]时的取值范围后可得参数范围．
【解答】解：（1）当a＝﹣4时，x2﹣5x+4≤0，解得1≤x≤4，
所以A＝[1，4]，B＝{x|lg2x≤1}＝（0，2]，
所以A∩B＝[1，2]．
（2）由A∪B＝A得B⊆A，
又B＝（0，2]，所以a≥x2﹣5x对∀x∈（0，2]恒成立，
当x∈（0，2]时，．
所以a≥0，于是实数a的取值范围为[0，+∞）．
18．（12分）已知函数f（x）＝x2+bx+c（b，c∈R）是定义在R上的偶函数，且满足．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）试判断函数在[1，+∞）上的单调性并证明．
【分析】（1）由偶函数的定义，利用恒等式知识求解；
（2）根据单调性的定义证明．
【解答】解：（1）因为函数f（x）＝x2+bx+c（b，c∈R）是定义在R上的偶函数，
所以f（﹣x）＝f（x）恒成立，
即x2+bx+c＝x2﹣bx+c恒成立，即b＝0，
故f（x）＝x2+c，f（0）＝c，f（c）＝c2+c，
满足c2+c，
故c，f（x）＝x2；
（2）由（1）知g（x），
当a＞0时，g（x）在[1，+∞）上单调递减，证明如下：
设1≤x1＜x2，
则g（x1）﹣g（x2），
因为1≤x1＜x2，
所以x2﹣x1＞0，x1x2﹣1＞0，（1）（）＞0，
又a＞0，
所以0，
故g（x1）＞g（x2），
故a＞0时，函数g（x）在[1，+∞）上单调递减．
19．（12分）在△ABC中，．
（1）求sin（B+C），cs（B+C）的值；
（2）求的值．
【分析】（1）由同角间的三角函数关系求得sinA，csA，再由诱导公式可得结论；
（2）由正切的二倍角公式求得，然后由弦化切求值．
【解答】解：（1）由知角A为钝角，
所以sinA＞0，csA＜0，
因，sin2A+cs2A＝1，解得，，
于是，．
（2）由，整理得，解得或，
因，所以．
所以．
20．（12分）已知函数，，其中e是自然对数的底数．
（1）求证：g（2x）＝[f（x）]2+[g（x）]2；
（2）求函数的零点．
【分析】（1）分别计算g（2x）和[f（x）]2+[g（x）]2可证；
（2）用换元法解方程h（x）＝0可得．
【解答】（1）证明：由条件知，，
所以g（2x）＝[f（x）]2+[g（x）]2．
（2）解：因，
令h（x）＝0，则即4[g（x）]2﹣7g（x）﹣2＝0，
即[g（x）﹣2]⋅[4g（x）+1]＝0，解得g（x）＝2或，
又，当且仅当ex＝e﹣x，即x＝0时取等号，
所以g（x）＝2，于是
整理得e2x﹣4ex+1＝0，于是或，
解得或，
所以函数的零点为，．
21．（12分）2022年11月20日，备受全球球迷关注的第22届世界杯足球赛如期开幕，全球32支参赛队伍，将在64场比赛中争夺世界足球的最高荣誉大力神杯！某体育用品商店借此良机展开促销活动，据统计，该店每天的销售收入不低于2万元时，其纯利润y（单位：万元）随销售收入x（单位：万元）的变化情况如下表所示：
（1）根据表中数据，分别用模型y＝lga（x+m）+b（a＞0且a≠1）与建立y关于x的函数解析式；
（2）已知当x＝9时，y＝3.3，你认为（1）中哪个函数模型更合理？请说明理由．（参考数据：）
【分析】（1）根据已知数据列方程组求解即得；
（2）x＝9代入两个模型计算后比较可得．
【解答】解：（1）若选用y＝lga（x+m）+b，
则依题意可得，解得a＝2，m＝﹣1，，
则．
若选用，
则依题意可得，解得，，，则．
（2）对于函数，当x＝9时，（万元）；
对于函数，当x＝9时，（万元）；
因为|3.525﹣3.3|＞|3.25﹣3.3|，所以选用模型更合理．
22．（12分）已知函数，且满足_____．从①函数f（x）的图象关于点对称；②函数f（x）的最大值为2；③函数f（x）的图象经过点．这三个条件中任选一个补充到上面的横线上，并解答下面的问题：
（1）求实数a的值并求函数f（x）的单调递增区间；
（2）已知函数g（x）＝lg2x﹣mlgx﹣m2（m∈R），若对任意的，总存在x2∈[1，100]，使得f（x1）≤g（x2），求实数m的取值范围．
【分析】（1）由二倍角公式、两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，
选①，由f（）＝0求得a，再由正弦函数性质得单调增区间；选②，由结合正弦函数的最大值求得a，再由正弦函数的单调性求得增区间；选③，由求得a，再由正弦函数的单调性得增区间；
（2）求出f（x），g（x）的最大值，由[f（x）]max≤[g（x）]max可得参数范围．
【解答】解：（1）由条件知，
若选①，则，解得，，
由，解得，k∈Z，
所以函数f（x）的单调递增区间为．
若选②，则函数f（x）的最大值为，解得，，
由，解得，k∈Z，
所以函数f（x）的单调递增区间为．
若选③，则，
所以，，
由，解得，k∈Z，
所以函数f（x）的单调递增区间为．
（2）由题意可知只需[f（x）]max≤[g（x）]max即可．
当时，，所以，
因此函数f（x）的最大值为1．
令lgx＝t，则t∈[0，2]，则g（x）＝t2﹣mt﹣m2，
当即m≤2时，函数g（x）的最大值为4﹣2m﹣m2，于是4﹣2m﹣m2≥1，
整理得m2+2m﹣3≤0，解得﹣3≤m≤1，均满足m≤2，所以﹣3≤m≤1；
当即m＞2时，函数g（x）的最大值为﹣m2，于是﹣m2≥1，无实解；
综上所述，实数m的取值范围为[﹣3，1]．
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